張海霞

一、談話引入

乒乓球的大小和輕重對(duì)旋轉(zhuǎn)、力度影響明顯。國(guó)際比賽對(duì)比賽用球有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)：直徑40毫米、重2.7克。馬上就要比賽了，可是有一個(gè)比國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)輕一些的次品球混入了三個(gè)球里面？從這3個(gè)球中找出這個(gè)次品，你有什么簡(jiǎn)便的辦法嗎？

二、設(shè)置問(wèn)題，建立模型

1.初步建立基本思維模型

師：如果用天平秤來(lái)稱(chēng)，至少稱(chēng)幾次可以找出這個(gè)次品呢？

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)至少要稱(chēng)幾次才能找到？

生：1次、2次。

師：（問(wèn)1次的學(xué)生）你見(jiàn)過(guò)天平秤嗎？

生：見(jiàn)過(guò)。

師：如果天平秤左右兩邊不平呢？

生：如果是這種情況，高的那一盤(pán)就是次品。

師：大家看明白了嗎？剛才這位同學(xué)在天平的左右兩邊各放1球，如果平衡了，次品在哪？

生：剩下的那一個(gè)。

師：如果天平不平衡呢？

生：翹起的那一個(gè)。

師：不管是哪一種情況，幾次就可以找到次品？

生：1次。

師：果然1次就可以找到次品是哪一個(gè)了。

師：天平只有兩個(gè)盤(pán)，我們這么一放，就把這3個(gè)球分成了幾份？

生：3份。

師：哪3份？

生：天平兩邊和外邊。

師：這種稱(chēng)法如果用數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)單地記錄下來(lái)，天平的兩邊各放1個(gè)記為（1，1），外邊還有1個(gè)記為（1，1）1

板書(shū)：3——（1，1）1

師：是的，稱(chēng)1次可以判斷兩盤(pán)的輕重，還可以判斷外邊的輕重。這外邊的我們可以看作天平的隱形的第三個(gè)盤(pán)。

2．引導(dǎo)猜想，激發(fā)探究欲望

師：如果不是3個(gè)，這個(gè)次品混入了81個(gè)球里面。如果81瓶球里也有1瓶次品（輕），用天平秤稱(chēng)，至少幾次才能保證找到次品球呢？請(qǐng)你猜一猜！

三、組織探究

1.第一次探究

師：請(qǐng)先獨(dú)立思考，請(qǐng)看探究提示（課件出示探究提示一：從5個(gè)球中找次品）。開(kāi)始吧！

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)至少幾次保證能找到？

生：1次，2次，3次，……

師：你是怎么稱(chēng)的？

生1：我在天平左右兩邊各放1個(gè)，如果有翹起，就找到了。

師：你的運(yùn)氣真好！這種情況是有可能的，但能保證嗎？（生：不能）如果天平平衡呢？“保證找到”就不能只考慮運(yùn)氣好的時(shí)候，必須考慮運(yùn)氣不好的情況下也能找到。

師：有補(bǔ)充嗎？

生2：我也在天平左右兩邊各放1個(gè)，如果平衡了，說(shuō)明這兩個(gè)中沒(méi)有次品；就從剩下的3個(gè)中再任意選兩個(gè)放在天平的左右兩邊，如果平衡了，剩下的那個(gè)就是次品，如果有一邊翹起，翹起的那端就是次品。一共稱(chēng)了2次。

師：他的方法可行嗎？

生:可行。

師：誰(shuí)來(lái)把這個(gè)方法再說(shuō)一次。這么一放，把5個(gè)球分成了幾份？找到次品了嗎？（生：沒(méi)有）但是我們縮小了找次品的范圍。接下來(lái)我們?cè)趲讉€(gè)里面找次品？剩下的3瓶中再找1瓶次品，我們有經(jīng)驗(yàn)嗎？（生：有）要幾次。（1次，課件出示（1,1）1），一共就是2次。

師：把保證找到次品的方法用數(shù)學(xué)符號(hào)記錄下來(lái)？

生：5——（1，1）3

師：有沒(méi)有不一樣的稱(chēng)法？

生：我在天平左右兩邊各放2瓶，如果平衡了，說(shuō)明這兩瓶中沒(méi)有次品，剩下的那瓶就是次品，但這不能保證。如果有一邊翹起（不平衡），說(shuō)明次品在翹起的那一端里，然后再把翹起那一盤(pán)的2個(gè)放在天平左右兩邊，再稱(chēng)一次，一定可以找到。一共稱(chēng)了2次。

2.第二次探究

師：5個(gè)我們研究過(guò)了，81個(gè)還差得遠(yuǎn)呢。接下來(lái)我們分兩組。我們分兩個(gè)組來(lái)研究左邊的同學(xué)研究8瓶，右邊的同學(xué)研究9瓶好不好？（學(xué)生合作探究，并填表）

師：先來(lái)看9個(gè)的稱(chēng)法。

師：（展示學(xué)生的表格）有沒(méi)有不同的想法？我們把他們的稱(chēng)法有序地整理一下。

師：這四種稱(chēng)法中，那種稱(chēng)法，保證找出次品的次數(shù)最少？

生：第三種。

師：為什么呢？我們一起來(lái)看。這種稱(chēng)法，第一次分成了那3份，稱(chēng)了過(guò)后我們排除了幾份？（2份）最少排除了幾瓶？（5瓶）次品鎖定在幾瓶里面？其他的呢？（舉例第二種和第四種）通過(guò)剛才的比較你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：稱(chēng)一次，排除的越多，次品鎖定的范圍就越小，稱(chēng)的次數(shù)肯定也少。

師：再來(lái)看看9瓶的稱(chēng)法。

師：這種每次兩邊放幾瓶？要幾次？還有不同的稱(chēng)法嗎？有序地整理一下。

師：哪種稱(chēng)法保證找出次品的次數(shù)最少呢？為什么？（提示：能像剛才那樣說(shuō)說(shuō)嗎？——稱(chēng)一次排除了……次品鎖定在……）

師：有沒(méi)有比這種稱(chēng)法一次排除的更多的方法？

師：觀察一下8瓶、9瓶的最優(yōu)方法，想一想要怎么分，保證找到次品的次數(shù)最少。

生：平均分成3份。

師:8瓶呢？不能平均分成3分的怎么分呢？盡可能平均，每份相差是1。（課件）

3．驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)

師：我們的發(fā)現(xiàn)是否偶然呢？我們還需要驗(yàn)證我們的發(fā)現(xiàn)。

師:15瓶至少需要幾次保證找到？

剛才我們發(fā)現(xiàn)的方法是什么？——把物品盡量平均分成3份來(lái)稱(chēng)。

師：15瓶怎么分呢？需要稱(chēng)幾次？

生：（5，5）5，需要稱(chēng)3次。

師：有沒(méi)有更少的稱(chēng)法？我們稱(chēng)一次淘汰了多少？目標(biāo)鎖定在幾瓶？有沒(méi)有其他的分法稱(chēng)一次淘汰得更多的。也就是說(shuō)我們發(fā)現(xiàn)盡量平均分成3份來(lái)稱(chēng)次數(shù)最少。

師：16瓶至少需要幾次保證找到？——看來(lái)我們發(fā)現(xiàn)的方法還真可靠！

4.強(qiáng)化訓(xùn)練

現(xiàn)在看誰(shuí)的反應(yīng)快。

如果81瓶中有1瓶次品（輕），用天平稱(chēng)稱(chēng)，至少幾次保證

找到？

生：4次。

師：別亂說(shuō)，不可能吧？81瓶蠻多的呀，4次怎么可以保證

找到？

生：我把81瓶平均分成3份，每份27瓶；再把27瓶平均分成3份，每份9瓶，稱(chēng)2次就可以推斷次品在哪9個(gè)瓶里。然后9瓶就像剛才那位同學(xué)那樣再均分3份來(lái)稱(chēng)，2次就夠了。我這里只增加了2次，所以4次就找到了。

81→（27，27）27→（9，9）9

師：真聰明！真了不起！也學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化了。

生：6次。跟上面一樣，把729均分3份，每份243，再把243平均分成3份，只比81瓶多稱(chēng)了1次。所以是6次。

師：課剛開(kāi)始時(shí)猜需要729次的是那位同學(xué)，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)此刻有什么想說(shuō)的嗎？

師：這里邊還有更多的秘密！想不想知道待測(cè)物品數(shù)量和稱(chēng)的次數(shù)有什么關(guān)系？

四、全課總結(jié)

1.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲。

2.這節(jié)課我們研究從7百多瓶中找一瓶次品，起初我們本能地感覺(jué)怎么也要好幾百次，其實(shí)6次足矣。前后相差之大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我們的想象。這就是數(shù)學(xué)思考的魅力。

3.延伸：3個(gè)零件中有1個(gè)次品（不知道輕還是重），用天平至少要稱(chēng)幾次才能保證找出次品？

（作者單位 重慶市萬(wàn)州區(qū)王牌小學(xué)）

編輯 楊兆東