戴志輝，李芷筠，焦彥軍，王增平

（華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003）

0 引言

繼電保護作為電力系統(tǒng)的第一道防線，其自身的高可靠性是電力系統(tǒng)正常運行的基本保證［1-2］。目前對于繼電保護的可靠性評估主要從保護的原理失效、軟硬件失效、人為因素等角度出發(fā)進行分類分析［3-4］。常用的評估方法如 Markov 模型法［5］、故障樹 法［6］、GO 法［7］及可靠性工程 數據分析方法［8］等對于失效數據量都有一定要求。微機保護和全數字化保護系統(tǒng)的應用極大提高了繼電保護運行的可靠性，極少的運行失效數據也給保護可靠性評估增加了難度。在高可靠性繼電保護系統(tǒng)中直接應用上述方法，可能會出現較大誤差，難以正確反映保護的實際運行狀況，若作為檢修及改進設計的依據可能會造成更大損失。本文基于保護系統(tǒng)實際運行數據，針對高可靠性繼電保護系統(tǒng)特性，研究適用于小樣本失效數據的可靠性評估方法，在反映保護系統(tǒng)各種失效模式的同時有利于進一步提高評估的精度。

對于繼電保護小樣本數據的可靠性評估，可從擴大樣本容量和采用適合小樣本數據的分析方法兩方面著手。目前，國內外已開展了一系列適合小樣本的分析方法研究，如文獻［9］提出一種貝葉斯方法，可結合小樣本下多種來源、多種形式的先驗信息，得到較完整的后驗信息，不需很大的子樣也能得到較好的概率估計值。但在貝葉斯統(tǒng)計推斷方法中，不同形式的驗前分布將引起不同的統(tǒng)計分析后果，對于貝葉斯估計將產生不同的風險。而且由于繼電保護運行的特殊性，其先驗信息非常少，這也給評估帶來很大難度。文獻［10］利用Bootstrap方法將小樣本問題轉化為大樣本問題來估計負荷模型參數的近似分布，該方法對于經驗分布的選取和樣本數量的大小存在一定依賴。文獻［11］通過實例說明了小子樣下Bootstrap方法仿真可能帶來很大偏差。文獻［12］對蒙特卡羅方法進行了闡述，該方法是基于概率統(tǒng)計理論的一種隨機抽樣方法，比較簡單且容易實現，但方法的有效性取決于所建立的數學模型及輸入信息。加之以上方法對于原始數據的分布模型有較大依賴，若選取的分布模型有誤，可能無法進行正確、有效的后續(xù)評估。根據小樣本數據無法確定可靠性數據的分布模型，也成為影響可靠性評估效果的重要因素。此外，支持向量機（SVM）理論在小樣本數據的回歸估計和可靠預測等研究中也得到越來越多的應用，它是一種基于結構風險最小化原則的機器學習方法，在解決小樣本情況下的回歸問題方面展現了良好的學習性能。例如文獻［13］采用SVM回歸代替最小二乘法進行數據擬合，進而通過威布爾分布進行可靠性分析，在小樣本數據情況下，得到了較好的曲線擬合結果。但SVM對噪聲或野值敏感的問題仍待進一步解決，其用于繼電保護可靠性分析時，需要考慮小樣本數據存在的分散性、核函數選取對SVM方法回歸精度和泛化能力的影響。神經網絡具有較好的自學習、自組織和自適應性能力，且其結構特征決定了它具有較強的容錯能力，允許輸入樣本中帶有較大的誤差甚至個別錯誤，對于擴充數據樣本能夠實現較好的仿真［14］，有利于減小本文所提方法的誤差。

綜上，結合高可靠性繼電保護系統(tǒng)運行的特點，提出一種基于BP神經網絡的小樣本失效數據下繼電保護可靠性評估方法。該方法通過已有的小樣本失效數據，根據經驗公式計算其可靠度作為BP神經網絡的輸入，將失效數據作為輸出，對BP神經網絡進行學習訓練，并用訓練后的模型對小樣本數據進行擴充。利用擴充的數據樣本進行可靠性評估，較好地解決了分布模型的選取問題，且能有效提高評估效果和精度，為解決小樣本數據下繼電保護系統(tǒng)可靠性評估提供了新的思路。

1 繼電保護可靠性分布模型

對于繼電保護裝置的可靠性評估，目前采用的失效分布模型主要包括指數分布模型和威布爾分布模型等連續(xù)型分布模型。

指數分布可分為單參數指數分布和雙參數指數分布，雙參數指數分布比單參數指數分布多一個位置參數γ，下面給出其分布函數。

故障概率密度函數：

可靠度函數：

其中，t為時間；λ為指數分布的失效率，是一個與時間無關的常數，可用來描述設備的偶然失效，對應“浴盆曲線”的盆底段；位置參數γ表示分布函數的起始時刻。

威布爾分布近年來在可靠性設備壽命分析中得到了廣泛應用，它對各種類型的數據擬合能力較強，可較全面地描述產品不同失效期的失效過程與特征。且當威布爾分布的形狀參數m=1時，它退化為指數分布；當參數m?［3，4］時，其分布接近于正態(tài)分布。威布爾分布有兩參數威布爾分布和三參數威布爾分布，這2種分布在失效率函數、故障概率密度函數、可靠度函數等方面具有相似性。一般在可靠性分析過程中兩參數威布爾分布模型應用較多，下面給出其函數［15］。

故障概率密度函數：

失效率函數：

可靠度函數：

其中，t為時間；m為形狀參數；η為刻度參數。

由于在繼電保護可靠性評估過程中，選取的設備失效分布模型在很大程度上決定了評估效果［16］，因此有必要科學地確定其失效分布模型。對于小樣本失效數據，由于其特征不明顯，不論采用指數分布還是威布爾分布都能得到較好的擬合結果［17］，卻可能無法真實反映繼電保護失效本身的特性。本文在擴充失效樣本的基礎上通過最小二乘法擬合中的相關系數區(qū)分和確定哪種分布更適合待分析繼電保護系統(tǒng)的失效特征。

2 BP神經網絡模型

2.1 神經網絡原理

神經網絡是對人的神經系統(tǒng)的模擬，由于BP神經網絡具有較好的函數逼近能力［18-19］，本文采用BP神經網絡對高可靠性繼電保護小樣本失效數據進行模擬仿真完成數據擴充。

BP神經網絡基本結構見圖1。BP神經網絡由輸入層、隱層和輸出層構成，每個神經元將加權后的輸入與閾值（偏移）向量代數求和后得到各自的輸出。

圖1 BP神經網絡Fig.1 Schematic diagram of BP neural network

利用BP神經網絡仿真主要分為以下幾個步驟。

a.構造網絡模型，包括確定輸入/輸出數據形式、網絡層次及傳遞函數形式。

b.網絡學習訓練，確定權系數和閾值參數。

c.利用網絡進行仿真。

2.2 BP神經網絡模型及學習訓練

BP神經網絡的傳遞函數必須可微，為了盡量減少仿真誤差，本文采用2層模型，輸入層神經元采用log-sigmoid型傳遞函數logsig，輸出層采用線性傳遞函數purelin。

BP神經網絡的訓練利用誤差反傳原理，不斷調整網絡的權值使網絡模型輸出值與已知的訓練樣本輸出值之間的誤差平方和達到最小或小于某一期望值。本文采用梯度下降動量BP算法進行BP神經網絡的學習訓練，該算法的學習速率是自適應的，且網絡訓練誤差較小，能得到較好的數據仿真結果。

3 基于BP神經網絡的繼電保護可靠性評估

BP神經網絡方法用于小樣本數據的可靠性評估，一方面能減小對分布模型的依賴，從而達到減小評估誤差和不確定性的效果；另一方面可通過擴大數據樣本更準確地判別分布模型?；贐P神經網絡的可靠性評估過程如圖2所示。

3.1 基于BP神經網絡的繼電保護可靠性數據樣本擴充

設有N臺繼電保護裝置的失效數據t1、t2、…、tr（r＜N），且 t1≤t2≤…≤tr，其中，樣本數據容量 r≤10。

圖2 基于BP神經網絡的繼電保護系統(tǒng)可靠性評估流程圖Fig.2 Flowchart of relay protection system reliability assessment based on BP neural network

在未知數據樣本的分布模型的情況下，可以通過經驗分布函數估計出經驗可靠度作為BP神經網絡的輸入。但經驗分布函數在樣本容量較小時會有較大的計算誤差，為減小誤差，在小樣本情況下，可采用下列公式計算經驗可靠度［14］。

海森公式：

近似中位秩公式：

數學期望公式：

式（6）—（8）各有其適用性，對不同分布模型的參數估計，其誤差不同。因此有必要在使用經驗公式時對其進行誤差校驗，力求挑選出最適合數據樣本分布模型的經驗公式，以減小評估誤差，提高評估效果。本文將通過算例說明當分布模型選取為威布爾模型時，近似中位秩公式誤差最??；當分布模型選取為指數分布時，數學期望公式誤差最小。

對于原始小樣本失效數據，按經驗公式可計算出其對應的可靠度值 R（ti），并將向量｛R（t1），R（t2），…，R（tr）｝作為 BP 神經網絡的輸入，將｛t1，t2，…，tr｝作為BP神經網絡的輸出，對BP神經網絡進行學習訓練，以優(yōu)化確定網絡內部的結構參數，即權參數和閾值參數，一旦參數得到確定，即可應用該網絡模擬生成新的可靠性數據。訓練樣本少會對BP神經網絡的訓練產生一定影響，因此本文未直接使用BP神經網絡對可靠度或失效時間等指標進行預測，而是首先針對原始數據樣本，利用BP神經網絡仿真得到與原始數據樣本變化規(guī)律近似的擴充數據，然后采用基于最小二乘法的威布爾分布模型進行參數估計，較直接進行可靠性指標計算而言，擬合誤差要小。

由BP神經網絡的特性可知，網絡模擬生成的新的可靠性數據與原始數據有近似的規(guī)律和特性，且樣本量的擴大減小了偶然因素，一定程度上避免了因對分布模型的依賴而造成的誤差，甚至錯誤評估。

3.2 基于擴充數據樣本的保護可靠性評估

由于BP神經網絡仿真模擬生成的擴充數據樣本與原始數據樣本具有相同的變化規(guī)律，可利用BP神經網絡模擬生成的可靠性數據及其對應的可靠度，分別對指數分布和威布爾分布模型進行最小二乘法參數估計，計算出各模型的參數值；并根據最小二乘法的相關系數ρ確定擴大的數據樣本的分布模型，即相關系數ρ的絕對值越接近于1，這組數據越符合該分布模型。

通過比較指數分布和威布爾分布模型的相關系數ρ的絕對值與1的接近程度，對該樣本數據的分布模型進行區(qū)分和確定，解決了因數據樣本少而無法選擇最適合的分布模型的問題，也間接提高了參數估計的精度。

確定分布模型并得到各參數后，即可利用第1節(jié)所示各分布模型的可靠度函數計算可靠性指標。

4 算例分析

選取某一型號的繼電保護裝置50臺，在同樣的操作水平和工況下，記錄它們各自的投入運行時間和發(fā)生故障的時間，如表1所示，選取裝置最后的故障時刻2007-12-25T09-00為截止時刻。

表1 繼電保護系統(tǒng)運行數據記錄Table 1 Operational data records of relay protection system

將正確動作的數據濾除，然后按照設備運行的時間長短排序得到失效數據樣本，即：t1=4399 h，t2=5862 h，t3=9582 h，t4=9606 h，t5=13327 h，t6=16158h，t7=17622 h，t8=20407 h。分別采用海森公式、數學期望公式、近似中位秩公式計算其對應的經驗可靠度值如表2所示。

分別將海森公式、數學期望公式、近似中位秩公式對應的向量 R1（ti）、R2（ti）、R3（ti）作為 BP 神經網絡的原始輸入，將失效時間組成的向量T作為其各自的輸出，通過MATLAB程序實現BP神經網絡的學習、訓練，訓練誤差小于0.001時，訓練結束。向量R1（ti）、R2（ti）、R3（ti）和 T 分別為：

表2 經驗可靠度Table 2 Experience reliability

為了獲得較好的仿真估計效果，可根據原始輸入可靠度值的范圍大致確定仿真輸入的范圍，擴充數據樣本量也可以根據實際需要確定。本算例為了得到樣本量為50的擴充數據樣本，將0.8～1范圍內的50個隨機數按從大到小的順序排列成向量，輸入已經訓練完成的BP神經網絡進行仿真，得到50個新的失效數據，作為原始數據的擴充樣本。

對擴大數據樣本，分別采用最小二乘法進行指數分布和威布爾分布參數估計，其結果如表3所示。

分析各經驗公式下的各分布模型參數估計結果可得以下結論。

a.最小二乘法曲線擬合的相關系數ρ反映了原始數據與所擬合分布模型的符合程度，整體比較指數分布和威布爾分布模型的曲線擬合相關系數可知，指數分布最符合該原始失效數據的失效分布模型，威布爾分布其次。

b.比較指數分布和威布爾分布模型的參數估計曲線擬合結果可知，其原始數據樣本與擴充數據樣本之間的參數估計誤差都較小。但指數分布模型和威布爾分布模型在不同的經驗公式下，其參數估計誤差大小略有差異。威布爾分布模型在近似中位秩公式下，其擴充數據樣本與原始樣本的參數估計最接近，而指數分布在數學期望公式下的擴充數據樣本與原始樣本參數估計的誤差最小。

c.比較近似中位秩公式下的威布爾分布模型和數學期望公式下的指數分布模型參數估計的原始數據與擴充數據樣本的曲線擬合相關系數可知，擴充數據樣本的相關系數相比原始數據的相關系數更接近于1，說明擴充數據樣本比原始數據樣本能得到更好的曲線擬合效果，參數估計也更精確，可靠性評估效果更好。

表3 最小二乘法參數估計結果Table 3 Results of parameter estimation by least square method

5 結論

本文結合高可靠性繼電保護裝置失效數據的小樣本特點，采用BP神經網絡對原始數據樣本進行擴充，并根據擴充數據樣本進行可靠性評估，既在一定程度上克服了因原始數據樣本過小而影響評估效果的問題，也能減少對分布模型的依賴和評估的偶然性，從而達到對小樣本數據進行有效評估的目的，算例分析結果驗證了其有效性。本文研究可得出如下結論。

a.指數分布和威布爾分布可以作為繼電保護可靠性評估的分布模型，這與繼電保護裝置的失效特性曲線——浴盆曲線是相符的，且對于分布模型的判別和選取，可以根據各分布模型的最小二乘法曲線擬合的相關系數來實現。

b.為了盡量減少擴充數據樣本的誤差，選擇合適的經驗公式很有必要。分布模型選取為威布爾模型時，近似中位秩公式誤差最?。环植寄Ｐ瓦x取為指數分布模型時，數學期望公式誤差最小。

c.BP神經網絡模型仿真方法作為小樣本數據擴充數據樣本的方法有其優(yōu)勢，這是由BP神經網絡模型本身的特性決定的。一方面BP神經網絡能避免失效數據分散性、分布模型選取失誤導致的評估誤差；另一方面，擴充數據樣本與原始數據樣本的變化規(guī)律基本相同，可作為可靠性指標參數估計的參考數據。