孫鍇

【摘 要】電介質(zhì)的介電常數(shù)對(duì)電勢(shì)的影響是電磁場(chǎng)中難點(diǎn)。本文從分析介質(zhì)中極化電荷體密度分布的規(guī)律入手，得出了均勻介質(zhì)中介電常數(shù)對(duì)電勢(shì)的分布規(guī)律的影響。

【關(guān)鍵詞】電介質(zhì);介電常數(shù);極化電荷;電勢(shì)

0 引言

靜態(tài)場(chǎng)中，電荷q在介質(zhì)中的電勢(shì)為

式中？著是介質(zhì)的介電常數(shù)。類似在電場(chǎng)強(qiáng)度、電容量等公式中也只要把原來(lái)真空中的？著改為？著介質(zhì)的就是介質(zhì)中適用的公式了。然而，為什么在介質(zhì)中要把真空中的？著改為？著的真正原因，許多人都是模糊的，似乎？著只是介質(zhì)的一個(gè)標(biāo)志，以至于在稍微復(fù)雜的情況中就會(huì)出錯(cuò)。例如，空間內(nèi)填滿了介電常數(shù)分別為？著和？著的兩種不同均勻介質(zhì)，在介質(zhì)中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，許多人認(rèn)為此點(diǎn)電荷在介質(zhì)？著中激發(fā)的電勢(shì)是

顯然這是錯(cuò)誤的。

1 介質(zhì)中的極化電荷分布

一個(gè)區(qū)域內(nèi)V的極化電荷總量QP與極化強(qiáng)度矢量P的關(guān)系是 （3）

式中積分曲面S是區(qū)域V的表面。由（3）式可以得到介質(zhì)中的極化電荷體密度分布函數(shù)與極化強(qiáng)度矢量的關(guān)系是

（7）

（7）式表明了有兩種原因可以使介質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生極化電荷體密度分布？籽。（7）式右邊第二項(xiàng)，當(dāng)？著為空間坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，即不均勻介質(zhì)，？犖？著不為零。此時(shí)只要有電場(chǎng)存在，？著沿電場(chǎng)方向有變化，介質(zhì)中就有極化電荷產(chǎn)生。而且當(dāng)與？犖？著的方向平行時(shí)極化電荷密度有極大值。 （7）式右邊第一項(xiàng)表明只要介質(zhì)內(nèi)存在自由電荷密度？籽，無(wú)論介質(zhì)均勻與否，都會(huì)伴有極化電荷產(chǎn)生？籽。均勻介質(zhì)作為一般情況下的特例，？著為常數(shù)，（7）式右邊第二項(xiàng)為零，即有

（8）式表明在均勻介質(zhì)內(nèi)部極化電荷？籽與自由電荷？籽的依存關(guān)系。由于？著≥？著，顯然有極化電荷？籽與自由電荷？籽的符號(hào)相反，？籽的數(shù)值小于？籽;而且極化電荷的分布形狀與自由電荷的分布形狀完全相同。也就是說(shuō)如果自由電荷是一個(gè)點(diǎn)電荷q，則極化電荷也是一個(gè)點(diǎn)電荷q，而且點(diǎn)電荷q與q點(diǎn)電荷在同一空間點(diǎn)。如果自由電荷均勻分布在一個(gè)半徑為R圓線圈上，則極化電荷q也均勻分布在一個(gè)半徑為R圓線圈上，而且兩個(gè)不同電荷的圓線圈是重合的。

由（3）式還可以證明，介質(zhì)表面的極化電荷面密度分布函數(shù)？滓

這里的是介質(zhì)表面的法線方向的單位矢量。

2 介質(zhì)中的電勢(shì)

電勢(shì)？漬與電荷？籽的關(guān)系是

此式表明電勢(shì)？漬遵從疊加原理，（x，y，z）點(diǎn)的電勢(shì)是空間各處的電荷在此點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和。在介質(zhì)中電勢(shì)是自由電荷與極化電荷這兩類電荷激發(fā)的電勢(shì)的疊加。而對(duì)于體積無(wú)限大的介質(zhì)，介質(zhì)表面的面分布極化電荷？滓在無(wú)限遠(yuǎn)處，對(duì)電勢(shì)？漬沒(méi)有貢獻(xiàn)

上式只考慮了均勻介質(zhì)。即介質(zhì)中的電勢(shì)為

例如，介質(zhì)中點(diǎn)電荷q的電勢(shì)

注意到

這就是（1）式的結(jié)果。據(jù)此原理（2）式的正確表示是

3 建議

目前國(guó)內(nèi)外流行的絕大多數(shù)電磁學(xué)教材都沒(méi)有對(duì)（1）式中的？著物理實(shí)質(zhì)作透徹的詮釋。以至?xí)鹩腥纾?）式中的誤解。故建議在電磁學(xué)教材以及教學(xué)中，對(duì)電介質(zhì)中的極化電荷作較為仔細(xì)的單明，并對(duì)極化點(diǎn)電荷（12）式作證明。（12）式也可以用電磁學(xué)中的高斯定理證明如下：

積分面S是包圍點(diǎn)電荷q的閉合曲面。利用（5）式，并注意到只考慮均勻介質(zhì)

利用（3）式有

整理即得（12）式

另外，與此同量異號(hào)的極化電荷則分布在介質(zhì)的表面上。

【參考文獻(xiàn)】

[1]虞國(guó)寅，周國(guó)全.電動(dòng)力學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2008.

[2]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社.

[責(zé)任編輯：張濤]