鄧 冰，張 翔，張 銘

（1.北京應(yīng)用氣象研究所，北京 100029；2.海軍海洋水文氣象中心，北京 100079；3.解放軍理工大學(xué) 氣象海洋學(xué)院，江蘇 南京211101）

海洋內(nèi)波在海洋中非常常見(jiàn)，是發(fā)生在密度穩(wěn)定層化海水中的一種波動(dòng)，其最大振幅出現(xiàn)在海洋內(nèi)部，是重要的海洋中尺度現(xiàn)象。海洋內(nèi)波的存在，使得海水運(yùn)動(dòng)以及水文要素的分布與變化更加復(fù)雜。由于內(nèi)波發(fā)生機(jī)制的復(fù)雜性以及時(shí)空特征的隨機(jī)性，內(nèi)波成為海洋學(xué)研究中的難點(diǎn)。鑒于海洋內(nèi)波在海洋學(xué)和軍事上的意義，目前已經(jīng)成為研究的活躍領(lǐng)域。對(duì)海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的研究不但有重要的理論意義，而且有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)問(wèn)題作過(guò)分析與計(jì)算，如Fligel［1］利用Thompson－Haskell方法計(jì)算了內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)；Haskell［2］利用分層計(jì)算對(duì)內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)做過(guò)分析；Pereskokov［3］和 Leblond［4］等研究了不同海域內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)。國(guó)內(nèi)學(xué)者蔡樹(shù)群等［5］采用Fligel的方法，求解了內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)；近年來(lái)他們還發(fā)展了一個(gè)二維孤立內(nèi)波的傳播模式，系統(tǒng)研究了南海北部孤立內(nèi)波的傳播與演化規(guī)律［6］；章克本等［7］借鑒俄羅斯學(xué)者的變換方法，得到了內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)及色散關(guān)系。葉春生等［8］探討了內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的分段求解方法。在以往的海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的工作中，基本上是只針對(duì)波動(dòng)本身的研究或?qū)Ｑ髢?nèi)波垂向結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的討論，很少涉及背景流對(duì)海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的影響。當(dāng)海洋內(nèi)波在水中傳播時(shí)，往往會(huì)伴隨有背景流的存在，所以把波和流放到一起進(jìn)行研究是非常必要的。本文章提出了在垂直切變背景流中計(jì)算海洋內(nèi)波垂直結(jié)構(gòu)的方法，并給出了計(jì)算結(jié)果。

1 數(shù)學(xué)模型

研究海洋內(nèi)波可采用以下無(wú)粘絕熱的不可壓方程組：

式中，z軸垂直向上，動(dòng)力學(xué)變量u，v，w分別為水平和垂直速度的三個(gè)分量；熱力學(xué)變量ρ，T，S，p分別為密度、溫度、鹽度和壓力；ρ0，T0，S0分別為其標(biāo)準(zhǔn)值，取為常數(shù)；f是地轉(zhuǎn)參數(shù)，對(duì)內(nèi)波問(wèn)題其可設(shè)為常數(shù)；微商算子

方程組滿(mǎn)足以下邊條件：

在海底：

在海面采用剛蓋近似。

在海面：

式中，H為海洋水深，本研究不考慮海底地形，故H可設(shè)為常數(shù)。

在方程（1）中引入水平背景流U，并設(shè)該背景流的流向與x軸有一個(gè)常數(shù)夾角δ，而其流速U僅隨高度z變化而流向不變，即有U＝U（z），此時(shí)有u＝Uzcosδ，v＝U（z）sinδ，u，v則分別為該背景流U在x軸和y軸上的分量，且du／dz，dv／dz僅為z的函數(shù)。

引入此背景流后，則動(dòng)力學(xué)變量有：u＝u（z）＋u′（x，y，z，t），v＝v（z）＋v′（x，y，z，t），w＝w′（x，y，z，t）。這里u′，v′，w′為速度場(chǎng)對(duì)該背景流（基本流）的偏差，將其代入方程組（1）中，并將熱力學(xué)變量分為背景場(chǎng)以及對(duì)該場(chǎng)的偏差，則可引入溫度偏差T′、鹽度偏差S′、密度偏差ρ′和壓力偏差p′，此時(shí)有：T＝T（x，y，z）＋T′（x，y，z，t），S＝S（x，y，z）＋S′（x，y，z，t），ρ＝ρ（x，y，z）＋ρ′（x，y，z，t），p＝p（x，y，z）＋p′（x，y，z，t）。再考慮到背景場(chǎng)滿(mǎn)足原方程，且因背景場(chǎng)不隨時(shí)間改變，故背景流場(chǎng)在水平方向滿(mǎn)足地轉(zhuǎn)平衡，垂直方向滿(mǎn)足靜力平衡，熱力學(xué)變量的背景場(chǎng)滿(mǎn)足狀態(tài)方程；這樣就可得到以下關(guān)于偏差的狀態(tài)方程：ρ′＝ρ－ρ＝ρ0·（－αT′＋γS′）。在此ρ0為平均海水密度，設(shè)為常數(shù)。

本研究?jī)H討論準(zhǔn)二維內(nèi)波。設(shè)該內(nèi)波沿x方向傳播，即內(nèi)波的波峰線(xiàn)與x軸垂直（此時(shí)該內(nèi)波的傳播方向與背景流的方向有夾角δ）。在波動(dòng)振幅較小時(shí)，此時(shí)以上帶“′”的物理量可看作小量，其二階以上乘積則可略去。假設(shè)速度u′，v′，w′在y方向無(wú)變化，即?u′／?y＝0，?v′／?y＝0，?w′／?y＝0；這樣方程組（1）線(xiàn)性化后為：

在公式（4）中為書(shū)寫(xiě)方便以下已記 （u，v，w）≡ρ0（u′，v′，w′），p≡－gρ′，g為重力加速度，設(shè)為常數(shù)；在得到方程組（4）時(shí)還用到了“地轉(zhuǎn)流”公式［9］，求導(dǎo)后可得是層結(jié)參數(shù)；此時(shí)ρ（z）可認(rèn)為是垂直方向上密度分布的典型值，其僅為z的函數(shù)。這樣du／dz，dv／dz則均為z的函數(shù)。由（4）中最后一式可引入流函數(shù)Ψ，此時(shí)有u＝?Ψ／?z，w＝－?Ψ／?x，這樣方程組（4）可寫(xiě)為：

對(duì)沿x方向傳播的內(nèi)波，可設(shè)方程組（5）的解即特征波動(dòng)為：

此時(shí)，邊條件可寫(xiě)為

這樣方程組（8）與邊界條件式（9）就構(gòu)成一個(gè)變系數(shù)復(fù)常微分方程組的特征值問(wèn)題。

2 數(shù)值計(jì)算方案

當(dāng)背景流為非常數(shù)時(shí)，即背景流為z的函數(shù)時(shí)，解析求解上述特征值問(wèn)題是非常困難的。數(shù)學(xué)上的困難阻礙了人們對(duì)內(nèi)波物理本質(zhì)的分析。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和應(yīng)用，可通過(guò)數(shù)值方法求解上述特征值問(wèn)題，具體方案如下所述。

將區(qū)間［0，H］等距分為M個(gè)子區(qū)間，即將其分為M層，并采用交錯(cuò)網(wǎng)格，將Ψ寫(xiě)在整數(shù)層網(wǎng)格點(diǎn)上，P、V寫(xiě)在半數(shù)層網(wǎng)格點(diǎn)上，如圖1所示，此時(shí)微分方程組（8）可離散化為差分方程組。令X＝（X1，X2，…，Xj，…，XM）T，其中則可將以上微分方程組的特征值問(wèn)題離散化為復(fù)矩陣的廣義特征值問(wèn)題來(lái)數(shù)值求解，即有

這里，σ為特征值，X為特征函數(shù)（譜函數(shù)，也即特征波動(dòng)的垂直結(jié)構(gòu)）；而A，B都是（3M－1）×（3M－1）階的的矩陣，且B為復(fù)矩陣。

圖1 垂直離散分層示意圖Fig.1 Schematic diagram of vertical discrete layering

3 數(shù)值計(jì)算方案的驗(yàn)證

為驗(yàn)證以上數(shù)值計(jì)算方案的合理可行和編程的正確，本文章利用在特定條件下得到的解析解與計(jì)算解進(jìn)行比較。當(dāng)背景流和層結(jié)參數(shù)為常數(shù)時(shí)，則方程組（8）退化為常系數(shù)常微分方程組，與邊界條件（9）所構(gòu)成的特征值問(wèn)題可得解析解。

3.1 背景流為常數(shù)海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)

當(dāng)背景流為常數(shù)且取層結(jié)參數(shù)為常數(shù)時(shí)，此時(shí)易解析求解，并得到海洋內(nèi)波σ的表達(dá)式，即頻散關(guān)系為：

此時(shí)，以上數(shù)學(xué)模型中僅包含海洋內(nèi)波（性質(zhì)屬重力慣性?xún)?nèi)波），這里m取值為自然數(shù)，為該海洋內(nèi)波的模態(tài)數(shù)。這種情況下也易解析求得海洋內(nèi)波的譜函數(shù)結(jié)構(gòu)，即各物理變量特征波動(dòng)的垂向分布：

式中，為任意常數(shù)。這時(shí)，隨著模態(tài)數(shù)m的不同，特征值σ的數(shù)值也不同。因m是自然數(shù)，呈離散分布，故此時(shí)海洋內(nèi)波各模態(tài)特征值σ的分布也是離散的，即該特征值問(wèn)題僅有離散譜。由式（11）還可知，若層結(jié)參數(shù)＞0（層結(jié)穩(wěn)定），則σ為實(shí)數(shù)。此時(shí)，式（11）中僅包含有一對(duì)傳播方向相反的海洋內(nèi)波（重力慣性?xún)?nèi)波），其振蕩頻率為σ1和σ2，該頻率的大小處于f和N0之間；且由公式（12）可知，流函數(shù)Ψ的振幅在海洋內(nèi)部達(dá)到最大，在上、下邊界則為0。

3.2 方案驗(yàn)證的結(jié)果

為比較海洋內(nèi)波σ（特征值）的數(shù)值解和解析解之間的誤差，這里設(shè)無(wú)背景流，即取＝0＝0；并取層結(jié)參數(shù)＝1×10－5s－2，取地轉(zhuǎn)參數(shù)f＝8×10－5s－1；取海洋深度H＝2 000m，取海洋內(nèi)波水平波長(zhǎng)L為20 km（此時(shí)k＝2π／L）。采用以上數(shù)據(jù)，利用公式（12）求取解析解；利用以上數(shù)值方法求取數(shù)值解（取分層數(shù)M＝40）。從而對(duì)解析解和數(shù)值解進(jìn)行比較。

圖2為前20個(gè)模態(tài)σ數(shù)值解對(duì)解析解的誤差，即Ψ（z），此時(shí)其為實(shí)數(shù)。數(shù)值解與解析解的差值隨海洋內(nèi)波模態(tài)數(shù)m的分布。由圖可見(jiàn)，前幾個(gè)模態(tài)誤差較小，隨著模態(tài)數(shù)的增加，數(shù)值解的誤差增大。但前20個(gè)模態(tài)的誤差均小于6%，這表明數(shù)值解與解析解兩者還是吻合得比較好的。

圖2 計(jì)算解特征值誤差Fig.2 The error of the computational solution eigenvalue

下面給出此時(shí)前5個(gè)模態(tài)數(shù)值計(jì)算得到的流函數(shù)振幅的垂直分布，即。流函數(shù)振幅第1模態(tài)為半個(gè)正弦波分布，僅有1個(gè)振幅最大值，出現(xiàn)在海洋中部；除邊界外，無(wú)0點(diǎn)（圖3a，以下所指的0點(diǎn)均為除邊界外的海洋內(nèi)部0點(diǎn)）。第2模態(tài)為一個(gè)正弦波分布，有2個(gè)極大值和1個(gè)0點(diǎn)（見(jiàn)圖3b）。第3模態(tài)為1個(gè)半正弦波分布，有3個(gè)極大值和2個(gè)0點(diǎn)（圖略）。第4模態(tài)為2個(gè)正弦波分布，有4個(gè)極大值和3個(gè)0點(diǎn)（見(jiàn)圖3c）。第5模態(tài)為2個(gè)半正弦波分布，有5個(gè)極大值和4個(gè)0點(diǎn)（圖略）?？傊?，Ψ的垂向分布為正弦波的形式，隨著模態(tài)數(shù)的增加，該振幅極大值的數(shù)目增加，而0點(diǎn)數(shù)目也在增加；這表明，模態(tài)越高，其垂向結(jié)構(gòu)就越復(fù)雜。以上的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析解的表達(dá)式（12）完全一致。

該結(jié)果還表明，上述數(shù)值計(jì)算方案是合理可行的，在模態(tài)數(shù)不十分高的情況下，其精度也令人滿(mǎn)意。

圖3 無(wú)背景流場(chǎng)時(shí)不同模態(tài)流函數(shù)振幅的垂直結(jié)構(gòu)Fig.3 The vertical structures of the stream function amplitudes of different modes without background current field

4 垂直切變背景流下內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)

4.1 內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果

現(xiàn)設(shè)內(nèi)波傳播方向與背景流的流向相同，均為x方向，即取夾角δ＝0；此時(shí)有；再設(shè)基本流速在垂直方向呈線(xiàn)性變化，最大值在海面z＝H處，為＝0.2m／s，最小值在海底z＝0處，為＝0m／s。在這里的數(shù)值計(jì)算中，其他所用參數(shù)仍取上節(jié)中的值。在以上條件下，數(shù)值求解得到的V（z），P（z），Ψ（z）和Ψ則均為實(shí)數(shù)。

圖4 線(xiàn)性變化背景流下不同模態(tài)流函數(shù)振幅的垂直結(jié)構(gòu)Fig.4 The vertical structures of the stream function amplitudes of different modes with a linear background current

圖4為在以上垂直線(xiàn)性變化背景流下，數(shù)值計(jì)算得到的流函數(shù)垂向結(jié)構(gòu)Ψ的前20個(gè)模態(tài)的分布圖。圖中前9個(gè)模態(tài)的垂向分布與無(wú)背景流的流函數(shù)垂向結(jié)構(gòu)Ψ各模態(tài)的分布相似，都具有光滑的波動(dòng)特性，垂向結(jié)構(gòu)無(wú)奇性，不存在Ψ的間斷，這表明不存在臨界層；此時(shí)由于該垂向結(jié)構(gòu)受垂直線(xiàn)性切變背景流的調(diào)制，其不再呈標(biāo)準(zhǔn)的正弦波結(jié)構(gòu)，而有所變形。從第10模態(tài)開(kāi)始，流函數(shù)的垂向結(jié)構(gòu)不再具有光滑的波狀特性，而存在奇性，即有間斷出現(xiàn)，而在該間斷處出現(xiàn)了臨界層。在該臨界層（該間斷）之上，其呈指數(shù)變化，在之下則呈波狀變化；此時(shí)Ψ的最大值出現(xiàn)在臨界層之下的近處。隨著模態(tài)的增加，臨界層的深度在加深。從計(jì)算得到的σ值看，均有σ＞0，故其均為順背景流傳播的波動(dòng)。

圖5 線(xiàn)性變化背景流下不同模態(tài)速度函數(shù)振幅的垂直結(jié)構(gòu)Fig.5 The vertical structures of the velocity function amplitudes of different modes with a linear background current

圖5為V前20個(gè)模態(tài)中的部分模態(tài)的垂向結(jié)構(gòu)分布圖。圖中前9個(gè)模態(tài)的垂向結(jié)構(gòu)也無(wú)奇性，具有光滑的波狀特性。第1模態(tài)最大值出現(xiàn)在上邊界，第2模態(tài)則其出現(xiàn)在海洋中部，并有2個(gè)0點(diǎn)，隨著模態(tài)的增加，0點(diǎn)增多。從第10個(gè)模態(tài)開(kāi)始，V在Ψ臨界層的深度處也出現(xiàn)了臨界層，此時(shí)V的最大值也出現(xiàn)在該臨界層之下的附近處。

4.2 討 論

本文章因?qū)⒁粋€(gè)常微分方程組的特征值問(wèn)題離散化為復(fù)矩陣的廣義特征值問(wèn)題來(lái)進(jìn)行數(shù)值求解，故其計(jì)算結(jié)果形式上都為離散譜。在以上數(shù)值計(jì)算中，在增加分層數(shù)M后，則可判斷原常微分方程組的特征值究竟是離散譜還是連續(xù)譜［10，11］。原模態(tài)1～9在增加分層數(shù)M后譜點(diǎn)數(shù)無(wú)加密現(xiàn)象，故其確為離散譜；而模態(tài)11～20在分層數(shù)M增加后有譜點(diǎn)數(shù)加密（其特征值數(shù)目增多），故此時(shí)σ應(yīng)為連續(xù)譜。這表明在原常微分方程組特征值問(wèn)題中，其σ是連續(xù)分布的，而以上的數(shù)值計(jì)算則因離散化將其歪曲為離散譜。海洋內(nèi)波的連續(xù)譜模態(tài)因存在間斷，表面看來(lái)其似乎無(wú)物理意義（流函數(shù)應(yīng)連續(xù)），不過(guò)該海洋內(nèi)波連續(xù)譜所有模態(tài)的和是連續(xù)的（這里的和是指積分，在數(shù)值計(jì)算時(shí)可用求和來(lái)近似），并也滿(mǎn)足方程組（8）和邊界條件（9）；而該積分則為海洋內(nèi)波波包，在實(shí)際海洋中是有物理意義的。至于海洋內(nèi)波波包在海洋動(dòng)力學(xué)中扮演的角色和其作用，則目前這方面的工作尚不多見(jiàn)，值得深入研究。

當(dāng)背景流存在垂直切變時(shí)，從以上數(shù)值計(jì)算的結(jié)果看，其傳播頻率既存在σ＞0的順背景流傳播的海洋內(nèi)波，也存在σ＜0逆背景流傳播的海洋內(nèi)波。兩個(gè)傳播方向相反的海洋內(nèi)波其形態(tài)大體相似（圖略）。這里就不再給出計(jì)算結(jié)果和進(jìn)行討論。在方程（11）的解析解中也存在方向相反的兩類(lèi)波動(dòng)，數(shù)值解也體現(xiàn)了這一性質(zhì)。另外，本文章雖將地轉(zhuǎn)參數(shù)f設(shè)為常數(shù)，但當(dāng)存在垂直切變背景流時(shí)，因背景流有背景渦度存在，該渦度則會(huì)產(chǎn)生類(lèi)似β效應(yīng)的結(jié)果，故會(huì)有渦旋波出現(xiàn)。海洋內(nèi)波（重力慣性?xún)?nèi)波）和海洋渦旋波是兩類(lèi)性質(zhì)不同的波動(dòng)，前者是非平衡的，后者是準(zhǔn)平衡的。在本文所取參數(shù)下，這兩類(lèi)波動(dòng)是完全可分的。本文為了突出討論背景流對(duì)海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的影響，對(duì)海洋背景流和層結(jié)分布均做了簡(jiǎn)化，而實(shí)際海洋中背景流的垂直變化是復(fù)雜的。本研究結(jié)果仍可作為其一種定性近似。

5 結(jié) 語(yǔ)

了解某一海域海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)是海洋內(nèi)波研究的一項(xiàng)基礎(chǔ)性工作，在海水密度垂向?qū)咏Y(jié)狀況分布較簡(jiǎn)單，且不考慮海水流動(dòng)時(shí)，取地轉(zhuǎn)參數(shù)為常數(shù)的情況下，則易通過(guò)解析解得到其垂向結(jié)構(gòu)，此時(shí)該結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)諧波；但對(duì)密度垂向分布較復(fù)雜，且存在背景流的情況下，解析求解幾乎不可能。本文章利用線(xiàn)性、無(wú)摩擦、不可壓情況下的旋轉(zhuǎn)流體方程組，討論水平方向運(yùn)動(dòng)呈一維狀態(tài)的海洋內(nèi)波。基于數(shù)值計(jì)算的方法，對(duì)背景流中海洋內(nèi)波各個(gè)模態(tài)垂向結(jié)構(gòu)做了分析，并在特定條件下，把數(shù)值解與解析解做了對(duì)比計(jì)算。結(jié)果表明，在無(wú)背景流時(shí)，數(shù)值解在不太高的模態(tài)下精度較高。海洋內(nèi)波的垂向結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)諧波的形式。模態(tài)數(shù)越高，在垂直方向的結(jié)構(gòu)就越復(fù)雜，這時(shí)其模態(tài)均屬海洋內(nèi)波的離散譜。在有背景流垂直切變時(shí)，海洋內(nèi)波的前幾個(gè)模態(tài)仍與簡(jiǎn)諧波類(lèi)似，只不過(guò)因受背景流的調(diào)制，其波形與標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)諧波有所變形，此時(shí)這些模態(tài)仍屬海洋內(nèi)波的離散譜；而在此之后的模態(tài)，其垂向結(jié)構(gòu)不再光滑連續(xù)，而是出現(xiàn)了間斷，即出現(xiàn)了奇性，該間斷處即為臨界層，此時(shí)的模態(tài)屬海洋內(nèi)波的連續(xù)譜（在本文數(shù)值計(jì)算中其被歪曲為計(jì)算離散譜），其解為廣義解。而對(duì)該連續(xù)譜的垂直積分則可得到內(nèi)波波包，其是有物理意義的。

（References）：

［1］ FLIGEL M，HUNKINS.Internal waves dispersion calculated using the Thompson－Haskell method［J］.J.Phys.Oceanogr.，1975，5（3）：541－548.

［2］ HASKELL N.The dispersion of surface waves on multi－layered media［J］.Bull.Seism.Soc Amer，1953，43（1）：17－34.

［3］ PERESKOKOV A.Density stratification and dispersion relation for internal waves in the North Atlantic［J］.Oceanology，1984，24：566－569.

［4］ LEBLOND P H，MYSAK L A.Waves in the ocean［M］.Amsterdam：Elsevier Scientific Publishing Company，1978.

［5］ Cai Shenqun，Gan Zijun.A numerical method of internal waves dispersion relation［J］.Tropic oceanology，1995，14（1）：22－29.蔡樹(shù)群，甘子鈞.內(nèi)波頻散關(guān)系的一種數(shù)值解法［J］.熱帶海洋，1995，14（1）：22－29.

［6］ XIE J S，CAI S Q，HE Y H.A continuously stratified nonlinear model for internal solitary waves in the northern South China Sea［J］.Chinese Journal of Oceanology and Limnology，2010，28（5）：1040－1048.

［7］ ZHANG K B，GAO H S.A numerical method for vertical structure of internal waves in ocean［J］.Tropic oceanology，1997，16（4）：62－67.章克本，高虎山.海洋內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的一種數(shù)值解法［J］.熱帶海洋，1997，16（4）：62－67.

［8］ YE C S，SHEN G G.A subsection solution to the vertical structure of internal waves［J］.Journal of Tianjin University，2004，37（12）：1041－1045.葉春生，沈國(guó)光.內(nèi)波垂向結(jié)構(gòu)的分段求解方法［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，37（12）：1041－1045.

［9］ BENOIT C R，BECKERS J M.Introduction to Geophysical Fluid Dynamics Physical and Numerical Aspects［M］.New Hampshire：ACADEMIC PRESS，2009：37－57.

［10］ ZENG Q C，LI R F，ZHANG M.Spectra and spectral functions in rotating two dimensional compressive motion part I：Distribution of spectra［J］.Journal of Atmospheric Sciences，1990，14（2）：129－142.曾慶存，李榮鳳，張銘.旋轉(zhuǎn)二維可壓縮流動(dòng)的譜和特征函數(shù) －I：譜點(diǎn)分布［J］.大氣科學(xué)，1990，14（2）：129－142.

［11］ ZENG Q C，LI R F，ZHANG M.Spectra and spectral functions of rotating two dimensional compressive motion part（Ⅱ）：Structure of spectral functions and further discussion on spectra［J］.Journal of Atmospheric Sciences，1991，15（1）：1－15.曾慶存，李榮鳳，張銘.旋轉(zhuǎn)二維可壓縮流動(dòng)的譜和特征函數(shù)II－譜和譜函數(shù)結(jié)構(gòu)的分析［J］.大氣科學(xué)，1991，15（1）：1－15.