張玲玲??

2013年12月8日-11日，由江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室主辦，在南京中華中學(xué)舉辦了2013年江蘇省高中數(shù)學(xué)青年骨干教師研修活動(dòng).本次活動(dòng)的主題是“數(shù)學(xué)概念教學(xué)”，活動(dòng)對(duì)蘇教版《三角函數(shù)的周期性》進(jìn)行“同題異構(gòu)”教學(xué)，經(jīng)過(guò)了“三次備課，兩次反思”.期間，本人有幸被抽到上課，課后經(jīng)過(guò)了討論，反思，再備課，并且得到了省內(nèi)幾位著名特級(jí)教師的指導(dǎo)，領(lǐng)悟了很多，是今后個(gè)人專業(yè)成長(zhǎng)的一筆寶貴財(cái)富.

在這里，本人將這次活動(dòng)中張乃達(dá)老師和陳光立老師給出的建議結(jié)合皮亞杰發(fā)生認(rèn)識(shí)論的一些觀點(diǎn)談一談數(shù)學(xué)概念的教學(xué).

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出： 教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.

1.提供實(shí)例圖式積累數(shù)學(xué)概念準(zhǔn)備

發(fā)生認(rèn)識(shí)論觀點(diǎn)認(rèn)為，圖式是形成概念的基礎(chǔ)，是同化與順應(yīng)的工具.那么數(shù)學(xué)概念作為概念的一個(gè)分支，也必須具有豐富的數(shù)學(xué)圖式.強(qiáng)調(diào)在概念教學(xué)中要以實(shí)驗(yàn)，提供實(shí)例為基礎(chǔ)，使學(xué)生獲得必要的感性認(rèn)識(shí).

在“三角函數(shù)的周期性”這一概念的教學(xué)時(shí)，可先設(shè)計(jì)以下方式引入課題：

情境1：從2013年12月份的日歷上可以看出，12月9日是周一，再過(guò)7天，16日還是周一，再過(guò)7天，23日還是周一……

情境2：?jiǎn)挝粓A上的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈以后回到了原來(lái)的位置.

問(wèn)題1：你能舉出數(shù)學(xué)中某些現(xiàn)象重復(fù)出現(xiàn)的例子嗎？

學(xué)生可以根據(jù)前階段學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)，回答出三角函數(shù)，三角函數(shù)線.

問(wèn)題2：我們以正弦函數(shù)為例，怎樣解釋這種周而復(fù)始的現(xiàn)象呢？

學(xué)生1： sin30°=sin150°.這個(gè)回答是筆者沒(méi)有預(yù)想到的.

課堂上，學(xué)生的深思頓悟、靈機(jī)一動(dòng)，節(jié)外生枝和思維的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一個(gè)個(gè)鮮活的教學(xué)資源，為創(chuàng)設(shè)智慧、高效課堂帶來(lái)可能.為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了預(yù)知不得，欲罷不忍的學(xué)習(xí)情境，激發(fā)了學(xué)生的探究積極性，課堂氣氛又活躍了起來(lái).

學(xué)生2：當(dāng)角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)2π，就會(huì)重合，三角函數(shù)值也相等.

這是學(xué)生從形的角度刻畫了三角函數(shù)的“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，筆者繼續(xù)追問(wèn)：把你這句話用表達(dá)式寫出來(lái)是什么樣的呢？

學(xué)生2： sin（x+2π）=sinx.

這樣我們就很自然地聯(lián)想到之前學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生很輕松愉悅地接受了正弦函數(shù)的周期現(xiàn)象，也為接下來(lái)推導(dǎo)余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期作鋪墊.

2.同化順應(yīng)抽象概括數(shù)學(xué)概念引入

皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)觀認(rèn)為，在活動(dòng)基礎(chǔ)上建立起認(rèn)知圖式.學(xué)生也總是用已有的圖式去認(rèn)識(shí)事物，如果主體能把外界的刺激納入已有的圖式，這就是同化過(guò)程.

如： 在“三角函數(shù)的周期性”的定義的教學(xué)事例中，

問(wèn)題3： 如果某函數(shù)f（x）每間隔2個(gè)單位， 函數(shù)值重復(fù)再現(xiàn)， 如何用符號(hào)語(yǔ)言表示？ 引導(dǎo)學(xué)生得出f（x+2）=f（x）.

追問(wèn)1： 如果某函數(shù)f（x）每間隔7個(gè)單位， 函數(shù)值重復(fù)再現(xiàn)， 如何表示？

引導(dǎo)學(xué)生得出f（x+7）=f（x）.

教師通過(guò)前面特殊情況的分析，逐漸引導(dǎo)學(xué)生感受“周而復(fù)始”的特征，從而慢慢引入數(shù)學(xué)概念.

3. 提供變式抽象本質(zhì)數(shù)學(xué)概念的形成

皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)觀認(rèn)為，在圖式的不斷發(fā)展過(guò)程中，主體是不平衡的，總是試著向平衡方向發(fā)展.

陳光立老師指出教學(xué)的藝術(shù)就在于精心設(shè)問(wèn)和巧妙地引導(dǎo)學(xué)生作答，作答的廣義就是引導(dǎo)學(xué)生思維，包括課題性問(wèn)題和啟發(fā)性問(wèn)題，問(wèn)題一定要對(duì)學(xué)生的概念形成起深化鞏固的作用.教師不要為問(wèn)問(wèn)題而問(wèn)，顯示出老師過(guò)于強(qiáng)勢(shì)，好的課堂在于展示學(xué)生、讓學(xué)生展示，要利于學(xué)生發(fā)揮他們的才智，通過(guò)老師的引導(dǎo)幫助他們，而不是展示教師，不是展示解題功能，反對(duì)復(fù)制教學(xué)，反對(duì)告訴教學(xué)，教師要讓認(rèn)知降到學(xué)生層次，讓學(xué)生真正參與進(jìn)來(lái).

問(wèn)題4：是不是只有三角函數(shù)才有周期性？我們是否可以給一般的周期性函數(shù)下一個(gè)定義呢？

該問(wèn)題的設(shè)置意圖，要求學(xué)生能從現(xiàn)有的材料中概括出本質(zhì)特征，并把本質(zhì)特征用精當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述.概括是數(shù)學(xué)概念形成的重要過(guò)程，所以教學(xué)設(shè)計(jì)中必須為學(xué)生的概括做好鋪墊.這個(gè)環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn).教師不能急于求成，要傾聽(tīng)學(xué)生的心聲，要營(yíng)造民主、平等、寬容的課堂教學(xué)氣氛，把握學(xué)生的解惑需求，對(duì)于學(xué)生的回答，要及時(shí)加以辨別，作出正確的判斷，并因勢(shì)利導(dǎo)，給學(xué)生探究的時(shí)間和空間，這樣會(huì)使后面的教學(xué)更深入，更有價(jià)值.

定義中關(guān)鍵詞有哪些？這些關(guān)鍵詞你感覺(jué)熟悉嗎？之前的學(xué)習(xí)中哪里遇見(jiàn)過(guò)？

設(shè)計(jì)意圖是為了讓學(xué)生更深入理解定義的內(nèi)涵，把握判斷函數(shù)周期性的關(guān)鍵，并聯(lián)系之前的學(xué)過(guò)的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，更好地理解周期性的定義.

思考：y=3是周期函數(shù)嗎？

學(xué)生的反映并沒(méi)有預(yù)想的好，問(wèn)題出在了哪里？是概念理解不清，還是符號(hào)不能準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換？筆者課后作了學(xué)生調(diào)查，結(jié)果顯示，學(xué)生不能把y=3和f（x）=3聯(lián)系起來(lái)，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感覺(jué)不存在.該問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖是想說(shuō)明不是所有函數(shù)都有最小正周期，但是反映出來(lái)的是學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的不理解.

張乃達(dá)老師給出的建議是：不要在枝節(jié)上“惹是生非”，按照課標(biāo)要求教學(xué).本節(jié)主要研究三角函數(shù)的周期性，不要在一般函數(shù)周期性上糾纏太多.

4. 概念再同化數(shù)學(xué)概念的深化、 運(yùn)用

發(fā)生認(rèn)識(shí)觀認(rèn)為，新圖式的形成，可以同化更多的客體.同樣，新的數(shù)學(xué)概念也同化了更多的數(shù)學(xué)現(xiàn)象以后才能被檢驗(yàn)，因此數(shù)學(xué)概念只有在應(yīng)用中才能得到鞏固、深化與發(fā)展.

這節(jié)概念課配備了如下的例題：

例1若鐘擺的高度h（mm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.（1）求該函數(shù)的周期；（2）求t=10 s時(shí)鐘擺的[HJ1.45mm]高度.

師組織學(xué)生圍繞以下問(wèn)題展開(kāi)討論：

問(wèn)題1：周期函數(shù)的圖象具有什么特征？

問(wèn)題2：能否根據(jù)周期性找到t=10 s時(shí)鐘擺的高度？

例2求函數(shù)y=cos2x的周期.

思考：自編一道三角函數(shù)題，請(qǐng)同座位思考是否為周期函[JP3]數(shù)？若是周期函數(shù)，周期是多少？ 若不是周期函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由. [JP]

該問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖是想讓學(xué)生能夠感受到自己是課堂的主人，是學(xué)習(xí)活動(dòng)中自由的“生命體”.但是由于學(xué)生的層次比較低，這個(gè)環(huán)節(jié)在具體實(shí)施過(guò)程中很難推進(jìn)，不能體現(xiàn)有效性，給的3分鐘的時(shí)間不能完成布置的任務(wù)，筆者表示很遺憾.這個(gè)環(huán)節(jié)的不成功，使得接下來(lái)的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數(shù)，A≠0，ω>0）的周期的概括和推導(dǎo)就不能順利的進(jìn)行.當(dāng)然，課堂教學(xué)過(guò)程本身就是一個(gè)“精心預(yù)設(shè)”與“動(dòng)態(tài)生成”和諧統(tǒng)一的過(guò)程.備課首先應(yīng)該先備學(xué)生，教師應(yīng)熟悉學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)的薄弱之處，要換位思考，真正從學(xué)生的角度審視問(wèn)題.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，筆者認(rèn)為，概念的教學(xué)是一個(gè)值得繼續(xù)探究的過(guò)程，是要貫穿在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，潛移默化的去[LL][HJ1.3mm]發(fā)展學(xué)生的思維的過(guò)程，是一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的過(guò)程.如果再上一次，我想把這個(gè)問(wèn)題改成例題，直接改為：求下列函數(shù)的周期：

（1）y=cos2x；

（2）y=2cos（x+π3）；

（3） y=2sin12x；

（4）y=Asin（ωx+φ） （A，ω，φ都是常數(shù)，A≠0，ω>0）.

張乃達(dá)老師給出的建議是：本節(jié)可以拓展的有（1）證明2π是y=sinx的最小正周期；（2）對(duì)于例2要好好處理，實(shí)際是形式化的證明.求y=cos2x的最小正周期，回顧定義，T是x的增量，等式cos（2x+2π）=cos2x，2x增加了2π，那x增加了多少？得到cos2（x+π）=cos2x.先講直觀的認(rèn)識(shí)猜想，再回到定義，用形式化的方法證明.

有一位哲人說(shuō)過(guò)：“教師最容易犯的錯(cuò)誤，是把結(jié)論簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生.高明的教師總是將自己想說(shuō)的東西掩藏起來(lái)，放到最后.”從皮亞杰對(duì)認(rèn)知發(fā)生、 發(fā)展的生動(dòng)分析中， 我們看到， 皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論用建構(gòu)的觀點(diǎn)探討認(rèn)知的發(fā)展， 尤其強(qiáng)調(diào)活動(dòng)在認(rèn)知發(fā)展和知識(shí)建構(gòu)中的作用.為此，在概念教學(xué)中多花一些時(shí)間是值得的，只有理解、掌握了概念，才能更好地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和本質(zhì)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力.

最后引用陳光立老師說(shuō)的一句話作為結(jié)束語(yǔ)：“教之道在于度，學(xué)之道在于悟.”