于 鏑，李 鋮，冷傳英，任偉建

（1.東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318； 2.大慶石化公司 熱電廠，黑龍江 大慶 163714）

0 引言

近年來，多智能體協(xié)調(diào)控制作為復(fù)雜系統(tǒng)和控制科學(xué)領(lǐng)域的前沿課題被人們關(guān)注，并且在航空航天、軍事、民用等方面得到廣泛應(yīng)用［1-3］.作為多智能體協(xié)調(diào)控制的基本問題，一致性問題在多機器人編隊［4］、群集［5-6］、任務(wù)分配［7］和傳感器網(wǎng)絡(luò)定位［8］等方面起重要作用，目的是通過設(shè)計分布式控制協(xié)議，使多智能體網(wǎng)絡(luò)中每個智能體的最終狀態(tài)趨于一致［9-10］.

人們對個體動態(tài)為一階積分器的多智能體網(wǎng)絡(luò)進行研究［11-16］.Jadbabaie A等基于最近鄰規(guī)則設(shè)計簡單的控制協(xié)議，采用非負矩陣理論討論無向固定網(wǎng)絡(luò)拓撲和切換網(wǎng)絡(luò)拓撲情況下的一致性問題，給出網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)一致的充分條件［11］.在Jadbabaie A等研究基礎(chǔ)上，Olfati-Saber R等給出整個多智能體網(wǎng)絡(luò)的控制框架，將網(wǎng)絡(luò)一致性和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性聯(lián)系起來，分別討論無向圖、有向平衡圖情況下網(wǎng)絡(luò)的一致性和平均一致性問題［12］.這些研究為多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性分析和控制奠定理論基礎(chǔ).Ren W等進一步討論有向拓撲網(wǎng)絡(luò)的一致性，應(yīng)用矩陣理論給出最終一致解［13］，并在Jadbabaie A等結(jié)論基礎(chǔ)上，研究有向切換拓撲網(wǎng)絡(luò)的一致性［14］，拓寬對網(wǎng)絡(luò)拓撲的限制.Moreau L基于凸論和設(shè)定值Lyapunov理論研究多智能體網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題［15］.Lin Z等為一組移動智能體無向拓撲情況下的編隊問題提出3種不同控制方案，最終目標是靜態(tài)點［16］.王垚等研究智能體網(wǎng)絡(luò)的量化一致性問題［17］.

目前研究多為考慮無領(lǐng)航或領(lǐng)航者狀態(tài)恒定的情況，實際應(yīng)用中，為了更快速有效地完成協(xié)調(diào)任務(wù)，在多智能體網(wǎng)絡(luò)中通常存在狀態(tài)時變的領(lǐng)航智能體.當(dāng)協(xié)調(diào)目標為時變參考軌跡時，即網(wǎng)絡(luò)存在虛擬領(lǐng)航者，如在進行多車輛或多機器人編隊控制時，編隊中心的時變軌跡即為整個多智能體網(wǎng)絡(luò)的虛擬領(lǐng)航者.由于存在通信范圍和帶寬的限制，網(wǎng)絡(luò)中僅有部分個體能夠獲取領(lǐng)航者的狀態(tài)信息，因此在部分個體已知時變領(lǐng)航者狀態(tài)的情況下，有向拓撲網(wǎng)絡(luò)一致性問題的研究尤為重要.

筆者對時變領(lǐng)航情況下多智能體網(wǎng)絡(luò)進行一致性分析.首先，設(shè)計領(lǐng)航狀態(tài)信息為時變情況下的一致性控制算法，實現(xiàn)部分智能體已知領(lǐng)航狀態(tài)信息情況下的一致性追蹤，給出實現(xiàn)一致的充要條件及算法；然后，將此算法拓展至個體與領(lǐng)航者之間存在狀態(tài)偏差情況，提出基于偏差情況下的分布式控制算法，給出保持恒定偏差的充要條件及算法；最后，應(yīng)用編隊仿真實驗驗證基于2種情況算法的控制協(xié)議的正確性.

1 理論基礎(chǔ)和問題描述

1.1 基于圖論的多智能體網(wǎng)絡(luò)的拓撲關(guān)系

網(wǎng)絡(luò)中智能體間的信息交換可用有向或無向圖G加以描述.首先令λn＝｛1，2，…，n｝代表指標集，圖G＝（V，E）由節(jié)點集V（G）＝｛vi，i∈λn｝和邊集E（G）?｛（vi，vj）：i，j∈λn｝構(gòu)成.若（vi，vj）是圖G 的一個邊，那么vi稱為父節(jié)點，vj稱為子節(jié)點.在無向圖中邊均為無向，即節(jié)點vi和節(jié)點vj能夠互相獲取信息.有向圖是由一系列有序的邊（vi1，vi2），（vi2，vi3），…，（vi2n，vin＋1）構(gòu)成，其中vij∈V（G）.若邊（vi，vj）存在，表示節(jié)點vj能夠獲取節(jié)點vi的信息，則鄰接矩陣元素aij＞0；否則，aij＝0，?i，j∈λn.網(wǎng)絡(luò)中智能體之間的拓撲關(guān)系用Laplacian矩陣L＝［lij］∈Rn×n表示，其中

1.2 問題描述

考慮由n＋1個智能體所構(gòu)成的有向網(wǎng)絡(luò)，其中第i個跟隨智能體的動態(tài)表示為

式中：xi為第i個智能體的狀態(tài)，xi∈Rn；xi（0）為第i個智能體的初始狀態(tài)；ui為第i個智能體的控制輸入，ui∈Rn.

為不失一般性，令領(lǐng)航者為第n＋1個智能體的狀態(tài)為xn＋1＝xr，動態(tài)為

式中：xr為領(lǐng)航者的狀態(tài)，xr∈Rn；f為非線性函數(shù).

針對多智能體網(wǎng)絡(luò)，在只有部分智能體已知領(lǐng)航時變狀態(tài)xr（t）的情況下，基于鄰居信息設(shè)計控制協(xié)議ui，使多智能體網(wǎng)絡(luò)能夠漸近達成一致.主要考慮2種情況：

定義1 若對于任意的xi（0），i＝1，…，n，當(dāng)t→∞時，有xi（t）→xr（t），則稱該智能體網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)漸近跟蹤一致.

定義2 若對于任意的xi（0），i＝1，…，n，當(dāng)t→∞時，有xi（t）→xr（t）＋其中為第i個智能體與領(lǐng)航者之間的期望狀態(tài)偏差，則稱該智能體網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)相對狀態(tài)保持期望偏差的漸進一致.

引理1［13］假設(shè)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)矢量x＝［x1，x2，…，xp］T，xi∈R，L∈Rp×p滿足 Laplacian矩陣性質(zhì)，情況等價：（1）L有一個和特征向量lp相對應(yīng)的簡單0特征值，其他所有特征值存在正實部；（2）Lx＝0意味著x1＝x2＝…＝xn；（3）系統(tǒng)˙x＝-Lx漸進趨于一致；（4）L的有向圖存在一個有向生成樹.

2 一致性跟蹤分析算法

考慮僅有部分智能體在已知時變領(lǐng)航狀態(tài)xr情況下，多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）的跟蹤一致性問題.基于鄰居相對信息，提出一致性算法：

式中：ki為控制增益參數(shù)當(dāng)智能體vi可以收到領(lǐng)航者的狀態(tài)信息時，ai（n＋1）＞0；否則，ai（n＋1）＝0.

定理1 考慮多智能體網(wǎng)絡(luò)（1），當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹時，采用控制協(xié)議（3），可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤一致.

證明：先證充分條件.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹時，由引理1可得-Ln＋1x＝0，則xi＝xj＝xn＋1≡xr，i，j＝1，2，…，n，即網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)漸近跟蹤一致.

再證必要條件.將控制協(xié)議（3）帶入網(wǎng)絡(luò)動態(tài)（1），可得

所以-Ln＋1x→0，其中網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)矢量為包含領(lǐng)航者在內(nèi)的n＋1個智能體所構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣

由引理1可得xi→xr，i＝1，2，…，n，即網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)跟蹤一致，并且網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹.

3 相對狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致性分析

在實際應(yīng)用中，當(dāng)考慮跟隨智能體與領(lǐng)航智能體之間存在恒定距離時，需要考慮相對狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致問題.此時將算法（2）進一步拓展，提出一致性算法：

定理2 考慮多智能體網(wǎng)絡(luò)（1），當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹時，采用控制協(xié)議（6），可實現(xiàn)相對狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致.

先證明充分條件.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹時，由引理1可得＝1，2，…，n；因為即網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)相對狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致.

再證明必要條件.由于式（7）形同于協(xié)議（3），根據(jù)算法（3）必要條件的證明過程，由定理1可得→xr，i＝1，2，…，n時，網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹，即當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹.

4 仿真實驗

應(yīng)用仿真實驗驗證文中算法的正確性，實驗中實例1和實例2分別針對算法（3）和算法（6）進行網(wǎng)絡(luò)一致性仿真研究，實例3應(yīng)用算法（6）進行多車輛網(wǎng)絡(luò)的編隊控制.智能體之間的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)見圖1，網(wǎng)絡(luò)中共5個智能體，其中L代表多智能體網(wǎng)絡(luò)中的虛擬領(lǐng)航者，F(xiàn)i（i＝1，2，3，4）分別代表多智能體網(wǎng)絡(luò)中的第i個跟隨者.

4.1 實例1

實例1有向網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)見圖1（a）.由圖1（a）可見，只有智能體1和2能夠收到領(lǐng)航智能體的狀態(tài)信息，并且該有向拓撲具有有向生成樹，滿足定理1條件.令虛擬領(lǐng)航者的狀態(tài)為時變函數(shù)f（t，xr）＝cos t，針對多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）采用控制算法（3），得到各個智能體的狀態(tài)變量軌跡（見圖2）.由圖2可見，所有智能體的狀態(tài)漸近趨于一致，并且收斂于領(lǐng)航者的狀態(tài)，實現(xiàn)一致性跟蹤，與定理1結(jié)論符合.

4.2 實例2

實例2有向網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)見圖1（b）.由圖1（b）可知，只有智能體1能夠收到領(lǐng)航智能體的狀態(tài)信息，并且該有向拓撲具有有向生成樹，滿足定理2條件.令虛擬領(lǐng)航者的狀態(tài)為時變函數(shù)f（t，xr）＝cos t，并且令第i個智能體與領(lǐng)航狀態(tài)位置的理想偏差為δei＝1-i，i＝1，2，3，4.針對多智能體網(wǎng)絡(luò)（1）采用控制算法（6），得到各個智能體的狀態(tài)變量軌跡（見圖3）.由圖3可見，所有智能體的狀態(tài)與領(lǐng)航者狀態(tài)通過快速調(diào)整之后漸近保持恒定偏差，實現(xiàn)相對狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致，與定理2結(jié)論符合.

4.3 實例3

實例3驗證算法（6）在多智能體網(wǎng)絡(luò)編隊控制中的有效性，考慮由4個移動車輛所構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的編隊控制，有 向 網(wǎng) 絡(luò) 拓 撲 見 圖 1（b）.令 xr＝［30sin（πt／100），20sin（πt／50）］，為編隊中心，4個移動車輛與編隊中心的期望偏差為編隊隊形在t為0，10，20，25，30，35s時的隊形見圖4.由圖4可見，在初始時刻，車輛之間隊形不規(guī)則，在左右車輛網(wǎng)絡(luò)漸近具有理想編隊隊形，并且在t為20s后一直保持穩(wěn)定的理想隊形.

5 結(jié)束語

針對一階多智能體網(wǎng)絡(luò)在有向固定通信拓撲情況下，只有部分個體已知時變領(lǐng)航參考狀態(tài)的一致性問題，提出一致性控制協(xié)議，并通過圖論、矩陣論及穩(wěn)定性理論提出實現(xiàn)跟蹤時變領(lǐng)航一致的充要條件及控制算法.將該控制算法拓展到智能體間具有固定相對狀態(tài)偏差的情況，給出實現(xiàn)具有固定相對偏差一致的充要條件及控制算法，并將該控制算法應(yīng)用到多移動車輛網(wǎng)絡(luò)編隊控制中.通過3個實例仿真實驗驗證基于文中算法的控制協(xié)議，實例1驗證當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓撲具有有向生成樹時，文中算法控制協(xié)議可以解決部分智能體在已知時變參考狀態(tài)情況下的一致性追蹤問題；實例2應(yīng)用基于拓展算法的控制協(xié)議，驗證所有智能體的狀態(tài)與領(lǐng)航者狀態(tài)能夠漸近保持恒定偏差，實現(xiàn)相對狀態(tài)保持期望偏差的漸近一致；實例3將相對狀態(tài)偏差算法引入到多車輛的編隊控制中，拓展多智能體編隊的控制方法.

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