曲昕馨，李桐林，王飛

吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026

1 引言

航空電磁法是在地面電磁法原理基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種空中測(cè)量的電磁法.1950年在加拿大開始生產(chǎn)飛行，目前已經(jīng)發(fā)展成為一種常用的普查找礦和地質(zhì)填圖方法.航空電磁系統(tǒng)可歸結(jié)為硬架系統(tǒng)和非硬架吊艙系統(tǒng)兩種.其中吊艙系統(tǒng)是將發(fā)射和接收線圈固定在直升機(jī)后的吊艙中，吊艙由拖曳電纜與直升機(jī)相連.直升機(jī)電磁（HEM）吊艙系統(tǒng)具有較高的分辨率，非常適合于淺層地質(zhì)填圖及環(huán)境與工程問(wèn)題（Fraser，1981；Huang and Fraser，2000；Huang and Fraser，2002；Yin and Fraser，2002；Yin and Hodges，2003）.直升機(jī)吊艙的姿態(tài)變化是指沿直線水平飛行的吊艙在受到外力的作用下所發(fā)生的旋轉(zhuǎn)和傾斜.這些偏差改變了吊艙內(nèi)線圈的方位，進(jìn)而改變了線圈和地面之間的電磁耦合，使接收線圈處接收到的電磁響應(yīng)較之正常飛行時(shí)產(chǎn)生了誤差.因此，研究吊艙姿態(tài)變化對(duì)電磁響應(yīng)的影響以及對(duì)姿態(tài)變化后的電磁響應(yīng)進(jìn)行校正具有很重要的意義.

對(duì)航空電磁系統(tǒng)吊艙姿態(tài)變化的研究始于20世紀(jì)80年代.Son（1985）研究了一種單一吊艙旋轉(zhuǎn)對(duì)于有限收發(fā)距的垂直共軸、水平共面和垂直共面線圈系的電磁響應(yīng)影響.Holladay等（1997）發(fā)現(xiàn)在使用航空電磁法進(jìn)行海冰探測(cè)時(shí)，由于探頭姿態(tài)的變化而發(fā)生探頭飛行高度的變化，并影響到對(duì)海冰深度的反演，通過(guò)對(duì)高度的校正，獲得了高精度的海冰厚度.Fitterman（1998）基于前人的研究成果，總結(jié)出吊艙姿態(tài)的變化對(duì)探測(cè)數(shù)據(jù)的影響包括兩個(gè)方面，即高程的測(cè)量誤差和收發(fā)線圈相對(duì)于地下介質(zhì)的幾何關(guān)系的變化.Reid等（2003）將姿態(tài)校正應(yīng)用到船載電磁系統(tǒng)的南極洲海冰厚度探測(cè)中.Yin和Fraser（2004）研究了重疊偶極模型（即零收發(fā)距）直升機(jī)航空電磁系統(tǒng)的姿態(tài)校正.Fitterman和Yin（2004）對(duì)收發(fā)一體的航空電磁系統(tǒng)校正方法進(jìn)行了拓展，并應(yīng)用于頻率域航空電磁探測(cè).Kratzer和Vrbancich（2006）對(duì)由于吊艙發(fā)生鐘擺狀擺動(dòng)所引起的激光測(cè)高儀誤差進(jìn)行了校正.Davis等（2006）又從直升機(jī)和吊艙的相互關(guān)系出發(fā)，研究了吊艙測(cè)量過(guò)程中的姿態(tài)變化，進(jìn)行更加精確的校正.

本文首先推導(dǎo)出吊艙發(fā)生姿態(tài)變化后新的線圈系位置和磁偶極矩空間分量，并給出相應(yīng)的計(jì)算公式.接著，用數(shù)值模擬的方法計(jì)算了五種模型參數(shù)下吊艙姿態(tài)變化前后三種線圈系的電磁響應(yīng)比值.然后，將吊艙的姿態(tài)變化分解成兩個(gè)單獨(dú)的過(guò)程：即方向變化和位置變化，并分別討論了兩種單獨(dú)變化對(duì)于總姿態(tài)變化電磁響應(yīng)比的貢獻(xiàn).在此基礎(chǔ)上，分別推導(dǎo)出方向變化和位置變化的校正因子，并近似認(rèn)為總姿態(tài)變化校正因子與這兩種單獨(dú)變化校正因子的乘積成一定比例.最后分別使用Yin和Fraser（2004）提出的重疊偶極校正方法和本文提出的總校正方法對(duì)五種模型參數(shù)的合成數(shù)據(jù)進(jìn)行了校正，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)相比于重疊偶極校正方法，使用總校正方法能得到更精確的校正結(jié)果.

2 線圈系的排列方式和吊艙的姿態(tài)變化

2.1 線圈系的排列方式

目前頻率域直升機(jī)電磁系統(tǒng)常用的線圈系有三種，分別是水平共面線圈系（HCP）、垂直共面線圈系（VCP）和垂直同軸線圈系（VCX）（見圖1）.其中HCP和VCX是最常用的線圈系，主要應(yīng)用于地質(zhì)填圖；而VCP線圈系可以看作是HCP線圈系繞著它的長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)90°得到的，并且在電性各向異性的應(yīng)用中具有顯著優(yōu)勢(shì)（Yin and Fraser，2002）.

圖1 三種線圈系（HCP，VCP和VCX）在xz面內(nèi)的投影示意圖Fig.1 Sketch of projection in the xz-plane of three coil configurations（HCP，VCP and VCX）

2.2 吊艙的姿態(tài)變化

為了研究吊艙的姿態(tài)變化，需首先引入兩種坐標(biāo)系：平行于地面的慣性坐標(biāo)系（x，y，z）和剛性固定在吊艙內(nèi)的吊艙坐標(biāo)系（x′，y′，z′）.慣性坐標(biāo)系代表飛機(jī)沿直線水平飛行的坐標(biāo)系，其中x軸沿飛機(jī)飛行方向，y軸在水平面上與x軸垂直，z軸與xy面垂直.當(dāng)飛機(jī)正常飛行時(shí)，吊艙坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合；而當(dāng)?shù)跖撟藨B(tài)變化時(shí)，吊艙坐標(biāo)系開始發(fā)生旋轉(zhuǎn).常見的吊艙姿態(tài)變化有三種，即擺動(dòng)（roll）、傾斜（pitch）和偏航（yaw）.其中擺動(dòng)是由于吊艙與飛機(jī)的連接電纜左右晃動(dòng)引起的，擺動(dòng)時(shí)吊艙坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)；而吊艙的傾斜變化是由于飛機(jī)飛行速度發(fā)生變化而產(chǎn)生的，此時(shí)吊艙坐標(biāo)系繞y軸旋轉(zhuǎn)；當(dāng)飛機(jī)飛行時(shí)吊艙受到側(cè)向風(fēng)的外力，會(huì)發(fā)生繞z軸旋轉(zhuǎn)的偏航變化（見圖2）.

圖2 常見的吊艙姿態(tài)變化示意圖（a）擺動(dòng)；（b）傾斜；（c）偏航.Fig.2 Sketch of common attitude changes of the bird（a）Roll；（b）Pitch；（c）Yaw.

從圖2可以看出，當(dāng)?shù)跖摪l(fā)生姿態(tài)變化時(shí)線圈系的方向和位置均發(fā)生了改變.線圈系的位置變化主要影響發(fā)射和接收線圈的相對(duì)位置；線圈系的方向變化主要影響磁偶極矩的大小.因此，在計(jì)算二次磁場(chǎng)時(shí)，需要知道姿態(tài)變化后新的收發(fā)線圈位置坐標(biāo)和磁偶極矩的大小.下面分別進(jìn)行推導(dǎo).

2.2.1 線圈系的位置變化

由圖2，發(fā)射線圈和接收線圈姿態(tài)變化后的空間位置坐標(biāo)可表示為

和

2.2.2 線圈系的方向變化

吊艙姿態(tài)變化對(duì)線圈系的方向改變主要體現(xiàn)在對(duì)線圈磁偶極矩的改變上.空間任意方向的磁偶極矩m均可在x，y，z三個(gè)方向上分解成分量mx、my和mz的形式

式中，θ表示磁偶極矩與z軸間的夾角，φ表示磁偶極矩在xy面上的投影與x軸的夾角.表1給出了三種線圈系姿態(tài)變化后的θ′、φ′與飛機(jī)正常飛行時(shí)的θ、φ之間的關(guān)系.

將表1中的θ′和φ′分別代入（3）中，并考慮到未發(fā)生姿態(tài)變化時(shí)HCP、VCP和VCX線圈系的（θ，φ）取值分別為（0°，0°）、（90°，90°）和（90°，0°），可得到姿態(tài)變化后磁偶極矩分量的表達(dá)式為

表1 不同線圈系不同姿態(tài)變化下的θ′、φ′角計(jì)算公式Table 1 Calculation formulas ofθ′andφ′for different coil configurations and attitude changes

式中Da，c是旋轉(zhuǎn)系數(shù)，其形式是一個(gè)3×1的矩陣.下標(biāo)a表示三種姿態(tài)變化（即roll，pitch和yaw），下標(biāo)c表示三種線圈系（即HCP，VCP和VCX），對(duì)于不同的線圈系，發(fā)生不同形式的姿態(tài)變化時(shí)，Da，c的取值是不同的（見表2）.

表2 不同線圈系不同姿態(tài)變化下的旋轉(zhuǎn)系數(shù)Da，c的取值Table 2 Values of the rotation coefficient for different coil configurations and attitude changes

3 各向同性地層電磁響應(yīng)的數(shù)值模擬

為了分析吊艙姿態(tài)變化對(duì)電磁響應(yīng)的影響，本文使用頻率域有限差分的數(shù)值方法模擬了吊艙姿態(tài)變化前后的二次磁場(chǎng)響應(yīng).為使模擬更具有一般性和代表性，需考慮水平各向同性均勻半空間的情況.

頻率域散射場(chǎng)Maxwell方程（Chew and Weedon，1994）為

由于非磁性介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ與真空磁導(dǎo)率μ0相差無(wú)幾，可取μ＝μp＝μ0＝4π×10-7H／m.在低頻感應(yīng)電磁法中，由于ε和εp很?。s為10-11F／m數(shù)量級(jí)），對(duì)常規(guī)地層模型（電導(dǎo)率為0.001～10.0S／m）來(lái)說(shuō)，ωε≤σ，ωεp≤σp，故式（5）和（6）中含ε和εp的項(xiàng)可舍去.式（5）和（6）簡(jiǎn)化為

對(duì)式（7）兩邊取旋度，可得到

式（9）可以用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法（Newman and Alumbaugh，1995）求解得到二次電場(chǎng)Es.由于使用磁偶極源，因此需要計(jì)算二次磁場(chǎng).將二次電場(chǎng)Es的解代入（8）式，即可求得二次磁場(chǎng)值Hs.接收線圈處的電磁響應(yīng)為二次磁場(chǎng)的電壓

式中，SR為接收線圈的有效面積.未發(fā)生姿態(tài)變化時(shí)，SR等于接收線圈的面積S.當(dāng)發(fā)生姿態(tài)變化時(shí)，線圈系的方向和位置均發(fā)生了改變，此時(shí)SR等于S和旋轉(zhuǎn)系數(shù)Da，c的乘積，即SR＝SDa，c.因此，對(duì)于不同的線圈系（HCP、VCP和VCX），發(fā)生不同形式姿態(tài)變化（Roll、Pitch和Yaw）時(shí)的二次磁場(chǎng)電磁響應(yīng)為

式中，ζ和η分別表示姿態(tài)變化后線圈系的方向和位置.

4 吊艙姿態(tài)變化對(duì)電磁響應(yīng)的影響分析

本章共對(duì)5個(gè)模型進(jìn)行了數(shù)值模擬，每個(gè)模型的地層電阻率和發(fā)射頻率如表3所示.收發(fā)天線中心的距離為8m，吊艙中心點(diǎn)距地面距離為30m，吊艙中心到連接電纜與飛機(jī)連接點(diǎn)處的垂向距離為30m.對(duì)于水平各向同性均勻半空間模型，無(wú)論何種線圈系，吊艙在水平面上的旋轉(zhuǎn)（即偏航）都不會(huì)對(duì)電磁響應(yīng)比造成影響.因此，下文的討論中將不再考慮偏航姿態(tài)變化.

表3 五個(gè)模型的地層電阻率和發(fā)射頻率值Table 3 Values of formation resistivity and transmit frequency for five different models

使用前面所推導(dǎo)的二次磁場(chǎng)計(jì)算公式以及姿態(tài)變化前后線圈系位置和磁偶極矩空間分量的表達(dá)式，可分別計(jì)算出五個(gè)模型的三種線圈系在姿態(tài)變化前后的二次磁場(chǎng)響應(yīng)，并取兩者的比值（即電磁響應(yīng)比）進(jìn)行分析（見圖3、圖4）.本文中的電磁響應(yīng)比定義為

式中，ζ0和η0分別表示未發(fā)生姿態(tài)變化時(shí)的線圈系的方向和位置，ζ和η分別表示姿態(tài)變化后的線圈系的方向和位置.

4.1 擺動(dòng)對(duì)電磁響應(yīng)比的影響

由于在實(shí)際情況中吊艙姿態(tài)變化的角度都不大，本文的數(shù)值模擬只考慮了旋轉(zhuǎn)角度小于20°的情況.圖3為吊艙發(fā)生擺動(dòng)后的電磁響應(yīng)比.首先分析電磁響應(yīng)比與模型參數(shù)的關(guān)系.從圖中可以看出，無(wú)論何種線圈系何種擺動(dòng)角度，都能得出以下結(jié)論：

（1）當(dāng)模型的地層電阻率相同時(shí)（模型1，2，3），電磁響應(yīng)比都隨發(fā)射頻率的升高而減??；

（2）當(dāng)模型的發(fā)射頻率相同時(shí)（模型2，4，5），電磁響應(yīng)比都隨地層電阻率的升高而增大；

（3）對(duì)于發(fā)射頻率和地層電阻率的比值相同的模型（模型1和5以及模型3和4），其電磁響應(yīng)比也相同，并且比值小的模型（模型1和5）的電磁響應(yīng)比相對(duì)較大.

接下來(lái)考慮電磁響應(yīng)比與擺動(dòng)角度的關(guān)系.無(wú)論何種模型參數(shù)，HCP和VCX線圈系的電磁響應(yīng)比都隨擺動(dòng)角度的增大而減?。▓D3a和3c）.而VCP線圈系電磁響應(yīng)比與擺動(dòng)角度的關(guān)系跟發(fā)射頻率與地層電阻率的比值有關(guān)——當(dāng)比值較小時(shí)（本文中為1或10），電磁響應(yīng)比的變化與角度變化成正比；反之當(dāng)比值較大時(shí)（本文中為100），兩者的關(guān)系則成反比（圖3b）.

4.2 傾斜變化對(duì)電磁響應(yīng)比的影響

與擺動(dòng)相似，吊艙傾斜時(shí)發(fā)射頻率和地層電阻率比值相同的模型其電磁響應(yīng)比也相同.而具體到每種線圈系時(shí)，傾斜則與擺動(dòng)有很大不同.首先分析圖4a所示的HCP線圈系.當(dāng)天線發(fā)射頻率與地層電阻率的比值較大時(shí)（100），電磁響應(yīng)比較大；當(dāng)比值較小時(shí)（1或10）電磁響應(yīng)較小，并且比值為1和10的曲線很接近；而各種參數(shù)模型的電磁響應(yīng)比曲線隨傾斜角度的變大都是先稍微升高再明顯降低.對(duì)于VCP線圈系（圖4b），電磁響應(yīng)比與頻率電阻率比值間的關(guān)系正好與HCP的情況相反，而電磁響應(yīng)比曲線隨傾斜角度的變大都在降低，但是變化的幅度很小，都在1%之內(nèi).對(duì)于VCX線圈系（圖4c），電磁響應(yīng)比與頻率電阻率比之間沒(méi)有明顯的關(guān)系，且電磁響應(yīng)比曲線隨傾斜角度的變大都在上升.

5 吊艙姿態(tài)校正

從上節(jié)的分析中可以看出，隨著姿態(tài)變化角度的增大，接收線圈處的電磁響應(yīng)與飛機(jī)正常飛行時(shí)的差值越來(lái)越大，這就會(huì)對(duì)后續(xù)的解釋和反演造成很大的誤差和多解性.所以，吊艙的姿態(tài)校正變得十分重要和勢(shì)在必行.由于吊艙發(fā)生姿態(tài)變化時(shí)線圈系的方向和位置均發(fā)生了改變，可以認(rèn)為是方向和位置的綜合效應(yīng)影響了總姿態(tài)變化的電磁響應(yīng).研究總姿態(tài)變化的校正可以從方向或位置單一變化的校正入手.

5.1 方向或位置單一變化對(duì)電磁響應(yīng)比的影響

為了分析方向及位置改變對(duì)姿態(tài)變化電磁響應(yīng)比的貢獻(xiàn)，本節(jié)分別模擬了吊艙方向或位置單一變化時(shí)的情況，并分別計(jì)算了接收線圈處的電磁響應(yīng)比.

圖3 吊艙發(fā)生擺動(dòng)時(shí)電磁響應(yīng)比與擺動(dòng)角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.Fig.3 The relation between the EM response ratio，roll angle and model parameters（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.

當(dāng)考慮方向單一變化時(shí)，可認(rèn)為收發(fā)線圈的間距為零，并且擺動(dòng)和傾斜的旋轉(zhuǎn)中心都為吊艙中心（實(shí)際上擺動(dòng)的旋轉(zhuǎn)中心為連接電纜與直升機(jī)的連接點(diǎn)）.圖5和圖6分別為吊艙發(fā)生擺動(dòng)和傾斜時(shí)根據(jù)模擬結(jié)果計(jì)算出的電磁響應(yīng)比.從中可以看出，當(dāng)?shù)跖摂[動(dòng)時(shí)，HCP線圈系的電磁響應(yīng)比與擺動(dòng)角度成反比，VCP線圈系成正比，而VCX線圈系的電磁響應(yīng)比則始終為1，這說(shuō)明只考慮方向單一變化時(shí)，擺動(dòng)對(duì)VCX線圈系無(wú)影響；而當(dāng)?shù)跖搩A斜時(shí)，HCP線圈系的電磁響應(yīng)比與傾斜角度成反比，VCX線圈系成正比，而VCP線圈系的電磁響應(yīng)比則始終為1，這說(shuō)明只考慮方向單一變化時(shí)，傾斜對(duì)VCP線圈系無(wú)影響.

當(dāng)考慮位置單一變化時(shí)，可認(rèn)為在吊艙姿態(tài)變化過(guò)程中線圈系的方向始終不變，即磁偶極矩空間分量的值不變.圖7和圖8分別為吊艙發(fā)生擺動(dòng)和傾斜時(shí)根據(jù)模擬結(jié)果計(jì)算出的電磁響應(yīng)比.從中可以看出，無(wú)論吊艙是擺動(dòng)還是傾斜，無(wú)論何種線圈系，電磁響應(yīng)比隨旋轉(zhuǎn)角度的增大都是呈減小的趨勢(shì)，只是HCP線圈系發(fā)生傾斜變化且角度為0°～6°時(shí)有稍許上升.不難發(fā)現(xiàn)圖3c與圖7c、圖4b與圖8b中的曲線形態(tài)完全一樣，這說(shuō)明位置單一變化對(duì)于VCX線圈系發(fā)生擺動(dòng)以及VCP線圈系發(fā)生傾斜這兩種情況沒(méi)有影響.

5.2 校正系數(shù)的提出

圖4 吊艙發(fā)生傾斜時(shí)電磁響應(yīng)比與傾斜角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.Fig.4 The relation between the EM response ratio，pitch angle and model parameters（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.

圖5 只考慮方向單一變化時(shí)，吊艙擺動(dòng)后的電磁響應(yīng)比與擺動(dòng)角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.Fig.5 The relation between the EM response ratio，roll angle and model parameters for direction change only（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.

圖6 只考慮方向單一變化時(shí)，吊艙傾斜后的電磁響應(yīng)比與傾斜角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.Fig.6 The relation between the EM response ratio，pitch angle and model parameters for direction change only（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.

圖7 只考慮位置單一變化時(shí)，吊艙擺動(dòng)后的電磁響應(yīng)比與擺動(dòng)角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.Fig.7 The relation between the EM response ratio，roll angle and model parameters for position change only（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.

圖8 只考慮位置單一變化時(shí)，吊艙傾斜后的電磁響應(yīng)比與傾斜角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.Fig.8 The relation between the EM response ratio，pitch angle together and model parameters for position change only（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.

綜合分析圖3—圖8，發(fā)現(xiàn)總姿態(tài)變化中電磁響應(yīng)比的浮動(dòng)趨勢(shì)與方向和位置單一變化時(shí)電磁響應(yīng)比乘積的浮動(dòng)趨勢(shì)相似，并且兩者成一定比例.為了研究總姿態(tài)變化與方向或位置單一變化之間存在何種關(guān)系，本文計(jì)算了總姿態(tài)變化電磁響應(yīng)比與方向和位置單一變化電磁響應(yīng)比乘積·之間的比值（可稱為校正系數(shù)）.這里表示方向和位置單一變化的電磁響應(yīng)比.計(jì)算結(jié)果如圖9和圖10所示.

分析圖9和圖10，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象——對(duì)于發(fā)生擺動(dòng)的HCP和VCP線圈系以及發(fā)生傾斜的HCP和VCX線圈系，雖然五個(gè)模型的參數(shù)各不相同，但是校正系數(shù)隨角度的變化曲線與旋轉(zhuǎn)角度的正割曲線非常接近.而對(duì)于擺動(dòng)的VCX線圈系和傾斜的VCP線圈系，校正系數(shù)的值均為1.根據(jù)這個(gè)結(jié)論，可以將總姿態(tài)變化電磁響應(yīng)比（即總校正因子）與方向和位置單一變化電磁響應(yīng)比（即方向和位置校正因子）之間的關(guān)系表示為

式中T即為校正系數(shù)，其取值如表4所示.分別

表4 不同線圈系不同姿態(tài)變化下的校正系數(shù)T的取值Table 4 Values of the correction coefficient for different coil configurations and attitude changes

圖9 吊艙擺動(dòng)時(shí)的校正系數(shù)與擺動(dòng)角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.圖中菱形符表示擺動(dòng)角度的正割曲線.Fig.9 The relation between the correction coefficient，roll angle，and model parameters（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.The diamond symbol indicates the secant function of the roll angle.

圖10 吊艙傾斜時(shí)的校正系數(shù)與傾斜角度及模型參數(shù)之間的關(guān)系（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.圖中菱形符表示傾斜角度的正割曲線.Fig.10 The relation between the correction coefficient，pitch angle and model parameters（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.The diamond symbol indicates the secant function of the pitch angle.

在確定了校正系數(shù)之后，下面將分別推導(dǎo)擺動(dòng)和傾斜兩種姿態(tài)變化下的方向校正因子Ra，c（ζ）和位置校正因子Ra，c（η）.

5.3 方向校正因子推導(dǎo)

首先考慮HCP線圈系發(fā)生擺動(dòng)的情況.當(dāng)α＝0°時(shí)，吊艙未發(fā)生姿態(tài)變化，電磁響應(yīng)比值為1；當(dāng)?shù)跖摾@著x軸從0°旋轉(zhuǎn)到90°時(shí)，HCP線圈系開始向VCP線圈系變化，由前面的分析可以得知，電磁響應(yīng)比開始減?。划?dāng)α＝90°時(shí)，HCP線圈系變成了VCP線圈系，經(jīng)過(guò)一些實(shí)驗(yàn)（沒(méi)有展示在這里），發(fā)現(xiàn)在任何水平各向同性地層均有VCP線圈系與HCP線圈系電磁響應(yīng)比約為0.6，并且與地層電阻率及發(fā)射頻率無(wú)關(guān)；而吊艙從90°旋轉(zhuǎn)到180°時(shí)，VCP線圈系向HCP線圈系變化，電磁響應(yīng)比又開始增大，直到恢復(fù)到初始值.因此，整個(gè)變化過(guò)程可以使用一個(gè)二倍角的余弦函數(shù)來(lái)表示為

相似地，可以求出HCP線圈系發(fā)生傾斜時(shí)的方向校正因子為

對(duì)于VCP線圈系，當(dāng)其從0°擺動(dòng)到90°再到180°時(shí)，其電磁響應(yīng)比先增大后減小.再考慮到當(dāng)α＝90°時(shí)VCP線圈系變成了HCP線圈系，其電磁響應(yīng)比值變?yōu)槌跏贾档?.67倍（0.6的倒數(shù)），可以推導(dǎo)出其方向校正系數(shù)為

相似地，VCX線圈系發(fā)生傾斜變化時(shí)的方向校正系數(shù)為

對(duì)于水平各向同性地層模型，當(dāng)只考慮線圈系的方向變化時(shí)，VCX線圈系發(fā)生擺動(dòng)和VCP線圈系發(fā)生傾斜都不會(huì)改變電磁響應(yīng)比值.因此，這兩種情況不需要校正.綜合以上分析，在表5中列出了各種情況下的方向校正因子.

表5 不同線圈系不同姿態(tài)變化下的方向校正因子計(jì)算公式Table 5 Calculation formulas of direction correction factor for different coil configurations and attitude changes

5.4 位置校正因子推導(dǎo)

在吊艙姿態(tài)變化角度較小時(shí)（小于20°），從前面的分析可以得知，位置單一變化會(huì)使電磁響應(yīng)比減小，并且不同模型參數(shù)的電磁響應(yīng)比隨角度變化有些許差異.為了得到一個(gè)對(duì)于任何參數(shù)的模型都比較適用的位置校正因子，可對(duì)圖7和圖8中各個(gè)模型參數(shù)的曲線取平均值，得到了位置單一變化時(shí)不同線圈系不同姿態(tài)的電磁響應(yīng)比平均值曲線，并用曲線擬合方法擬合出平均值曲線的表達(dá)式，這些表達(dá)式即作為本文中的位置校正因子.考慮到VCP線圈系發(fā)生傾斜變化時(shí)（圖8b）的電磁響應(yīng)比變化很?。ㄐ∮?%），可認(rèn)為該情況下的位置校正因子為1.位置校正因子的具體表達(dá)式如表6所示.

表6 不同線圈系不同姿態(tài)變化下的位置校正因子計(jì)算公式Table 6 Calculation formulas of position correction factor for different coil configurations and attitude changes

在推導(dǎo)出校正系數(shù)及方向和位置校正因子之后，使用式（12）即可計(jì)算出總校正因子.

6 合成數(shù)據(jù)姿態(tài)校正

本節(jié)分別使用本文提出的總校正方法和Yin的重疊偶極校正方法（Yin and Fraser，2004）對(duì)圖3和圖4所示的五組合成數(shù)據(jù)姿態(tài)變化后的電磁響應(yīng)比進(jìn)行了校正.為了評(píng)價(jià)校正結(jié)果，引入了均方根誤差的定義

式中n為旋轉(zhuǎn)角度的個(gè)數(shù)，R0和R分別為姿態(tài)變化前后的電磁響應(yīng)比.本文共計(jì)算了三種均方根誤差——分別是姿態(tài)變化后未校正的電磁響應(yīng)比與姿態(tài)變化前電磁響應(yīng)比（為1）之間的誤差（用UC表示）；重疊偶極校正后的電磁響應(yīng)比與姿態(tài)變化前電磁響應(yīng)比的誤差（用SDC表示）；總校正后的電磁響應(yīng)比與姿態(tài)變化前電磁響應(yīng)比的誤差（用TC表示）.

圖11 吊艙擺動(dòng)的校正結(jié)果（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.圖中實(shí)線表示總校正方法的校正結(jié)果，點(diǎn)劃線表示重疊偶極校正方法的校正結(jié)果.Fig.11 Correction results of bird′s roll（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.The active lines indicate the corrected results using the total correction method，the chain lines indicate the corrected results using the superposed dipole correction method.

表7 吊艙擺動(dòng)校正后的均方根誤差Table 7 Root mean square（RMS）errors of roll correction

圖11為吊艙發(fā)生擺動(dòng)時(shí)的校正結(jié)果.表7為相應(yīng)的均方根誤差.從中可以看出，對(duì)于HCP線圈系，重疊偶極校正和總校正均能較大程度地減小電磁響應(yīng)比誤差；而相比較重疊偶極校正結(jié)果而言，無(wú)論何種模型參數(shù)，總校正結(jié)果曲線的值都與1更加接近，而其相應(yīng)的均方根誤差也較重疊偶極誤差小很多.對(duì)于VCP線圈系，重疊偶極校正使得均方根誤差較未校正的反而增大了很多，這是因?yàn)橹丿B偶極校正方法只考慮了方向校正，而沒(méi)考慮位置校正；而總校正和未校正的誤差很接近，并且都很小，這說(shuō)明對(duì)于VCP線圈系發(fā)生擺動(dòng)的情況，電磁響應(yīng)比的變化并不大，可以不進(jìn)行校正.對(duì)于VCX線圈系，重疊偶極校正和未校正的電磁響應(yīng)比曲線以及誤差都相同，這說(shuō)明重疊偶極校正對(duì)VCX線圈系發(fā)生擺動(dòng)的情況沒(méi)有作用；而總校正的電磁響應(yīng)比曲線較前兩者平緩得多，均方根誤差也小很多.綜合以上分析可知，進(jìn)行擺動(dòng)校正時(shí)，總校正的結(jié)果要明顯好于重疊偶極校正的結(jié)果.

圖12為吊艙發(fā)生傾斜時(shí)的校正結(jié)果.表8為相應(yīng)的均方根誤差.從中可以看出，對(duì)于HCP和VCP線圈系，重疊偶極校正后的電磁響應(yīng)比曲線以及相應(yīng)的誤差較之未校正的曲線和誤差沒(méi)有太大變化；而總校正后的電磁響應(yīng)比都與1更加接近，而其相應(yīng)的均方根誤差也較重疊偶極誤差小很多.對(duì)于VCP線圈系，兩種校正方法的電磁響應(yīng)比曲線以及均方根誤差均與未校正的情形相同，這是因?yàn)榈跖搩A斜對(duì)VCP線圈系的影響非常小，兩種校正方法均不用考慮對(duì)其進(jìn)行校正.綜合以上分析，可以得到使用總校正方法在進(jìn)行傾斜校正時(shí)能得到比重疊偶極校正方法更好校正結(jié)果的結(jié)論.

7 結(jié)論

通過(guò)對(duì)吊艙姿態(tài)變化影響的分析、校正公式的推導(dǎo)以及合成數(shù)據(jù)校正結(jié)果的討論，得到以下結(jié)論：

（1）吊艙發(fā)生擺動(dòng)時(shí)，電磁響應(yīng)比與發(fā)射頻率成反比，與地層電阻率成正比，并且發(fā)射頻率與地層電阻率比值相同的模型其電磁響應(yīng)比也相同，電磁響應(yīng)比與該比值成反比；HCP和VCX線圈系的電磁響應(yīng)比與擺動(dòng)角度成反比，VCP線圈系的電磁響應(yīng)比隨擺動(dòng)角度的變化關(guān)系與發(fā)射頻率和地層電阻率的比值有關(guān)，比值小時(shí)成正比，比值大時(shí)成反比.

圖12 吊艙傾斜的校正結(jié)果（a）HCP線圈系；（b）VCP線圈系；（c）VCX線圈系.圖中實(shí)線表示總校正方法的校正結(jié)果，點(diǎn)劃線表示重疊偶極校正方法的校正結(jié)果.Fig.12 Correction results of bird′s pitch（a）HCP；（b）VCP；（c）VCX.The active lines indicate the corrected results using the total correction method，the chain lines indicate the corrected results using the superposed dipole correction method.

表8 吊艙傾斜校正后的均方根誤差Table 8 Root mean square（RMS）errors of pitch correction

（2）吊艙發(fā)生傾斜變化時(shí)，HCP線圈系的電磁響應(yīng)比與頻率和電阻率的比值成反比，VCP線圈系的情況則相反，并且兩者的電磁響應(yīng)比均與傾斜角度近似成反比；VCX線圈系的電磁響應(yīng)比與頻率和電阻率比值無(wú)確定關(guān)系，但與傾斜角度成正比.

（3）對(duì)于發(fā)生擺動(dòng)的HCP和VCP線圈系以及發(fā)生傾斜的HCP和VCX線圈系，其總姿態(tài)變化的電磁響應(yīng)比與方向和位置單一變化電磁響應(yīng)比的乘積之比值近似等于旋轉(zhuǎn)角度的正割函數(shù)；而對(duì)于發(fā)生擺動(dòng)的VCX線圈系以及發(fā)生傾斜的VCP線圈系，該比值為1.

（4）總姿態(tài)變化與方向變化和位置變化有關(guān)，總校正因子可以寫成方向校正因子、位置校正因子與校正系數(shù)乘積的形式.

（5）無(wú)論何種模型參數(shù)，對(duì)于任意一種線圈系和姿態(tài)變化形式，總校正均能得到比重疊偶極校正更好的校正結(jié)果.

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