鄭偉，許厚澤，鐘敏，員美娟

1中國科學院測量與地球物理研究所 大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢 430077

2武漢科技大學理學院，武漢 430081

1 引言

21世紀是利用衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星技術（SST）和衛(wèi)星重力梯度技術（SGG）提升對“數(shù)字地球”認知能力的新紀元.重力衛(wèi)星CHAMP（CHAllenging Minisatellite Payload）、GRACE（Gravity Recovery and Climate Experiment）和GOCE（Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer）的成功升空以及GRACE Follow-On的即將發(fā)射昭示著人類將迎來一個前所未有的衛(wèi)星重力探測時代.CHAMP、GRACE和GOCE衛(wèi)星各有所長，它們的相繼發(fā)射不是相互競爭而是互相補充.CHAMP是衛(wèi)星重力測量計劃成功實施的先行者，GRACE的優(yōu)越性體現(xiàn)于可高精度探測地球重力場的中長波信號及時變（2≤L≤120階），而GOCE擅長于感測地球中短波靜態(tài)重力場（120＜L≤250階）（鄭偉等，2011a），因此聯(lián)合求解GRACE和GOCE的衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)有利于反演高精度、高空間分辨率和全頻段的地球重力場.基于GRACE衛(wèi)星重力測量計劃高精度探測地球中長波靜態(tài)和長波時變重力場的巨大貢獻（Jekeli，1999；Reigber etal.，2005；張捍衛(wèi)等，2004；沈云中等，2005；Tapley etal.，2005；Zheng etal.，2005，2011，2012a，2012b；程蘆穎和許厚澤，2006；鄭偉等，2006，2008，2009a，2009b，2009c；周旭華等，2006；Xu，2008），美國宇航局（NASA）提出了下一代專用于地球中短波靜態(tài)和中長波時變重力場精密探測的GRACE Follow-On衛(wèi)星重力測量計劃.GRACE Follow-On雙星預期采用近圓、近極和超低軌道設計，利用激光干涉測距系統(tǒng)高精度測量星間距離和星間速度，利用高軌GPS（Global Positioning System）衛(wèi)星對低軌雙星精密跟蹤定位，利用非保守力補償系統(tǒng)（DFACS）高精度消除雙星受到的非保守力，利用恒星敏感器精密測量衛(wèi)星和載荷的空間三維姿態(tài).由于激光具有超短波長和極好的波長穩(wěn)定性，因此利用GRACE Follow-On星載激光干涉測距系統(tǒng)獲得的星間距離和星間速度精度至少比GRACE星載K波段測距系統(tǒng)精度高1個數(shù)量級.

目前國內(nèi)外科研機構(gòu)均基于衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星高低／低低（SST-HL／LL）觀測原理開展了GRACE Follow-On地球重力場的需求論證和反演研究（Stephens etal.，2006；Flechtner etal.，2009；Loomis，2009，2012；Zheng etal.，2009；鄭偉等，2010，2012）.由于GRACE Follow-On雙星系統(tǒng)相當于基線長為星間距離50km的一維水平重力梯度儀，因此利用GRACE Follow-On衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)能否獲得更高精度的地球中高頻重力場信息是當前衛(wèi)星重力反演領域的研究熱點之一.Rummel等（1993）利用扭稱原理測量了GRACE重力梯度儀的精度；Keller和Heβ（1998）開展了GRACE衛(wèi)星重力梯度測量的原理研究；Keller和Sharifi（2005）圍繞GRACE雙星加速度差的線性近似、三次方近似、改進的線性近似、以及線性和三次方混合近似等方法開展了GRACE衛(wèi)星重力梯度反演的論證研究，但在建立的衛(wèi)星觀測方程中直接將衛(wèi)星受到的合外力等效為地球引力，而未考慮保守力（日月引力，地球固體潮、海潮、大氣潮、極潮汐力，以及相對論效應等）和非保守力（大氣阻力、太陽光壓、地球輻射壓、軌道高度和姿態(tài)控制力等）對GRACE衛(wèi)星系統(tǒng)的實質(zhì)性影響.不同于前人已有研究，本文首次將地球引力加速度差按照泰勒展開進而獲得地球引力位的二階張量，并在衛(wèi)星重力梯度觀測方程中加入保守力和非保守力的綜合影響，進而精確和快速反演了120階GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度地球重力場.

GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度反演法的優(yōu)點如下：由于SST-HL／LL模式主要感測地球重力場的中長波信號，SGG模式敏感于地球重力場的中短波信號，因此，其旨在聯(lián)合SST-HL／LL和SGG模式的優(yōu)點，有利于進一步提高全頻段地球重力場的反演精度；缺點如下：由于GRACE Follow-On雙星僅相當于基線長為星間距離的一維水平重力梯度儀（Vxx），無法同時獲得垂向和徑向（Vyy和Vzz）的重力梯度信息，因此其對地球重力場中高頻信號的靈敏度低于當前GOCE重力梯度衛(wèi)星.綜上所述，由于下一代GRACE Follow-On衛(wèi)星重力計劃仍采用SST-HL／LL模式，因此GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度反演法有利于適當彌補SST-HL／LL模式的缺陷，有望成為下一代高精度、高空間分辨率和全頻段地球重力場模型建立的優(yōu)選方法.

2 方法

2.1 衛(wèi)星重力梯度觀測方程建立

如圖1所示，地心慣性坐標系OI-XIYIZI的原點OI位于地球的質(zhì)心，XI軸的正方向指向歷元的平春分點，ZI軸的正方向指向地球的北極，YI軸和XI、ZI軸成右手螺旋法則關系.星體坐標系的原點分別位于雙星

圖1 GRACE Follow-On雙星系統(tǒng)的星間距離、星間速度和星間加速度的測量原理Fig.1 Measurement principles of intersatellite range，intersatellite range-ratand intersatellite rangeaccelerationfrom the twin GRACE Follow-On satellites

在地心慣性系OI-XIYIZI中，GRACE Follow-On-A／B系統(tǒng)的星間距離ρ12表示如下：

在（1）式兩邊同時對時間t求一階導數(shù)，可得GRACE Follow-On-A／B系統(tǒng)的星間速度

在（4）式兩邊同時對時間t求一階導數(shù)，可得GRACE Follow-On-A／B系統(tǒng)的星間加速度ρ··12

其中，T1和T2分別表示GRACE Follow-On-A／B雙星的地球擾動位梯度.在GRACE Follow-On-A衛(wèi)星質(zhì)心處將GRACE Follow-On-B衛(wèi)星的擾動位梯度ΔT2按泰勒展開（取零階和一階項）

將（9）式代入（8）式可得

聯(lián)合（1）、（3）、（5）、（6）、（7）和（10）式，GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度觀測方程表示如下：

本文基于預處理共軛梯度迭代法（鄭偉等，2011b）精確和快速求解了GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度觀測方程（11）.預處理共軛梯度迭代法是目前求解大規(guī)模線性超定方程組最有效的迭代方法之一.另外，據(jù)數(shù)值模擬計算可知：由于本文反演地球重力場的階數(shù)截斷至120階，正規(guī)方陣病態(tài)性對地球重力場精度影響較小，因此本文在解算GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度觀測方程（11）時未采用正則化方法（如Kaula、Tikhonov等）抑制地球重力場高頻誤差.

2.2 地球擾動位的一階梯度

在球坐標系中，地球擾動位T（r，θ，λ）表示如下：

其中，r，θ和λ分別表示衛(wèi)星的地心半徑、地心余緯度和地心經(jīng)度，表示地球平均半徑；（cosθ）表示規(guī)格化的Legendre函數(shù)，l表示階數(shù)，m表示次數(shù)；和表示待求的規(guī)格化地球引力位系數(shù).

地球擾動位梯度ΔT在球坐標系 （r，θ，λ）和直角坐標系（x，y，z）中的轉(zhuǎn)換關系表示如下：

初值表示如下：

系數(shù)表示如下：

初值表示如下：

2.3 地球擾動位的二階梯度

地球擾動位的二階梯度表示如下：

其中，

初值表示如下：

（21）式可改寫為：

2.4 星間加速度

基于Newton-Gregory插值模型，星間距離ρ12的泰勒展開表示如下：

其中，9點Newton-Gregory插值公式表示如下：

3 結(jié)果

3.1 衛(wèi)星軌道模擬

在衛(wèi)星重力梯度觀測方程（11）建立之后，本文首先利用9階Runge-Kutta線性單步法結(jié)合12階Adams-Cowell線性多步法數(shù)值積分公式分別模擬了當前GRACE-A／B和下一代GRACE Follow-On-A／B雙星的軌道位置和軌道速度，軌道模擬參數(shù)如表1所示.圖2表示GRACE Follow-On-A衛(wèi)星在地心慣性坐標系OI-XIYIZI（圖1）中XIYI平面內(nèi)的軌跡投影.

3.2 衛(wèi)星重力梯度反演

如圖3所示，十字線表示德國波茲坦地學研究中心（GFZ）公布的120階EIGEN-GRACE02S地球重力場模型的實測精度，在120階處累計大地水準面精度為1.893×10-1m；虛線和實線分別表示基于GRACE和GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度法，利用衛(wèi)星軌道參數(shù)（表1）和關鍵載荷精度指標（表2），反演地球重力場的模擬精度，在120階處累計大地水準面精度分別為1.708×10-1m和9.331×10-4m；在各階處的累計大地水準面精度統(tǒng)計結(jié)果如表3所示.研究結(jié)果表明：

圖2 GRACE Follow-On-A衛(wèi)星在XIYI平面內(nèi)的軌跡圖（1天）Fig.2 One-day tracks of the GRACE Follow-On-A satellite in the XIYI-plane

圖3 基于GRACE和GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度法反演累計大地水準面精度對比Fig.3 A comparison of cumulative geoid height errors based on the GRACE and GRACE Follow-On satellite gravity gradiometry method

表1 GRACE和GRACE Follow-On衛(wèi)星軌道模擬參數(shù)Table 1 Simulation parameters of the GRACE and GRACE Follow-On satellite orbits

第一，據(jù)圖3中十字線和虛線對比可知，在120階內(nèi)，通過GRACE衛(wèi)星重力梯度法反演地球重力場精度較EIGEN-GRACE02S模型精度平均提高72%.主要原因分析如下：由于當前的動力法、能量法、加速度法等均基于SST觀測模式解算GRACE地球重力場，而GRACE衛(wèi)星重力梯度法通過聯(lián)合SST和SGG觀測模式的優(yōu)點反演地球重力場，因此有利于進一步提高地球重力場的解算精度.

第二，據(jù)圖3中十字線和實線對比可知，基于下一代GRACE Follow-On衛(wèi)星重力計劃解算地球重力場精度較當前GRACE計劃平均提高61倍，因此GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度法是建立下一代高精度和高空間分辨率地球重力場模型的有效途徑.主要原因分析如下：（1）GRACE Follow-On（200～300km）衛(wèi)星軌道高度低于GRACE（400～500km）.GRACE衛(wèi)星采用加速度計實時測量非保守力，在數(shù)據(jù)后處理中再扣除非保守力.由于非保守力隨著衛(wèi)星軌道高度降低而急劇增加，因此GRACE衛(wèi)星無法采用超低軌道設計.GRACE Follow-On衛(wèi)星將采用非保守力補償系統(tǒng)精確屏蔽作用于衛(wèi)星的非保守力，因此可實質(zhì)性降低衛(wèi)星軌道高度，進而有效抑制地球重力場信號隨軌道高度的衰減.（2）GRACE Follow-On衛(wèi)星關鍵載荷測量精度高于GRACE.GRACE衛(wèi)星采用K波段測距系統(tǒng)測量星間距離（10μm）和星間速度（1μm／s），利用加速度計測量衛(wèi)星受到的非保守力（10-10m·s-2）.GRACE Follow-On衛(wèi)星基于激光干涉測距系統(tǒng)高精度測量星間距離（10～1000nm）和星間速度（1～100nm／s），通過非保守力補償系統(tǒng)消除作用于衛(wèi)星的 非保守 力 （10-11～10-13m·s-2）效應.（3）GRACE Follow-On星間距離短于GRACE.適當增加星間距離有利于提高地球長波重力場的精度，適當縮短星間距離有利于提高地球短波重力場的精度.GRACE Follow-On（50～100km）衛(wèi)星較GRACE（220km）縮短了星間距離，進一步提高了地球中高頻重力場的感測精度.

表2 當前GRACE和下一代GRACE Follow-On衛(wèi)星關鍵載荷精度指標Table 2 Statistics of the measurement accuracies of key payloads from the current GRACE and next-generation GRACE Follow-On satellites

表3 GRACE和GRACE Follow-On累計大地水準面精度統(tǒng)計Table 3 Statistics of cumulative geoid height errors from GRACE and GRACE Follow-On

4 結(jié)論

基于當前GRACE衛(wèi)星重力測量計劃對相關學科（大地測量學、地球物理學、海洋學、水文學、冰川學等）的卓越貢獻和固有局限性（軌道高度無法降低、載荷精度無法提高等），國內(nèi)外眾多學者正在積極尋求下一代更高時空分辨率的衛(wèi)星重力測量計劃.基于以上原因，本文通過聯(lián)合星間距離、星間速度、星間加速度、以及地球引力位二階張量數(shù)據(jù)精確和快速反演了120階GRACE Follow-On地球重力場.研究結(jié)果顯示：基于將來GRACE Follow-On衛(wèi)星反演地球重力場精度較當前GRACE衛(wèi)星至少提高10倍，因此GRACE Follow-On衛(wèi)星重力梯度反演法有利于建立下一代高精度和高空間分辨率的地球重力場模型.

致謝 感謝匿名評審專家和編輯對本文的幫助.感謝美國宇航局（NASA）提供了GRACE Follow-On衛(wèi)星的相關資料.

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