胡 江，馬福恒，陸明志，儲(chǔ)冬冬

（1.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210029；2.江蘇省水利科學(xué)研究院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

0 引 言

結(jié)構(gòu)可靠度分析包括失效模式的確定和給定不同荷載下的響應(yīng)概率的計(jì)算，涉及結(jié)構(gòu)性態(tài)的確定性分析和可靠度的數(shù)學(xué)分析兩方面的理論。結(jié)構(gòu)缺陷、材料病害和基礎(chǔ)老化都可能導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)安全問(wèn)題，采用非線性本構(gòu)模型和動(dòng)態(tài)分析方法得到的結(jié)果更符合實(shí)際，為此，結(jié)構(gòu)的可靠度分析正向基于非線性分析的失效模式確定和失效概率的精確計(jì)算方向發(fā)展。蘇懷智等[1]探討了變量相關(guān)性對(duì)重力壩可靠度計(jì)算結(jié)果的影響；李典慶等[2]提出了邊坡可靠度分析的隨機(jī)響應(yīng)面法；朱建明等[3]利用Rosenbleuth法和隨機(jī)動(dòng)分析方法求解了重力壩深層抗滑穩(wěn)定的可靠度；章青等[4]采用接觸面應(yīng)力單元法分析了膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定性；Altarejos-García、陳祖煜等[5-6]證明了傳統(tǒng)方法與可靠度方法相對(duì)安全率的等價(jià)性。

混凝土與基巖膠結(jié)面是重力壩和基巖相互作用的紐帶，其抗滑穩(wěn)定分析是重力壩安全評(píng)價(jià)的主要內(nèi)容。膠結(jié)面存在顯著的非線性效應(yīng)，傳統(tǒng)方法多采用抗剪或抗剪斷解析式分析評(píng)價(jià)其抗滑穩(wěn)定性，與實(shí)際工作性態(tài)差異較大。本文在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合非線性有限元可靠度分析方法，提出了膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定安全的多級(jí)多方法綜合評(píng)價(jià)體系，以更全面更準(zhǔn)確地掌握重力壩的實(shí)際性態(tài)。以某在役工程為例，在提出評(píng)價(jià)體系下，融合彈塑性Mohr-Coulomb模型、響應(yīng)面法 （RSM），考慮多種變量分布形式及相關(guān)性的可靠度計(jì)算方法，探討分析了膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定可靠度和傳統(tǒng)安全系數(shù)間的關(guān)系。

1 綜合評(píng)價(jià)方法

將綜合評(píng)價(jià)方法分為5個(gè)階段，綜合應(yīng)用可靠度分析和非線性確定性分析方法，建立如圖1所示的多級(jí)分析框架體系。

圖1 多步驟多級(jí)多方法重力壩安全綜合評(píng)價(jià)方法

1.1 確定數(shù)學(xué)解析和數(shù)值分析模型 （步驟1）

分析荷載工況并識(shí)別可能的失效模式后分別確定數(shù)學(xué)解析模型和數(shù)值分析模型。數(shù)學(xué)解析模型為失效模式所對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)，數(shù)值分析模型為非線性本構(gòu)模型。

1.2 變量分析 （步驟2）

對(duì)荷載和材料參數(shù)進(jìn)行分析研究，將各變量按確定性、較低不確定性、隨機(jī)變量分類(lèi)。其中，隨機(jī)變量應(yīng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、已有經(jīng)驗(yàn)的建議值等綜合確定其特征值[6-7]。

1.3 基于數(shù)學(xué)解析模型的可靠度分析

1.3.1 1級(jí)可靠度分析 （步驟3）

1級(jí)可靠度分析，即安全系數(shù)計(jì)算。依據(jù)變量的均值，采用傳統(tǒng)剛體極限平衡法計(jì)算安全系數(shù)。

1.3.2 2級(jí)可靠度分析 （步驟4）

2級(jí)可靠度分析，即采用FORM分析結(jié)構(gòu)可靠度。主要包括失效概率計(jì)算及其對(duì)各變量的變異系數(shù)及分布型式偏度的敏感性分析等方面。

失效概率pf的計(jì)算式為

式中，X為n維隨機(jī)變量矢量；fX（x，θf(wàn)）為聯(lián)合密度函數(shù)，其中θf(wàn)為分布參數(shù)矢量；g（ x，θg）為確定性的極限狀態(tài)函數(shù)，其中的矢量x由隨機(jī)變量矢量X和θg得到，g（ x，θg）≤0為失效域。

式（1）中的聯(lián)合密度函數(shù)fX（x，θf(wàn)）一般未知，可通過(guò)Nataf變換利用變量的邊緣概率密度函數(shù)、隨機(jī)變量間的Gaussian相關(guān)結(jié)構(gòu)構(gòu)造變量聯(lián)合概率密度函數(shù)。將原始相關(guān)隨機(jī)變量X轉(zhuǎn)換為相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量Z，其相關(guān)結(jié)構(gòu)服從式（3）表示的積分關(guān)系，再由Z轉(zhuǎn)換為不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量U，轉(zhuǎn)換過(guò)程用式（2）表示

式中，μi和σi分別為X中的第i個(gè)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；φ2（·，·，ρ）為相關(guān)系數(shù)為ρ的二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)。文獻(xiàn)[8]研究了常用分布形式時(shí)式（3）的解，本文采用二維Gauss積分求解。

對(duì)于相關(guān)性為ρij的變量對(duì)ij，由式（3）確定映射得到的矢量z中變量間的相關(guān)性ρ0ij。從而可以由Z通過(guò)式（4）轉(zhuǎn)換得到不相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量

式中，L0為矩陣R0=［ρ0ij］的Cholesky分解的下三角矩陣，即=R0。

FORM法在標(biāo)準(zhǔn)空間中尋找極限狀態(tài)函數(shù)的最可能失效點(diǎn)P*（MPP）（設(shè)計(jì)點(diǎn)）的一階近似值，其實(shí)質(zhì)是求解下式表示的約束最優(yōu)化問(wèn)題

獲得P*后，即可計(jì)算得到可靠度指標(biāo)β=αTu*其中α=為P*點(diǎn)的負(fù)法向梯度矢量；由可靠度指標(biāo)可以得到失效概率pf1=Φ（－β），其中Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積密度函數(shù)。同時(shí)，還可以得到可靠度指標(biāo)對(duì)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值的敏感性，如β對(duì)θf(wàn)的敏感性為

對(duì)式（4）求θf(wàn)的變分得到Jacobian變換，即

敏感性分析同樣通過(guò)積分方案得到，方法同獲得矩陣R0一樣。

1.3.3 3級(jí)可靠度分析 （步驟5）

3級(jí)可靠度分析，即采用FORM對(duì)失效概率的分析和計(jì)算?；诓襟E4分析得到的失效概率對(duì)變量統(tǒng)計(jì)特征值的敏感性，計(jì)算由敏感性較高的隨機(jī)變量組成的變量矢量下的失效概率。

1.4 基于數(shù)值模型的可靠度分析

1.4.1 1級(jí)可靠度分析 （步驟6）

同1.3，在可靠度分析前，首先采用非線性數(shù)值模型計(jì)算得到安全系數(shù)，以此初步驗(yàn)證和比較解析和數(shù)值兩種模型，并為網(wǎng)格細(xì)化提供依據(jù)。

采用彈塑性Mohr-Coulomb模型計(jì)算抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)時(shí)，膠結(jié)面穩(wěn)定的整體安全系數(shù)Fs表示為[9-10]

式中，tanψ和c分別為摩擦系數(shù)和粘聚力；σn和σt分別為法相和切向應(yīng)力；l和s分別為膠結(jié)面的長(zhǎng)度和單元大??；K為硬化參數(shù)；λ為累積塑性切向位移。

1.4.2 2級(jí)可靠度分析 （步驟7）

綜合采用FORM和數(shù)值模型分析結(jié)構(gòu)可靠度。如能夠獲取顯式狀態(tài)函數(shù)，以下方法同1.3.2。

1.4.3 3級(jí)可靠度分析 （步驟8）

一般很難顯式獲取極限狀態(tài)函數(shù)，需借助響應(yīng)面來(lái)解決這一問(wèn)題。生成變量集對(duì)，通過(guò)對(duì)數(shù)值分析結(jié)果的擬合得到響應(yīng)面，避免過(guò)多地調(diào)用非線性數(shù)值計(jì)算程序。真實(shí)的極限狀態(tài)函數(shù)g（X）用多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)（X）表示，對(duì)于X，含交叉項(xiàng)的二元多項(xiàng)式為

式中，a、bi、ci和dij為多項(xiàng)式系數(shù)；ε為隨機(jī)誤差。由于交叉項(xiàng)使函數(shù)包含了大量變量，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般采用不含交叉項(xiàng)的二元多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)，一些情況下，則采用簡(jiǎn)單線性函數(shù)來(lái)代替真實(shí)的響應(yīng)面函數(shù)

響應(yīng)面法的實(shí)質(zhì)是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，有星形、完全析因、中心復(fù)合、Box-Behnken等多種抽樣方法可以用來(lái)確定樣本點(diǎn)，圖2表示了3個(gè)隨機(jī)變量時(shí)各種設(shè)計(jì)方法的取點(diǎn)情況。樣本點(diǎn)在以均值為中心標(biāo)準(zhǔn)差為大小的區(qū)間范圍選取，即xi=μi?σi。得到對(duì)應(yīng)于樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)后，通過(guò)最小二乘法擬合得到響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)。

圖2 隨機(jī)變量樣本點(diǎn)設(shè)計(jì)方法 （n=3）

將膠結(jié)面的滑移失效視為各個(gè)單元失效事件的并聯(lián)組合。本文對(duì)系統(tǒng)失效概率的計(jì)算采用矩陣積分的方式，由m個(gè)單元失效模式組成的并聯(lián)系統(tǒng)失效概率 psys為

1.5 結(jié)果分析 （步驟9）

分析由上述多步驟多級(jí)多方法綜合評(píng)價(jià)方法得到的系列結(jié)果，包括結(jié)構(gòu)本身及分析過(guò)程中涉及的多種不確定性對(duì)安全評(píng)價(jià)結(jié)果的影響等。

2 工程實(shí)例

2.1 工程概況

以一重力壩的溢流壩段為例 （見(jiàn)圖3），分析不同庫(kù)水位工況下的膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定狀況。堰頂高程73.0 m，壩頂高程82.5 m；正常蓄水位80.0 m，下游水位26.0 m。圖3中所示庫(kù)水位從低到高 （28～91.7 m）超越概率依次為1、0.8、0.556、0.357、3.23×10-4、1.20×10-6和 4.00×10-9。

2.2 確定數(shù)學(xué)解析和數(shù)值分析模型

圖3 溢流壩橫截面和庫(kù)水位示意

采用Mohr-Coulomb模型，極限平衡狀態(tài)為粘聚力c和摩擦系數(shù)ψ的函數(shù)確定數(shù)學(xué)解析解。采用薄層節(jié)理單元和彈塑性Mohr-Coulomb模型分析膠結(jié)面性態(tài)，并視壩體和壩基為變形體建立數(shù)值仿真模型計(jì)算分析。根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]膠結(jié)面厚度取0.1 m。有限元網(wǎng)格范圍為上下游延伸120.0 m，基巖深80.0 m，膠結(jié)面分為64個(gè)單元。

2.3 變量分析

假設(shè)壩基揚(yáng)壓力折減系數(shù)α呈均勻分布。膠結(jié)面抗剪斷系數(shù)ψ和c分別呈正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且兩者存在強(qiáng)的負(fù)相關(guān)性，假定兩者不相關(guān)時(shí)，計(jì)算結(jié)果偏保守，符合工程實(shí)際需要。根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)、實(shí)測(cè)信息，得到計(jì)算所需參數(shù)見(jiàn)表1。

2.4 基于數(shù)學(xué)解析模型的可靠度分析

（1）1級(jí)可靠度分析。采用Mohr-Coulomb模型，建立抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)函數(shù)

式中，∑W和Y分別為作用在膠結(jié)面上的總重力和揚(yáng)壓力；∑P為作用在壩體的水平合力；A為膠結(jié)面面積；其他符號(hào)同式（8）。對(duì)應(yīng)不同庫(kù)水位，代入變量的均值，水位從60.0 m起從低到高依次計(jì)算得到膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定的安全系數(shù)分別為 5.08、3.14、2.52、2.34、2.12和1.82。

（2）2級(jí)可靠度分析。采用FORM計(jì)算由式（13）表示的膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定失效概率，得到的失效概率如圖4所示。失效概率對(duì)各隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征值的敏感性結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖4 不同水位下的可靠度和失效概率（1:多隨機(jī)變量；2:少隨機(jī)變量）

圖5 失效概率對(duì)隨機(jī)變量的敏感性

（3）3級(jí)可靠度分析。由圖6可以看出，膠結(jié)面抗滑失穩(wěn)的概率對(duì)ψ和α的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都較為敏感，且隨機(jī)變量的敏感性隨庫(kù)水位不同而有所差異。僅考慮這兩個(gè)隨機(jī)變量，重新計(jì)算得到膠結(jié)面抗滑失穩(wěn)的可靠度和失效概率，結(jié)果如圖5，可以看出兩種情況下得到的結(jié)果幾乎相等。本文暫不考慮不同隨機(jī)變量的分布型式對(duì)失效概率的影響。

表1 計(jì)算參數(shù)

2.5 基于數(shù)值模型的可靠度分析

（1）1級(jí)可靠度分析。采用數(shù)值分析方法，據(jù)式 （8）分別計(jì)算不同庫(kù)水位下的膠結(jié)面單元的局部安全系數(shù)和整體安全系數(shù)，結(jié)果分別如圖6、7所示。以法向應(yīng)力是否超過(guò)允許抗拉強(qiáng)度為標(biāo)準(zhǔn)，判斷膠結(jié)面是否開(kāi)裂，即以σn

圖6 膠結(jié)面單元的局部安全系數(shù)

圖7 不同水位下的整體安全系數(shù)

圖8 不同庫(kù)水位下的膠結(jié)面開(kāi)裂狀態(tài)

（2）2、3級(jí)可靠度分析。采用完全析因法作為隨機(jī)變量樣本點(diǎn)的設(shè)計(jì)方法，采用響應(yīng)面法擬合膠結(jié)面的抗滑狀態(tài)響應(yīng)。經(jīng)過(guò)試算發(fā)現(xiàn)，膠結(jié)面抗滑穩(wěn)定各失效單元間存在高度的相關(guān)性，按整體考慮膠結(jié)面的抗滑失穩(wěn)。隨機(jī)變量為膠結(jié)面的抗剪斷參數(shù)ψ、c、α和混凝土容重γc，一個(gè)膠結(jié)面單元失效的數(shù)值分析次數(shù)為24=16次。以庫(kù)水位86.0 m為例，將數(shù)值分析得到的結(jié)果，采用式 （10）表示的一次函數(shù)擬合，得到響應(yīng)面函數(shù)為

該函數(shù)擬合精度為0.987，即一次函數(shù)式就可以較好地反映所考慮荷載下的膠結(jié)面工作性態(tài)。采用FORM計(jì)算得到失效概率為0.051，略小于基于數(shù)學(xué)解析模型計(jì)算得到的失效概率0.0645。比較步驟4和步驟7兩種情況下的參數(shù)的敏感性，見(jiàn)圖9；得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)分別為 [0.627，23.467，0.695，213.16]和[0.646，23.457，0.797，209.51]。 按照相同方法，計(jì)算得到其他庫(kù)水位下的膠結(jié)面抗滑失穩(wěn)概率，結(jié)果見(jiàn)圖10。

圖9 兩種計(jì)算方法下的參數(shù)敏感性比較

圖10 兩種計(jì)算方法不同庫(kù)水位下的膠結(jié)面失穩(wěn)概率

2.6 結(jié)果分析

整體上看，在高庫(kù)水位下，步驟3～5中的基于傳統(tǒng)方法 （極限平衡法）可靠度分析方法計(jì)算得到的膠結(jié)面安全系數(shù)較步驟6～8中的基于數(shù)值模擬的可靠度分析方法小，抗滑失穩(wěn)概率稍大。在低庫(kù)水位下，兩者計(jì)算得到的結(jié)果基本吻合，基于數(shù)值模擬可靠度分析方法結(jié)果甚至稍高。這是因?yàn)樵诟邘?kù)水位下，合理厚度的薄層節(jié)理單元能較好地反映膠結(jié)面的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)力集中導(dǎo)致壩踵處的膠結(jié)面容易開(kāi)裂；膠結(jié)面應(yīng)力狀態(tài)越均勻，強(qiáng)度儲(chǔ)備越大；壩趾壩踵處應(yīng)力越集中，強(qiáng)度儲(chǔ)備越小。

從參數(shù)的敏感性分析可以看出，在較低庫(kù)水位下，參數(shù)的敏感性分析不合理，因此參數(shù)敏感性分析時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇合理的庫(kù)水位。選用敏感性較高的參數(shù)作為隨機(jī)變量，計(jì)算結(jié)果幾乎與考慮敏感性較低隨機(jī)變量在內(nèi)的所有變量的結(jié)果相等。安全系數(shù)和失效概率間的關(guān)系如圖11所示，可知即使在較高的安全系數(shù)下，膠結(jié)面仍然存在較高的失穩(wěn)概率，這表示膠結(jié)面安全分析過(guò)程中存在較大的不確定性。因此，對(duì)于大壩安全管理和補(bǔ)強(qiáng)加固決策，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和工程檢測(cè)十分必要，這樣可以提高隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特性的準(zhǔn)確性，同時(shí)減少數(shù)據(jù)處理過(guò)程中的主觀模糊性。

圖11 安全系數(shù)和失效概率的關(guān)系

3 結(jié)論

綜合極限剛體平衡法、基于解析式的可靠度分析方法、非線性有限元可靠度分析方法以及響應(yīng)面法等確定性方法和概率方法，提出了多級(jí)多方法混凝土壩安全綜合評(píng)價(jià)體系。通過(guò)工程實(shí)例的分析，得到如下結(jié)論:

（1）安全系數(shù)較高的情況下，失效概率不一定低，混凝土壩的安全分析應(yīng)綜合采用多種方法。基于數(shù)值模型的可靠度分析結(jié)果能較好地反映結(jié)構(gòu)的失效機(jī)理和失效過(guò)程；傳統(tǒng)的解析方法結(jié)果較為保守。將 “混凝土壩-膠結(jié)面-基巖”視為系統(tǒng)，分別采用合理的非線性本構(gòu)模型，分析一定荷載下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)，可以獲得更加真實(shí)的失效概率。

（2）失效概率分析的過(guò)程中，隨機(jī)變量的分析十分重要。敏感性較高的隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都可能導(dǎo)致失效概率出現(xiàn)較大變異。應(yīng)當(dāng)充分挖掘工程資料、試驗(yàn)數(shù)據(jù)和檢測(cè)數(shù)據(jù)，并結(jié)合現(xiàn)有文獻(xiàn)研究成果對(duì)隨機(jī)變量尤其是敏感性較高的隨機(jī)變量取值。

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