曹景記，唐曉明，魏周拓

中國石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，COSL-UPC聲學(xué)測井聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，青島 266580

1 引言

聲波遠(yuǎn)探測測井技術(shù)包括單極縱波和偶極橫波兩種方法，對于單極縱波方法，國內(nèi)已經(jīng)開展了大量的研究工作，見薛梅（2002）、楚澤涵等（2005），喬文孝等 （2004），車小花等（2004）以及何峰江（2005）、陶果等（2008）等發(fā)表的研究結(jié)果，在這些研究基礎(chǔ)上，CNPC大港測井公司于2005年研制了新型遠(yuǎn)探測聲波反射波測井儀器，取得了一定的應(yīng)用效果.偶極橫波方法則是近幾年發(fā)展起來的，偶極橫波遠(yuǎn)探測技術(shù)能夠探測井周圍數(shù)米到數(shù)十米范圍內(nèi)的地層構(gòu)造及地質(zhì)體（Yamamoto et al.，1998；Coates et al.，2000；Li et al.，2002；Tang et al.，2007），把常規(guī)測井技術(shù)的測量范圍從井周一米左右提高到幾十米，在分辨率和探測深度方面，填補(bǔ)了常規(guī)聲波測井和井間地震之間的探測空白.

井中聲源在地層中的輻射特性對聲波遠(yuǎn)探測測井有重要的意義.明確不同地層類型及頻率條件下聲源的輻射特性對遠(yuǎn)探測儀器的研制有指導(dǎo)作用.Hornby（1989）提出了井中單極聲源遠(yuǎn)探測測井的原理和方法，此后，人們對井中單極聲源的輻射特性做了深入的研究，Meredith（1990）采用解析和數(shù)值相結(jié)合的方法研究了井中單極子聲源在不同地層中的輻射特性；國內(nèi)，車小花和喬文孝（2004）、陳雪蓮和吳金平（2010）等人研究了套管井中相控聲源的井外輻射特性.但對多極子聲源，尤其是偶極聲源在井外的輻射聲場，尚未做深入研究.雖然偶極測井技術(shù)已問世多年，但人們對偶極聲場的研究，主要是井孔內(nèi)的聲場（劉繼生等，1998；周江來等，2011）.而在已有的偶極聲場輻射分析中（Tang and Patterson，2009；Wei and Tang，2012），往往采用的是聲場積分表達(dá)式的低頻遠(yuǎn)場近似（以下稱低頻近似方法），其結(jié)果僅在波長遠(yuǎn)大于井徑時(shí)成立.在現(xiàn)有的偶極聲波遠(yuǎn)探測測井中，聲源頻率往往是數(shù)千赫茲，上述低頻近似方法的適用范圍有待考察.因此，聲源在不同頻率，不同地層類型中的輻射特性需要進(jìn)一步深入研究，這是本文的主要研究目的之一.

偶極橫波遠(yuǎn)探測技術(shù)的一個(gè)重要的應(yīng)用前景是在套管井測井時(shí)找尋井外地層的油氣構(gòu)造.在國外，Bradley最近報(bào)道了偶極橫波遠(yuǎn)探測技術(shù)在北歐北海地區(qū)的套管井中探測井外天然氣構(gòu)造的應(yīng)用（Bradley et al.，2011）；在國內(nèi)，利用偶極橫波遠(yuǎn)探測技術(shù)也在套管井中看到了井外的地層構(gòu)造（詳見下文）.但是，套管對偶極聲源輻射的影響的理論分析，尚未有報(bào)道.基于以上原因，本文重點(diǎn)研究了套管井中不同耦合情況下的SH橫波遠(yuǎn)場輻射特性的變化規(guī)律，并與裸眼井的情況進(jìn)行了對比分析.本文的結(jié)果加深了在裸眼井和套管井條件下，對偶極聲源在不同類型地層中的輻射特性的認(rèn)識，為偶極橫波遠(yuǎn)探測技術(shù)的應(yīng)用提供了理論支持.

2 基本理論和方法

采用如圖1所示的直角坐標(biāo)系，將一偶極聲源置于沿z軸延伸，半徑為a的充液井孔中，指向x軸正方向.θ是聲源到輻射場點(diǎn)的輻射方向與z軸正方向之間的夾角，φ為輻射方向與z軸所在豎直平面的方位與偶極指向夾角的余角，uφ和uθ分別是SH及SV橫波產(chǎn)生的位移，R是聲源到場點(diǎn)之間的距離.本文只考慮聲源的輻射橫波，地層中橫波的位移矢量場可表示為：

圖1 充液井孔中的偶極聲源向井外地層輻射的聲場采用圖示的直角坐標(biāo)系描述Fig.1 A rectangular coordinate system is used to analyze the far-field radiation of a dipole source in a fluid-filled borehole

其中，r和z分別為徑向和軸向距離，ω是圓頻率，k是軸向波數(shù)，s是橫波的徑向波數(shù)；D和F分別是地層中SH和SV橫波的振幅系數(shù)，S（ω）為聲源函數(shù)譜.在裸眼井條件下，振幅系數(shù)由下面的矩陣方程確定：

其中，A是井中偶極聲波的振幅系數(shù)，B為地層中縱波的振幅系數(shù)，這兩者不在本文考慮之內(nèi)；udf和分別為井中偶極聲源在井壁上產(chǎn)生的徑向位移和徑向正應(yīng)力.為了方便敘述，這里將（3）式右側(cè)與聲源有關(guān)的向量稱為b向量，左側(cè)的矩陣稱為M矩陣.矩陣M和b的元素表達(dá)式詳見附錄A.

對于耦合良好的套管井，套管、水泥和地層組成了圓柱形層狀介質(zhì).層與層之間的聲場由湯姆森-哈斯克傳播矩陣T連接.假定井壁和地層之間有N-1圓柱層，第j層內(nèi)的傳播矩陣gj由該層在內(nèi)半徑Rin下的T（j，Rin）矩陣和外半徑Rout下的T（j，Rout）矩陣的逆矩陣相乘得到，即gj=T（j，Rin）·T-1（j，Rout）.所有層內(nèi)g矩陣與地層中的T（N，Rmf）矩陣的乘積記為根據(jù)G 矩陣和M矩陣的推導(dǎo)，可以得到地層中SH和SV橫波的振幅系數(shù)D和F，由下面矩陣方程確定：

這里的矩陣元素Mij以及方程右邊的各變量與方程（3）相同，G矩陣的元素Gij可以由不同層內(nèi)的T矩陣求出，T矩陣的元素表達(dá)式詳見附錄B.

套管井耦合不好的情況，可以在固體層之間加一液體層來模擬.因?yàn)楣?固和固-液界面的邊界條件不同，所以要對流體層的邊界條件進(jìn)行單獨(dú)處理，再利用湯姆森-哈斯克傳播矩陣T連接固體層之間的聲場（唐曉明和鄭傳漢，2004）.最后得到以下矩陣方程來確定井外地層中SH和SV橫波的振幅系數(shù)D和F：

式 中 O= ［A′，AL-1，BL-1，CL-1，DL-1，EL-1，F(xiàn)L-1，AL，BL，B，D，F(xiàn)］T，是一個(gè)含有十二個(gè)未知系數(shù)的向量，除井和流體層聲波以及與流體層（序號L）相鄰的固體層（序號L-1）的縱、橫波振幅系數(shù)外，其中包括了待求的地層輻射波的振幅系數(shù)D和F.矩陣H的元素表達(dá)式詳見附錄C.

將地層中彈性波的位移勢函數(shù)（式（2））代入到位移場表達(dá)式（式（1））中，得到井外無限大地層中SH和SV 橫波在柱坐標(biāo)系下位移分量的積分解

采用球坐標(biāo)，則θ方向的位移分量為

式中，uφ為平行于水平面的質(zhì)點(diǎn)位移，即SH型橫波的位移，而uθ為與垂直向夾角為θ的方向上的SV型橫波的位移.

在遠(yuǎn)探測測井中，考慮的是遠(yuǎn)離井軸地層中的地質(zhì)構(gòu)造，即輻射聲場的遠(yuǎn)場情況.將最速下降法（郭敦仁，1978）用于（2）式中的積分表達(dá)式，得到輻射距離遠(yuǎn)大于波長條件下彈性橫波位移勢的遠(yuǎn)場漸近解（唐曉明和魏周拓，2012）

其中，k0=ωcosθ／β為軸向波數(shù)的橫波最速下降解，β為地層橫波速度.將（8）式代入（1）式，在忽略O(shè)（1／R2）的條件下便可得到井外無限大地層中SH和SV橫波的位移遠(yuǎn)場漸近解，在頻域內(nèi)的表達(dá)式為

其中，ρ和μ分別是地層的密度和剪切模量.（9）式括號中的表達(dá)式分別定義了SH和SV橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性

將k=k0代入式（3）、（4）和（5）中可以分別對裸眼井和耦合良好與耦合不好的套管井的情況計(jì)算任意頻率下的遠(yuǎn)場振幅系數(shù)D和F，再利用（10）式便可計(jì)算這些情況下偶極聲場的遠(yuǎn)場輻射指向性.

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 算法對比驗(yàn)證

本文從偶極聲場的遠(yuǎn)場漸近解出發(fā)，對不同聲源頻率、地層類型下裸眼井及套管井中偶極聲源的遠(yuǎn)場橫波輻射特性進(jìn)行研究.為了考察該方法的可靠性和正確性，以SH橫波為例，本文將利用遠(yuǎn)場漸近解（（9）式）模擬的波形結(jié)果與對（6）式中的積分表達(dá)式嚴(yán)格求解計(jì)算的波形結(jié)果進(jìn)行了對比.求積分解的方法和步驟與求解井孔聲場時(shí)相同（唐曉明和鄭傳漢，2004）.計(jì)算所用的地層、套管、水泥層以及井內(nèi)流體的彈性參數(shù)如表1所示.

表1 模型計(jì)算參數(shù)Table 1 Model calculation parameters

圖2是在快速地層中裸眼井的情況下，用SH橫波位移的精確解和遠(yuǎn)場漸近解計(jì)算的波形的對比，計(jì)算所用井孔半徑為0.104m，聲源是頻率為3000Hz的Kelly子波；接收器陣列放置于yoz面，且垂直于y軸，聲源距離接收器陣列為5m，接收器間隔為1m，共計(jì)15個(gè)接收器.其中，黑色實(shí)線為精確解計(jì)算的結(jié)果，紅色虛線為漸近解計(jì)算的結(jié)果.二者幾乎完全重合，表明了在場點(diǎn)和聲源之間的距離遠(yuǎn)大于波長的遠(yuǎn)場條件下，遠(yuǎn)場漸近解得到的結(jié)果是精確可靠的.

利用彈性橫波位移的遠(yuǎn)場漸近解及其輻射指向性（10）式，我們來詳細(xì)討論不同聲源頻率、地層類型以及不同耦合情況的套管對偶極聲源橫波輻射特性的影響.

圖2 快速地層條件下，SH橫波位移的精確解和遠(yuǎn)場漸近解計(jì)算結(jié)果對比Fig.2 Comparison of SH waves using exact and asymptotic solution methods for the fast formation

3.2 不同聲源頻率下裸眼井中偶極聲源遠(yuǎn)場輻射特性

迄今為止的井中偶極聲源的輻射指向性分析都是利用遠(yuǎn)場輻射結(jié)果（式（6），（7））在低頻條件（波長遠(yuǎn)大于井徑）下得到的（唐曉明和魏周拓，2012），以下稱低頻近似法；而本文所采用的橫波位移的遠(yuǎn)場漸近解對任意頻率都是適用的，以下稱遠(yuǎn)場漸近法.我們可以比較這兩種方法的計(jì)算結(jié)果，并以此來考察低頻近似方法的適用性.先討論聲源頻率為400Hz的低頻情況.圖3給出了快速地層中SH和SV橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性，其中，徑向刻度（0.5、1和1.5）表示了單位強(qiáng)度的聲源輻射到地層中的SH和SV橫波相對幅度值（以下各圖中該刻度的意義相同，不再贅述），豎直方向代表井軸.圖中外部和內(nèi)部的實(shí)線分別表示利用低頻近似法得到的SH及SV橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性，空心圓圈和叉號則分別表示利用遠(yuǎn)場漸近法（（10）式）計(jì)算得到的SH及SV橫波的波幅的指向性.計(jì)算SH指向性時(shí)，取φ=0°，場點(diǎn)位于yoz平面內(nèi)；計(jì)算SV指向性時(shí)，取φ=90°，場點(diǎn)位于xoz平面內(nèi).在這兩個(gè)參考平面之外的SH和SV的輻射指向性則分別以cosφ和sinφ的形式呈規(guī)律性的變化，如式（10）所示.因此，在以下的討論中，我們只考慮這兩個(gè)參考平面中的SH或SV的輻射指向性.

圖3 在快速地層條件下，聲源頻率為400Hz時(shí)，遠(yuǎn)場漸近法（標(biāo)識符號）和低頻近似法（曲線）得到的SH和SV橫波的輻射指向性的對比.徑向刻度為波幅Fig.3 SH-and SV-wave radiation patterns from asymptotic solution （markers）and low-frequency approximation solution（curves）for the fast formation at source frequency 400Hz.Radial labels denote radiation amplitude

對比這兩種方法的計(jì)算結(jié)果，可以看出兩者吻合很好，表明在滿足低頻條件時(shí)，低頻近似的方法是適用的.圖中SH橫波在豎直平面內(nèi)均勻輻射，呈圓形，而SV橫波的輻射呈現(xiàn)上下對稱的兩個(gè)圓，且在水平方向存在零點(diǎn)；此外，SH橫波的幅度恒大于SV橫波.綜上可知SH較SV對井外不同傾角的反射體具有更好的輻射覆蓋性.這種低頻條件下的偶極輻射指向性與單力源在無限大彈性介質(zhì)中的情形相似（Ben-Menahem and Kostek，1991），說明低頻時(shí)，井孔對輻射聲場幾乎沒有影響，但是，隨著頻率增加，波長變短，井孔對輻射場的調(diào)制作用變得重要起來.

圖4給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，快速地層中SH和SV橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性，計(jì)算所用頻率在常規(guī)偶極測井的頻率范圍內(nèi).這時(shí)低頻近似解所需的條件不再滿足.圖中的實(shí)線和虛線表示利用（10）式計(jì)算得到的SH和SV橫波分別在yoz和xoz平面內(nèi)的輻射指向性.圖4與圖3低頻的情況相比，輻射波幅大大增加，輻射指向，特別是SH的指向，向水平面方向顯著增強(qiáng)，說明此時(shí)探測與井平行或大致平行的反射體，比探測與井斜交的反射體更為有利.圖4與圖3對比表明在常規(guī)測井頻率下，井孔對輻射聲場有明顯的調(diào)制作用，低頻近似的結(jié)果不再可靠，這時(shí)應(yīng)該采用遠(yuǎn)場漸近解的結(jié)果.

圖4 在快速地層條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，SH和SV橫波的輻射指向性.徑向刻度為波幅Fig.4 SH-and SV-wave radiation patterns for the fast formation at source frequency 3700Hz.Radial labels denote radiation amplitude

3.3 慢速地層對偶極聲源遠(yuǎn)場輻射特性的影響

在相同的工作頻率下，井中偶極聲源在慢速地層中輻射波的波長較快速地層時(shí)大為減少，使得井孔對聲場輻射指向的調(diào)制作用增強(qiáng).圖5給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，慢速地層中SH和SV橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性，實(shí)線和虛線表示利用（10）式計(jì)算得到的SH和SV橫波分別在yoz和xoz平面內(nèi)的輻射指向性.與圖4快速地層情況相比，SH和SV橫波的輻射波幅大為降低，其指向性在井軸方向大為壓縮，體現(xiàn)了慢速地層中，由于波長變短，井孔對輻射聲場的調(diào)制作用增強(qiáng).對比這兩種情況下SH及SV橫波的輻射指向性，可以得知，快速地層條件下SH和SV橫波的輻射性能及其在豎直平面內(nèi)的輻射覆蓋性較慢速地層要好.

圖5 在慢速地層條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，SH和SV橫波的輻射指向性.徑向刻度為波幅Fig.5 SH-and SV-wave radiation patterns for the slow formation at source frequency 3700Hz.Radial labels denote radiation amplitude

偶極橫波遠(yuǎn)探測在套管井中的研究和應(yīng)用目前開展的還很少.由于套管井的大量存在，研究套管井中偶極聲源在井外地層中的輻射特性是十分必要的.在偶極橫波遠(yuǎn)探測中，由于SH較SV具有更為重要的地位，所以在以下套管井的討論中，只對地層SH橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性做詳細(xì)研究.

3.4 套管井中SH橫波輻射特性

我們討論兩種情況：① 套管與地層耦合良好，② 套管與地層沒有耦合（稱為自由套管情況）.在①的情況下，聲源產(chǎn)生的聲場透過套管、水泥環(huán)，然后輻射到地層中去，這種情況的輻射聲場的振幅系數(shù)由式（4）給出.在②的情況下，穿過套管的波還需透過套管與地層之間的流體環(huán)，這種情況的輻射聲場的振幅系數(shù)由式（5）描述.圖6給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，裸眼井、套管耦合良好和自由套管下快速地層（表1）中的SH橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性.模擬計(jì)算中流體環(huán)的厚度為24mm.最外部實(shí)線（Open）表示裸眼井情況下的輻射指向性，中間的虛線（Free）代表自由套管下的指向性，最內(nèi)部的實(shí)線（Good）表示套管耦合良好下的指向性.從輻射到地層中的SH橫波的波幅大小來看，裸眼井情況下聲源輻射到地層中的SH波能量最大，其次是自由套管，反而當(dāng)套管耦合良好時(shí)，聲源輻射到地層中的SH橫波能量最小.這是因?yàn)榫o鄰聲源的鋼套管的聲阻抗遠(yuǎn)比地層的大，這一高阻抗層的存在明顯地降低了輻射到地層中的聲場能量.在自由套管情況下，套管與地層解耦，在聲源作用下振動(dòng)增強(qiáng)，故輻射的聲場能量也隨之增大.總的來講，雖然加套管之后，聲源輻射到地層中的SH橫波的能量有所減小，但是與裸眼井的情況相比，沒有量級上的差別，表明在快速地層的套管井中進(jìn)行偶極橫波遠(yuǎn)探測是可行的.

圖6 裸眼井、套管耦合良好和自由套管條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，快速地層中SH橫波的輻射指向性Fig.6 Radiation patterns of SH waves for open hole，cased hole with good bonding，and cased hole with freepipe condition.Fast formation of Table 1is used and source frequency is 3700Hz

我們來考察慢速地層情況下，套管對偶極輻射的影響.圖7給出了聲源頻率為3700Hz時(shí)，裸眼井（Open）、套管耦合良好（Good）和自由套管（Free）下慢速地層 （表1）中的SH橫波的遠(yuǎn)場輻射指向性.從輻射指向性的波幅大小來看，慢速地層中輻射波幅與快速地層（圖6）相比大為降低.雖然這時(shí)裸眼井情況下聲源輻射到地層中的能量仍然最大，但自由套管下輻射到地層中的能量比套管耦合良好時(shí)的能量小，這與快速地層的情況相反.造成這種情況的原因是：慢速地層中的自由套管會向地層輻射出馬赫波，從而減少了聲源向地層的直接輻射，這一情況的模擬和解釋將另文討論.總體來講，套管的存在，使得偶極聲場的輻射較裸眼井時(shí)降低.雖然聲源在井外地層中的輻射聲場具有一定的能量，但與快速地層的情況相比，輻射能量大幅度降低.由此可以推測慢速地層套管井中偶極橫波遠(yuǎn)探測的信噪比比快速地層時(shí)要低.

圖7 裸眼井、套管耦合良好和自由套管條件下，聲源頻率為3700Hz時(shí)，慢速地層中SH橫波的輻射指向性Fig.7 Radiation patterns of SH waves for open hole，cased hole with good bonding，and cased hole with freepipe condition.Slow formation of Table 1is used and source frequency is 3700Hz

4 實(shí)例分析

綜合本文的理論預(yù)測結(jié)果，我們對一個(gè)套管井中偶極橫波遠(yuǎn)探測成像的實(shí)例進(jìn)行分析和解釋.圖8中第一道是西北某一快速地層的套管井中偶極橫波測井的原始波形圖，顯示的主要為沿井傳播的彎曲波.第二道顯示了成像井段的深度.聲源輻射到井外，并由地層中反射體反射回來的波的振幅一般很小，被淹沒或隱藏于彎曲波之中.但是，通過成像處理，這些反射波可以被提取出來，并用于反射體的成像處理.處理結(jié)果由圖中的第三和第四道所示.由于偶極聲源的指向性，采用四分量的測量數(shù)據(jù)（xx，xy，yx，yy；圖中第一道顯示的是xx分量的數(shù)據(jù)），可以選擇不同的輻射方向進(jìn)行成像.第三和第四道的輻射方向分別是N—S和E—W方向.由圖中的成像結(jié)果可見，在X628m的深度左右，距井約10m處，存在一近乎于垂直的反射體（圖中紅色橢圓所圈部分）.該反射體在N—S方向上清晰可見，但在E—W方向上的成像結(jié)果相對模糊，幅值較低.在垂直反射體所處深度之上，存在一個(gè)過井的傾斜反射體構(gòu)造（黑色虛線所示），在這兩個(gè)輻射方向上都可以看到，且清晰度相當(dāng).圖8套管井遠(yuǎn)探測成像探到的井外反射體證實(shí)了前面關(guān)于套管井中進(jìn)行遠(yuǎn)探測測井的可行性預(yù)測，同時(shí)還看到了成像結(jié)果具有偶極輻射所示的方向性.下面我們對成像結(jié)果做進(jìn)一步的理論分析.

對于一個(gè)與井近乎平行的反射體，波的輻射和反射的路徑與井軸近乎垂直，即（10）式的θ取值差不多是90°，由（10）式可知這時(shí)輻射的SV波為零，反射波幾乎完全是SH波的貢獻(xiàn).（10）式表明SH波幅隨輻射方位角呈cosφ變化規(guī)律.圖8中垂直反射體在第三道中N—S方向上成像較強(qiáng)，在第四道中E—W方向上成像較弱，表明N—S輻射方向與垂直反射體的走向之間的夾角φ比E—W方向時(shí)小.偶極輻射理論表明當(dāng)反射體的走向與聲源指向平行時(shí)（φ=0°）其受到的SH波輻射為最強(qiáng).圖8中的成像結(jié)果表明反射體的走向差不多是在N—S方向.對這一套管井中遠(yuǎn)探測成像實(shí)例的分析結(jié)果與前述的偶極聲源在套管井中的輻射特征相符合.

5 結(jié)論

通過以上研究工作，得出以下結(jié)論：

（1）遠(yuǎn)探測測井時(shí)偶極聲源輻射的遠(yuǎn)場聲場是幾何擴(kuò)散因子為距離倒數(shù)的球面波，但地層類型，聲源頻率及套管的存在與否對輻射指向性有明顯的調(diào)制作用；

（2）聲源頻率越高，地層（橫波）速度越低，即波長相對于井徑越小時(shí)，調(diào)制作用越明顯，當(dāng)輻射指向偏向于井軸時(shí)更是如此；

（3）在快速地層中的套管井中進(jìn)行偶極橫波遠(yuǎn)探測測井，無論套管與地層是否耦合，都是可行的，盡管套管的存在使得輻射到地層中的能量（相對于裸眼井的情況）有所降低.對套管井遠(yuǎn)探測成像實(shí)例的分析證明了偶極聲源輻射的理論結(jié)果.

圖8 在快速地層條件下，套管井中偶極橫波遠(yuǎn)探測成像處理結(jié)果Fig.8 A cased-hole single-well shear-wave imaging example

附錄

A 裸眼井條件下M矩陣和b向量各元素表

達(dá)式

其中，a 是井孔半徑，k是軸向波數(shù)，f= （k2-k2f）1／2是井中流體聲波的徑向波數(shù)，p= （k2-ω2／α2）1／2是地層縱波的徑向波數(shù)，s= （k2-ω2／β2）1／2是地層橫波的徑向波數(shù)，ρf是流體密度，ρ是地層密度，ω是圓頻率，α是地層縱波速度，β是地層橫波速度.

B 套管井（耦合良好）條件下T矩陣各元素

表達(dá)式

C 自由套管條件下H矩陣各元素表達(dá)式

其中，r2是套管與流體層界面到井軸的距離，r3是地層到井軸的距離.由T矩陣元素表示的H 元素的說明如下：T右上角的數(shù)字代表圓柱層序號（套管、流體環(huán)、地層的序號分別為1、2、3），右上角的字母i代表在層的內(nèi)半徑處取值，t代表在層的外半徑處取值，未列出的矩陣H的元素取值為0.

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