安全成 張家志 薄婷婷

(1.川慶鉆探工程公司鉆采工程技術(shù)研究院長慶分院，西安 710019;2.長慶油田公司第四采氣廠，西安 710000)

通過井口的壓力、溫度、產(chǎn)量等條件預(yù)測產(chǎn)水氣井井筒中的壓力分布，通常是將井筒分為若干段，根據(jù)井口條件依次計算井筒每一段流體的壓力梯度，最終得到井筒壓力分布。目前最為常用的數(shù)值解法是迭代法和龍格庫塔法［1］。為尋求最適宜的數(shù)值解法，有必要分析不同的數(shù)值解法對計算精度以及計算時間的影響，從而了解其優(yōu)劣，為計算產(chǎn)水氣井井底壓力提供指導(dǎo)。

1 井筒壓降模型

將井筒中多相管流考慮為穩(wěn)定的一維流動問題，管軸作為坐標(biāo)軸z，規(guī)定其正向與流體流動方向一致。定義管斜角θ為坐標(biāo)軸z與水平方向的夾角，根據(jù)質(zhì)量守恒、動量守恒可得到普適化的壓力梯度方程［2］:

持液率與摩阻系數(shù)是求解上述方程的關(guān)鍵參數(shù)，由于氣液兩相管流機理復(fù)雜，通常需要通過實驗采用因次分析的方法確定特定流動過程中的無因次參數(shù)，進而得到不同流型下的持液率和摩阻系數(shù)，本文采用目前工程上最常用的H－B經(jīng)驗?zāi)Ｐ停?］，模型中的天然氣黏度采用Lee公式［4］，天然氣偏差系數(shù)采用DAK公式［5］，其他物性公式參照文獻［6］。

2 數(shù)值解法

壓力梯度方程(1)的右端包含了流體物性、運動參數(shù)及其有關(guān)的無因次變量，難以求其解析解。通常將井筒分為若干段，從井口段開始采用迭代法或龍格庫塔方法逐段計算下一段壓力。而前一類方法又可分為變管段長度增量法和變壓力增量法。

2.1 迭代法

迭代法通常也叫試錯法，先設(shè)定壓力增量Δp或管段長度增量Δz，估計其對應(yīng)的管段長度增量Δz′或?qū)?yīng)的壓力增量Δp′，再根據(jù)該段內(nèi)平均壓力、溫度按式(1)計算出壓力梯度，進而由式(2)計算出壓力增量對應(yīng)的管段長度增量Δzi(或由式(3)計算出管段長度增量對應(yīng)的壓力增量Δpi)，直至計算的Δzi或 Δpi接近估計值 Δz′或 Δp′，否則將計算值作為估計值重新迭代。

2.2 龍格庫塔法

可將壓力梯度方程(1)處理為常微方程的初值問題，用F(z，p)代替方程(1)的右端，以井口z0處壓力p0作為初值條件，則

這類常微分方程可采用具有較高精度的四階龍格庫塔法值求解，需要先設(shè)定壓力增量Δp，再按式(5)～式(9)求出下部井深zi+1，直至達到井底深度為止。

式中:pi—第i段上部壓力，Pa;zi、zi+1—分別為第i段上部和下部井深，m。

3 實例對比分析

以某井為例分析不同數(shù)值計算方法對產(chǎn)水氣井井筒壓力的影響，該井的基本參數(shù)如表1所示，實測井底壓力為16.14 MPa。分別采用3種數(shù)值方法計算其井底壓力，并按表2中所設(shè)定的參數(shù)范圍分析不同數(shù)值解法的迭代次數(shù)與誤差分布，結(jié)果如圖1—3所示。

表1 實例井基本參數(shù)

表2 數(shù)值方法設(shè)定的參數(shù)范圍

圖1 變管段增量形式迭代法的迭代次數(shù)與誤差

由圖1知，變管段長度增量形式的迭代法在較低壓力增量范圍內(nèi)具有較高精度，但迭代次數(shù)較多;在較高壓力增量范圍內(nèi)雖然迭代次數(shù)較少，但精度降低。當(dāng)壓力增量在0.4～1.2 MPa時，絕對誤差為0，而迭代次數(shù)≤50。

圖2 變壓力增量形式迭代法的迭代次數(shù)與誤差

由圖2知，變壓力增量形式的迭代法在管段分段數(shù)較低時，雖然迭代次數(shù)較少，但精度較低;在管段分段數(shù)較高時，精度較低，迭代次數(shù)也較多，只有當(dāng)管段分段數(shù)在10～40時，絕對誤差為0，迭代次數(shù)≤100。相比而言，變管段增量形式的迭代法比變壓力增量形式的迭代法具有更強的適應(yīng)性，因為前者的壓力增量較低時能夠一直保持較高精度，而后者的管段分段數(shù)較高或較低均會影響計算精度。

圖3 龍格庫塔法迭代次數(shù)與絕對誤差的關(guān)系

由圖3知，龍格庫塔法無論壓力增量為多少，都能夠保持較高精度，只是在低壓力增量時迭代次數(shù)較高。將變管段長度增量形式的迭代法同龍格庫塔法進行對比如圖4、圖5所示。結(jié)果表明:龍格庫塔法與迭代法迭代次數(shù)相當(dāng)，但龍格庫塔法在更寬壓力步長范圍內(nèi)比迭代法精度高，當(dāng)壓力增量達6 MPa時，絕對誤差比迭代法計算的絕對誤差低了約80%。因此龍格庫塔法性能優(yōu)于迭代法。

圖4 龍格庫塔法與迭代法迭代次數(shù)對比

5 結(jié)論

(1)變壓力增量形式的迭代法與變管段增量形式的迭代法相比，前者在較低或較高管段分段數(shù)條件下精度均較低，適應(yīng)性不強;而后者在較低的壓力增量范圍內(nèi)能夠保持高精度，略優(yōu)于前者，但在高壓力增量范圍內(nèi)精度較低。

圖5 龍格庫塔法與迭代法絕對誤差對比

(2)龍格庫塔法相比其他2種方法在較寬的壓力增量范圍內(nèi)均具有最佳的精度，且迭代次數(shù)與變管段增量形式的迭代法相當(dāng)，推薦其為產(chǎn)水氣井井底壓力數(shù)值求解方法。

［1］李穎川.定向井氣液兩相流壓力計算數(shù)值方法［J］.天然氣工業(yè)，1990，10(2):24-29.

［2］李穎川.采油工程［M］.北京:石油工業(yè)出版社，2009:22.

［3］Hagedorn A R，Brown K E.Experimental Study of Pressure Gradients Occurring During Continuous Two-Phase Flow in Small Diameter Vertical Conduits［J］.Journal of Petroleum Technology，1965，17(4):75-84 .

［4］Lee，Anthony L.Viscosity of Natural Gases［J］.Journal of Petroleum Technology，1966:997.

［5］Dranchuk P M，Abu-Kassem J H.Calculation of Z Factors for Natural Gases Using Equations of State［J］.J.Cdn.Pet.Tech.，1975，14(3):34-36.

［6］李仕倫.天然氣工程［M］.北京:石油工業(yè)出版社，2000:23-47.