池光勝， 李慧玲

(1.山東凱文科技職業(yè)學院基礎教學部，山東濟南 250200;2.山東理工大學理學院，山東 淄博 255000)

二維分數(shù)階擴散方程交替差分格式及其一致性

池光勝1， 李慧玲2

(1.山東凱文科技職業(yè)學院基礎教學部，山東濟南 250200;2.山東理工大學理學院，山東 淄博 255000)

研究二維有限域上的空間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值解法，通過移位的Grunwald公式對空間分數(shù)階導數(shù)進行離散，得到Euler隱式差分格式。利用傅里葉變換理論證明了交替差分格式的一致性。

二維分數(shù)階擴散方程; Euler隱式差分格式; 一致性

0引言

對于正常擴散，通常用傳統(tǒng)的二階對流-擴散(彌散)方程來描述，而反常擴散則是非馬爾可夫(時間上)的非局域性(空間上)的運動，因此必須考慮運動過程的時空相關性，由此需要引入分數(shù)階微積分，得到分數(shù)階微分方程的反常擴散模型。對一維對流-擴散方程，于強等［1］給出了時間分數(shù)階反應-擴散方程的隱式差分近似，并利用分數(shù)階離散系數(shù)的特點，證明了這個隱式差分近似的無條件穩(wěn)定性和收斂性。劉發(fā)旺等［2］利用拉普拉斯變換及H函數(shù)的性質，研究了一個時間分數(shù)階對流-彌散方程的求解。鄭達藝等［3］采用Grunwald改進型的離散方法對分數(shù)階導數(shù)進行離散，構造出分數(shù)階微分方程的差分格式，并證明了隱式格式是無條件穩(wěn)定和收斂的。對于二維對流擴散方程，周璐瑩等［4］對分數(shù)階時間空間對流-擴散方程分別建立了差分格式，實現(xiàn)了數(shù)值求解。Chen S等［5］給出了一類求解二維分數(shù)階滲透方程的差分格式的數(shù)值解法。上述研究均未對二維分數(shù)階導數(shù)采用移位的Grunwald型離散方法進行分析，本文通過給出求解一個二維空間分數(shù)階擴散方程的隱式差分格式，給出差分格式一致性的證明。

1 二維空間分數(shù)階擴散方程的差分格式

其中1＜α，β＜2，DL=DL(x)＞0是縱向擴散系數(shù)，DT=DT(y)＞0是橫向擴散系數(shù)，f(x，y，t)是源項。首先對所求區(qū)域進行網(wǎng)格剖分:

對于二維空間分數(shù)階擴散方程

其中hx和hy為二維空間步長，τ為時間步長。設uni，j表示 u 在(xi，yj)點處、時刻 tn時的近似值。對二維分數(shù)階導數(shù)項有:

式中Γ(·)是伽馬函數(shù)。記

空間分數(shù)階導數(shù)項可以用移位的Grunwald公式進行差分離散:

可得式(1)的隱式差分格式如下:

若定義分數(shù)階差分算子:

則式(5)可寫成如下算子形式:

上述形式的ADI方法可通過以下迭代形式來求解。在時間tn+1處:

2 Euler差分格式的一致性

對于二維分數(shù)階導數(shù)，若?α，β＞0，p，q≥0且 p，q∈Z，空間步長 hx，hy＞0，也可以用如下式子來定義移位的Grunwald公式:

證明ADI交替差分格式的一致性:一維分數(shù)階導數(shù)可用移位的Grunwald公式近似表達為［3］其中

接下來將證明式(13)一致近似于混合分數(shù)階導數(shù)。

定理 1 設 r＞α +β +3，r∈Z，則對任意的 f∈Wl，1(R2)，(x，y)∈R2有，函數(shù)f在?1(R2)內(nèi)有l(wèi)階的偏導數(shù)，并且在無窮遠處，l-1階的偏導數(shù)都為0。

證明 f∈?(R2)的Fourier變換為:

證畢。

這表明A D I方法取代隱式歐拉算法后精度并沒有減小，它的收斂精度為O(hx，hy，τ)。

3 數(shù)值算例

圖1 數(shù)值解和解析解的比較圖

通過計算結果可以看出，使用移位的Grunwald公式對二維分數(shù)階導數(shù)進行離散建立的差分格式進行數(shù)值計算是有效的。

［1］于強，劉發(fā)旺.時間分數(shù)階反應-擴散方程的隱式差分近似［J］.廈門大學學報:自然科學版，2006，45(3):315-319.

［2］LIU F，ANH V V，TURNER I，et al.Time fractional advection-dispersion equation［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2003，13(1/2):233-245.

［3］鄭達藝，劉發(fā)旺，盧旋珠.空間分數(shù)階微分方程混合問題的數(shù)值方法［J］.莆田學院學報，2006，13(2):11-14.

［4］周璐瑩，吳吉春，夏源.二維分數(shù)對流-彌散方程的數(shù)值解［J］.高校地質學報，2009，15(4):569-575.

［5］CHEN S，LIU F，TURNER I，et al.An implicit numerical method for the two-dimensional fractional percolation equation［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2003，13(9):322-331.

［6］黃鳳輝，郭柏靈.一類時間分數(shù)階偏微分方程的解［J］.應用數(shù)學和力學，2010，31(7):781-790.

［責任編輯:魏 強］

Finite difference methods and its consistency for two-dimensional fractional dispersion equation

CHI Guang-sheng1，LI Hui-ling2
(1.Department of Basic Courses，Shandong Kaiwen College of Science ＆ Technology，Ji’nan 250200，China;2.Institute of Applied Mathematics，Shandong University of Science ＆ Technology，Zibo 255000，China)

In this paper we discuss the numerical method for two-dimensional fractional dispersion equation which fractional derivative can be approximated by the shifted Grunwald-formula on a finite domain.We get its Euler alternating directions implicit method which consistency can be proved by Fourier transform.

two-dimensional fractional dispersion equation; Euler implicit method; consistency

O242.1

A

1673-2944(2014)05-0064-04

2013-12-04

山東凱文科技職業(yè)學院自然科學基金資助項目(KW201209)

池光勝(1985—)，男，山東省淄博市人，山東凱文科技職業(yè)學院講師，碩士，主要研究方向為數(shù)學物理問題;李慧玲(1987—)，女，河南省鶴壁市人，山東理工大學碩士生，主要研究方向為數(shù)學物理問題。