張苾菁

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾經說過：“兒童與其說是學習數學，不如說是學習數學化?！边@個理念，老師們想必都非常熟悉。當然，不可否認，很多情況下，類似這樣言簡意賅的理念即便是被人們在不經意間記住了，若要真的用于指導自己的教學，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實上，對于理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進行的，因為沒有觸及其本質的要求，所以教學行為缺乏一種高位的設計，課堂所呈現出的整體性和連貫性不足，甚至會出現為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向。

何謂數學化？人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化分為兩個層次，橫向數學化和縱向數學化。橫向數學化是指從真實生活走進符號世界,而縱向數學化是指在符號世界中進行移動。

舉個例子，教學“運算律”，老師們通常會這樣執(zhí)教。

教學片段一

1.師：同學們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片（圖略）。

2.師：仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據這些信息，你會列式解答嗎？

3.學生獨立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問題的角度不同，有的同學先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數學活動其實就是實現了學生將知識從具體的情境中分離抽象出來的過程，是將生活問題抽象成數學問題的一個典型，其實質就是學生帶著自己的知識經驗，朝學科知識逐漸靠近。情境幫助學生建立了從生活走向數學的通道，從根本上促進學生意義建構的主動發(fā)生。因此，我們說，要讓學生經歷數學化的過程，首先要關注情境的運用，通過數學的現實性來實現數學化。當學生對此問題列出不同的算式，準備進行解答時,這其實就是利用數學的現實性進行橫向數學化的過程。橫向數學化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學是不是就此完成了任務？學生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對于乘法分配律的理解，學生的難點到底在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左邊和右邊的數并沒有因為交換和結合而發(fā)生改變，原來兩個數交換位置還是兩個數，原來三個數結合以后還是三個數，并且都只限于一種乘法計算，學生理解起來難度不大；但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊數的個數發(fā)生了變化，由形式上的三個數變成了四個數，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提：“兩個數的和與一個數相乘以及兩個數分別與這個數相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點對于提煉算式中數的特征和數與數之間的關系，顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學生的有意注意。

教學片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個例子是加數不變，只變化乘數，為的就是聚焦乘數的變化給等號兩側算式帶來的變化。）

2.如果現在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個例子是乘數不變，只變化加數，看看這樣變化對算式帶來的影響。）

3.在此基礎上，屏幕上已經形成了三道等式。學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數、變化加數的過程中，結合具體情境所體現的意義，初步體驗到等式左右結構變化的規(guī)律，進而讓學生拋開具體情境，嘗試用數學語言來表述。這是學生從橫向數學化走向縱向數學化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學生就可以將注意的重心聚焦于對算式內部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個數，加法和乘法。

師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，它們的運算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時先乘然后再加。

師：能把它們運算順序具體地說一說嗎？

在教師的引導下，學生能作如下語言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

……

小結：通過剛才同學的發(fā)言，我們發(fā)現等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數的和乘一個數”（板書）；等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數分別乘上這個數，結果相等。

師：誰來把剛才你發(fā)現的這個情況用自己的話說說？

……

（從結合具體式子的語言表述，逐漸走向概括的語言表述，是發(fā)展學生數學抽象、概括能力的一個良好時機。）

師：剛才我們是通過3組算式發(fā)現的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數據，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現在小組里說一說。

師：同學們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時候，類型重復的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學。）

師：同學們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個辦法，用一個等式把具有這種特點的等式都表示出來呢？用你喜歡的方式來表達，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達的意思都一樣。那同學們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導學生歸納：這樣的等式都表示一個相同的規(guī)律：兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個數分別與這個數相乘，再把兩個乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來分別表示不同的三個數，那么這個規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學們會用自己的語言來說一說什么是乘法分配律嗎？同桌之間說一說。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數學符號研究數學規(guī)律，教師設計了幾個不同思維的數學活動，逼著學生用數學的方法思考問題，表達數學規(guī)律，其目的是促進學生的認知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數學化深入的結果。這才是數學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向，體驗數學的抽象性，實現數學化是我們目前應該更為關注的問題。

總之，橫向數學化生成生活與數學的聯(lián)系，偏向于實踐活動；縱向數學化生成抽象數學知識間的聯(lián)系，偏重于幫助學生提升數學思維。在我們的數學課堂教學中,橫向數學化和縱向數學化應該是同時存在的，學生在經歷數學化過程中的思考體驗會給后續(xù)的學習帶來深遠影響。

學習了這堂課以后，學生會進一步形成猜測，兩個數的和與一個數相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數、四個數的和與一個數相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否有必要借助于情境來說明道理？還是讓學生經歷發(fā)現問題—提出假設—舉例驗證—歸納規(guī)律的過程？答案是不言而喻的。

我們當下的數學課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設，而是缺乏從情境走向對數學問題研究時的數學化立場。如果說從生活走向數學為教學創(chuàng)造了一個適宜的起點的話，那么，對于數學知識內部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結則是發(fā)展學生數學思維的重要過程。這個過程應該在有思維含量的數學活動中被充分地展開。若是在這項工作上我們再作深入的思考和有效的實踐，我們數學課的數學味會更濃郁。?

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荷蘭數學家弗賴登塔爾曾經說過：“兒童與其說是學習數學，不如說是學習數學化?！边@個理念，老師們想必都非常熟悉。當然，不可否認，很多情況下，類似這樣言簡意賅的理念即便是被人們在不經意間記住了，若要真的用于指導自己的教學，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實上，對于理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進行的，因為沒有觸及其本質的要求，所以教學行為缺乏一種高位的設計，課堂所呈現出的整體性和連貫性不足，甚至會出現為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向。

何謂數學化？人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化分為兩個層次，橫向數學化和縱向數學化。橫向數學化是指從真實生活走進符號世界,而縱向數學化是指在符號世界中進行移動。

舉個例子，教學“運算律”，老師們通常會這樣執(zhí)教。

教學片段一

1.師：同學們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片（圖略）。

2.師：仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據這些信息，你會列式解答嗎？

3.學生獨立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問題的角度不同，有的同學先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數學活動其實就是實現了學生將知識從具體的情境中分離抽象出來的過程，是將生活問題抽象成數學問題的一個典型，其實質就是學生帶著自己的知識經驗，朝學科知識逐漸靠近。情境幫助學生建立了從生活走向數學的通道，從根本上促進學生意義建構的主動發(fā)生。因此，我們說，要讓學生經歷數學化的過程，首先要關注情境的運用，通過數學的現實性來實現數學化。當學生對此問題列出不同的算式，準備進行解答時,這其實就是利用數學的現實性進行橫向數學化的過程。橫向數學化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學是不是就此完成了任務？學生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對于乘法分配律的理解，學生的難點到底在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左邊和右邊的數并沒有因為交換和結合而發(fā)生改變，原來兩個數交換位置還是兩個數，原來三個數結合以后還是三個數，并且都只限于一種乘法計算，學生理解起來難度不大；但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊數的個數發(fā)生了變化，由形式上的三個數變成了四個數，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提：“兩個數的和與一個數相乘以及兩個數分別與這個數相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點對于提煉算式中數的特征和數與數之間的關系，顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學生的有意注意。

教學片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個例子是加數不變，只變化乘數，為的就是聚焦乘數的變化給等號兩側算式帶來的變化。）

2.如果現在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個例子是乘數不變，只變化加數，看看這樣變化對算式帶來的影響。）

3.在此基礎上，屏幕上已經形成了三道等式。學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數、變化加數的過程中，結合具體情境所體現的意義，初步體驗到等式左右結構變化的規(guī)律，進而讓學生拋開具體情境，嘗試用數學語言來表述。這是學生從橫向數學化走向縱向數學化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學生就可以將注意的重心聚焦于對算式內部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個數，加法和乘法。

師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，它們的運算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時先乘然后再加。

師：能把它們運算順序具體地說一說嗎？

在教師的引導下，學生能作如下語言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

……

小結：通過剛才同學的發(fā)言，我們發(fā)現等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數的和乘一個數”（板書）；等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數分別乘上這個數，結果相等。

師：誰來把剛才你發(fā)現的這個情況用自己的話說說？

……

（從結合具體式子的語言表述，逐漸走向概括的語言表述，是發(fā)展學生數學抽象、概括能力的一個良好時機。）

師：剛才我們是通過3組算式發(fā)現的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數據，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現在小組里說一說。

師：同學們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時候，類型重復的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學。）

師：同學們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個辦法，用一個等式把具有這種特點的等式都表示出來呢？用你喜歡的方式來表達，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達的意思都一樣。那同學們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導學生歸納：這樣的等式都表示一個相同的規(guī)律：兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個數分別與這個數相乘，再把兩個乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來分別表示不同的三個數，那么這個規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學們會用自己的語言來說一說什么是乘法分配律嗎？同桌之間說一說。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數學符號研究數學規(guī)律，教師設計了幾個不同思維的數學活動，逼著學生用數學的方法思考問題，表達數學規(guī)律，其目的是促進學生的認知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數學化深入的結果。這才是數學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向，體驗數學的抽象性，實現數學化是我們目前應該更為關注的問題。

總之，橫向數學化生成生活與數學的聯(lián)系，偏向于實踐活動；縱向數學化生成抽象數學知識間的聯(lián)系，偏重于幫助學生提升數學思維。在我們的數學課堂教學中,橫向數學化和縱向數學化應該是同時存在的，學生在經歷數學化過程中的思考體驗會給后續(xù)的學習帶來深遠影響。

學習了這堂課以后，學生會進一步形成猜測，兩個數的和與一個數相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數、四個數的和與一個數相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否有必要借助于情境來說明道理？還是讓學生經歷發(fā)現問題—提出假設—舉例驗證—歸納規(guī)律的過程？答案是不言而喻的。

我們當下的數學課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設，而是缺乏從情境走向對數學問題研究時的數學化立場。如果說從生活走向數學為教學創(chuàng)造了一個適宜的起點的話，那么，對于數學知識內部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結則是發(fā)展學生數學思維的重要過程。這個過程應該在有思維含量的數學活動中被充分地展開。若是在這項工作上我們再作深入的思考和有效的實踐，我們數學課的數學味會更濃郁。?

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荷蘭數學家弗賴登塔爾曾經說過：“兒童與其說是學習數學，不如說是學習數學化。”這個理念，老師們想必都非常熟悉。當然，不可否認，很多情況下，類似這樣言簡意賅的理念即便是被人們在不經意間記住了，若要真的用于指導自己的教學，還得再下一番工夫好好去琢磨。事實上，對于理念的實踐，很多情況下我們是在一種似懂非懂的淺表狀態(tài)下進行的，因為沒有觸及其本質的要求，所以教學行為缺乏一種高位的設計，課堂所呈現出的整體性和連貫性不足，甚至會出現為了迎合某種時髦的形式導致教學目標偏離方向。

何謂數學化？人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。數學化分為兩個層次，橫向數學化和縱向數學化。橫向數學化是指從真實生活走進符號世界,而縱向數學化是指在符號世界中進行移動。

舉個例子，教學“運算律”，老師們通常會這樣執(zhí)教。

教學片段一

1.師：同學們，六一兒童節(jié)快到了，王阿姨準備買一些衣服作為節(jié)日禮物送給福利院的孩子們，請看圖片（圖略）。

2.師：仔細觀察，從圖中我們可以知道哪些信息？要解決什么問題？根據這些信息，你會列式解答嗎？

3.學生獨立思考后，交流出兩種解題思路。

生1：分別買5件夾克和5條褲子，再算出總價。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的價錢，再算出總價。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.師：你們看，由于思考問題的角度不同，有的同學先算買夾克衫和買褲子各用了多少元，還有的同學先算買一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的數學活動其實就是實現了學生將知識從具體的情境中分離抽象出來的過程，是將生活問題抽象成數學問題的一個典型，其實質就是學生帶著自己的知識經驗，朝學科知識逐漸靠近。情境幫助學生建立了從生活走向數學的通道，從根本上促進學生意義建構的主動發(fā)生。因此，我們說，要讓學生經歷數學化的過程，首先要關注情境的運用，通過數學的現實性來實現數學化。當學生對此問題列出不同的算式，準備進行解答時,這其實就是利用數學的現實性進行橫向數學化的過程。橫向數學化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教學是不是就此完成了任務？學生的思維又該如何向縱深發(fā)展呢？

我們需要思考的是，對于乘法分配律的理解，學生的難點到底在哪里？

我們知道，對于乘法交換律和乘法結合律，由于等式左邊和右邊的數并沒有因為交換和結合而發(fā)生改變，原來兩個數交換位置還是兩個數，原來三個數結合以后還是三個數，并且都只限于一種乘法計算，學生理解起來難度不大；但是對于乘法分配律來說，等號左右兩邊數的個數發(fā)生了變化，由形式上的三個數變成了四個數，并且既有加法運算又有乘法運算，這兩個變化是學生理解的難點。因此，對于“乘法分配律”這個規(guī)律的前提：“兩個數的和與一個數相乘以及兩個數分別與這個數相乘”在算式中的特征的觀察是非常重要的，這直接影響著對規(guī)律最終的理解和表述。如果僅憑一個算式就讓學生觀察算式的特點對于提煉算式中數的特征和數與數之間的關系，顯得過于單薄，教師需要變化算式的條件引發(fā)學生的有意注意。

教學片段二

1.師：如果還是買上衣和褲子，不過要買8套，你會怎么解決？（65+45）×8=65×8+45×8。（這個例子是加數不變，只變化乘數，為的就是聚焦乘數的變化給等號兩側算式帶來的變化。）

2.如果現在將短袖和褲子配成一套，買這樣的5套，你能列式解決嗎？（32+40）×5=32×5+40×5。（這個例子是乘數不變，只變化加數，看看這樣變化對算式帶來的影響。）

3.在此基礎上，屏幕上已經形成了三道等式。學生在初次嘗試建立等式，繼而變化乘數、變化加數的過程中，結合具體情境所體現的意義，初步體驗到等式左右結構變化的規(guī)律，進而讓學生拋開具體情境，嘗試用數學語言來表述。這是學生從橫向數學化走向縱向數學化的一個橋梁。從這個環(huán)節(jié)開始，學生就可以將注意的重心聚焦于對算式內部特征的研究了。

4.師：觀察下面的三道算式，等號左右兩邊有幾個不同的數？在進行什么運算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三個數，加法和乘法。

師：等號兩邊的算式都在進行加法和乘法運算，它們的運算順序一樣嗎？

生：不一樣，左邊是先加后乘，右邊是兩部分同時先乘然后再加。

師：能把它們運算順序具體地說一說嗎？

在教師的引導下，學生能作如下語言表述。

生1：左邊算的是“65與45的和乘5”，右邊算的是“65乘5的積與45乘5的積相加”（65和45分別乘5，再相加），結果相等。

生2：左邊算的是“65與45的和乘8”，右邊算的是“65乘8的積與45乘8的積相加”，結果相等。

……

小結：通過剛才同學的發(fā)言，我們發(fā)現等號左邊的算式都有一個共同特點，都是先算“兩個數的和乘一個數”（板書）；等號右邊也都有一個共同特點，都是把這兩個數分別乘上這個數，結果相等。

師：誰來把剛才你發(fā)現的這個情況用自己的話說說？

……

（從結合具體式子的語言表述，逐漸走向概括的語言表述，是發(fā)展學生數學抽象、概括能力的一個良好時機。）

師：剛才我們是通過3組算式發(fā)現的規(guī)律，這是巧合還是規(guī)律呢？是不是所有類似這樣的等式都能成立呢？你有沒有什么好辦法？

師：想一想，能換不同的數據，再寫幾組類似這樣的等式嗎？請大家在自備本上試一試、寫一寫，然后把你的發(fā)現在小組里說一說。

師：同學們一定又寫出了好多這樣的等式吧？課件出示一組等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（舉例的時候，類型重復的不要寫，但是特殊情況要考慮，這是一種方法上的教學。）

師：同學們，這樣的等式寫得完嗎？同樣類型的式子肯定寫不完，那么怎樣的式子具有代表性呢？我們能不能想個辦法，用一個等式把具有這種特點的等式都表示出來呢？用你喜歡的方式來表達，可采用文字、圖畫、字母等。

生獨立在本子上嘗試，完成后跟同桌交流。

師：大家一定想出很多方法來表示這樣的等式。是啊，表示的方法可以多種多樣，但表達的意思都一樣。那同學們知道這種等式所表示的意思嗎？用自己的話和同桌交流一下。

師引導學生歸納：這樣的等式都表示一個相同的規(guī)律：兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個數分別與這個數相乘，再把兩個乘積相加。（課件出示規(guī)律文字）如果我們用字母a、b、c來分別表示不同的三個數，那么這個規(guī)律可以怎么寫呢？可以寫成（課件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這就是乘法分配律。（出示課題）同學們會用自己的語言來說一說什么是乘法分配律嗎？同桌之間說一說。

在這個環(huán)節(jié)中，我們把數學問題從具體情境中剝離了出來，不再依附于情境，直接利用數學符號研究數學規(guī)律，教師設計了幾個不同思維的數學活動，逼著學生用數學的方法思考問題，表達數學規(guī)律，其目的是促進學生的認知高水平發(fā)展。首先是基于模仿，其次是進行不完全歸納，最后是形成一般規(guī)律。這個過程是學生的認知水平由事實性水平向概念性、方法性水平不斷向縱深發(fā)展的階段，也可以看作縱向數學化深入的結果。這才是數學活動所期許達成的目標。因此，關注活動的指向，體驗數學的抽象性，實現數學化是我們目前應該更為關注的問題。

總之，橫向數學化生成生活與數學的聯(lián)系，偏向于實踐活動；縱向數學化生成抽象數學知識間的聯(lián)系，偏重于幫助學生提升數學思維。在我們的數學課堂教學中,橫向數學化和縱向數學化應該是同時存在的，學生在經歷數學化過程中的思考體驗會給后續(xù)的學習帶來深遠影響。

學習了這堂課以后，學生會進一步形成猜測，兩個數的和與一個數相乘有這樣的規(guī)律，那么三個數、四個數的和與一個數相乘也有這樣的規(guī)律嗎？乘法有分配律，除法有嗎？如果把括號里的加號改成減號，這個等式還成立嗎？由前面的結論引申出的這些新問題，是否有必要借助于情境來說明道理？還是讓學生經歷發(fā)現問題—提出假設—舉例驗證—歸納規(guī)律的過程？答案是不言而喻的。

我們當下的數學課堂，不是缺乏情境的創(chuàng)設，而是缺乏從情境走向對數學問題研究時的數學化立場。如果說從生活走向數學為教學創(chuàng)造了一個適宜的起點的話，那么，對于數學知識內部的觀察、整理、辨析、聯(lián)結則是發(fā)展學生數學思維的重要過程。這個過程應該在有思維含量的數學活動中被充分地展開。若是在這項工作上我們再作深入的思考和有效的實踐，我們數學課的數學味會更濃郁。?

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