李 鑄 宇，張 偉，賀 鳳 寶，胡 建 忠

(大連工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 大連 116034)

0 引 言

麻花鉆的前刀面是螺旋面。它除了提供鉆削加工中所需要的排屑空間，同時(shí)也影響主切削刃的形狀和前角[1]，是決定鉆頭切削性能的重要結(jié)構(gòu)。螺旋槽的廓形傳統(tǒng)上要求與形成廓形的刀具形線一一對應(yīng)，并且形線精度要求嚴(yán)格[2]。這顯然很難適應(yīng)現(xiàn)代制造業(yè)出現(xiàn)的各種難加工材料。由于加工性能差別大，必須設(shè)計(jì)各種合適的槽型。目前數(shù)控制造中使用的硬質(zhì)合金鉆頭，螺旋槽的加工只能用金剛石砂輪磨削。由于金剛石硬度高，修整砂輪費(fèi)工費(fèi)時(shí)，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法顯得困難而且成本高。

近年來，出現(xiàn)了模擬加工運(yùn)動(dòng)的直接法[3]。它是采用外形簡單的圓柱砂輪，加工指定芯厚和徑向前角的螺旋槽。芯厚的要求保證了鉆頭的剛度，前角則影響鉆頭的排屑和切削力等性能。同一片砂輪可以通過調(diào)整安裝位置加工出不同的槽形，方法靈活，適應(yīng)各種槽型，成為研究熱點(diǎn)，但一些設(shè)計(jì)依靠經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定砂輪加工位置[4]；另一些采用粒子群(PSO)搜索算法，需要3 000次冗長的迭代計(jì)算得到結(jié)果[5]。砂輪的加工位置同時(shí)影響螺旋槽的芯厚和徑向前角，使求解變得困難。

中心距和偏心距決定加工出的螺旋槽輪廓形狀[3]。應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)，提出一種新的有效解決上述難題的方法。首先，設(shè)定一個(gè)初始的中心距，滿足芯厚的條件；在保證芯厚不變的條件下，調(diào)整砂輪加工位置，將滿足芯厚和前角的條件分步實(shí)現(xiàn)；最后，用一維搜索的優(yōu)化方法滿足給定徑向前角。

1 滿足芯厚條件的初始中心距

如圖1所示，以鉆頭的后端面中心為原點(diǎn)，建立全局坐標(biāo)系｛o：x，y，z｝，z軸和鉆頭軸線重合；動(dòng)坐標(biāo)系｛o1：x1，y1，z1｝附著在砂輪上，z1軸和砂輪軸線重合；z軸與z1軸之間的夾角β稱為安裝角；初始時(shí)刻，x1軸和x軸重合；z軸與z1軸之間的垂直距離稱為中心距A。在加工的過程中，保持砂輪的方向固定不變，安裝角β和螺旋參數(shù)p設(shè)定為常量。

圖1 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate systems

如圖2，鉆頭的半芯厚(rw)定義為螺旋槽橫截面曲線的內(nèi)切圓半徑；徑向前角(γ)為外緣轉(zhuǎn)點(diǎn)與圓心的連線，和該點(diǎn)螺旋槽輪廓曲線的切線之間的夾角。如圖3圓弧砂輪，r是砂輪半徑，ρ是圓弧半徑。將砂輪垂直z1軸方向離散成直徑不同的薄片。砂輪的左側(cè)第1個(gè)薄片的直徑最大，記為大圓Q。它到原點(diǎn)o1的距離稱為偏心距T1。砂輪的加工位置由中心距A和偏心距T1確定。

圖2 芯厚和徑向前角Fig.2 Web and radial rake angle

圖3 砂輪Fig.3 Grinding wheel

如圖4，在初始位置，將大圓Q的圓心o2放置于毛坯軸線的正上方，這時(shí)偏心距T1＝0。由于直徑最大的這個(gè)砂輪薄片切入毛坯材料最深，它將決定加工出的螺旋槽的芯厚。當(dāng)中心距A設(shè)定為

即可保證半芯厚rw。

圖4 機(jī)床加工位置Fig.4 Machining position

2 調(diào)整中心距和偏心距滿足芯厚條件

確定了初始中心距后，如果在調(diào)整中心距和偏心距的過程中，保持芯厚不變，則同時(shí)滿足芯厚和前角兩個(gè)條件，就能分步實(shí)現(xiàn)：第1步滿足芯厚，第2步滿足前角。

如圖4，觀察砂輪在垂直鉆頭軸線的橫截面上的投影。以砂輪端面Q的圓心o2作為原點(diǎn)，建立輔助坐標(biāo)系｛o2：x2，y2，z2｝。其中，x2和x軸重合；y2，z2軸分別和y，z軸平行。垂直z1軸方向?qū)ι拜喦衅?，每一個(gè)薄片都是直徑不同的圓。每個(gè)砂輪薄片在螺旋運(yùn)動(dòng)中，將毛坯材料去除。

任意一個(gè)砂輪薄片在主視圖平面x2o2y2中的投影是一個(gè)橢圓。整個(gè)砂輪薄片的投影就是這些橢圓相互疊加，形成的最外部的輪廓，用微分幾何中平面曲線族的包絡(luò)表示。在調(diào)整中心距和偏心距時(shí)，如果讓鉆頭毛坯始終和這條包絡(luò)曲線保持相等的距離，就能滿足芯厚的條件。用砂輪圓弧部分的圓周角φ記錄砂輪薄片的位置，砂輪薄片在平面x2o2y2中的投影用參數(shù)方程(橢圓方程)表示為

其中，θ是這個(gè)砂輪薄片上對應(yīng)點(diǎn)的圓周角。所有砂輪投影的外部輪廓用平面曲線族的包絡(luò)方程來表示[6]：

由式(2)計(jì)算偏導(dǎo)，包絡(luò)方程(3)化簡為

對于砂輪上任意一點(diǎn)對應(yīng)的φ值，都可以由式(4)計(jì)算出它對應(yīng)的包絡(luò)角θ，將它代入式(2)中，得到包絡(luò)點(diǎn)。由式(4)和(2)聯(lián)立，所有包絡(luò)點(diǎn)的連線構(gòu)成了砂輪投影的邊緣，記作投影曲線S1。

在圖4中確定φ取值范圍。平行于z軸作砂輪圓弧的切線，切點(diǎn)B將圓弧分為AB和BC兩部分，切點(diǎn)B對應(yīng)的φ等于β。AB段的所有砂輪薄片直徑大于BC段砂輪薄片，BC段砂輪薄片的投影被AB段砂輪薄片的投影完全遮擋，砂輪AB段投影有效。因此，投影曲線S1上φ∈ [0，β]。

當(dāng)砂輪繞毛坯軸線做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，砂輪在主視圖中的投影曲線S1的形狀始終不變。整個(gè)加工過程，從投影圖上來看，就是曲線S1繞圓點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)。

3 利用相對運(yùn)動(dòng)將設(shè)計(jì)變量參數(shù)化

為了滿足芯厚和前角的條件，以上第1步確定了砂輪和鉆頭相對運(yùn)動(dòng)的軌跡。這時(shí)，設(shè)定砂輪固定不動(dòng)，鉆頭的中心沿投影曲線S1的等距曲線S2運(yùn)動(dòng)，保證芯厚不變。

投影曲線S1的等距曲線用微分幾何計(jì)算[6]。砂輪的中心距A和偏心距T1用變量表示。如圖4，在初始位置，在平面x2o2y2內(nèi)移動(dòng)鉆頭，這實(shí)際上是改變砂輪的中心距A和偏心距T1這兩個(gè)變量的值。用移動(dòng)后鉆頭軸線的坐標(biāo)值xm和ym記錄砂輪和鉆頭的相對位置：

在平面x2o2y2上，作曲線S1的等距曲線S2，它們之間的距離等于半芯厚rw。如果鉆頭的中心始終位于這條等距曲線S2上，這保證了砂輪和鉆頭中心之間半芯厚的關(guān)系，也就是鉆頭軸線的坐標(biāo)值xm和ym滿足曲線S2的方程。投影曲線S1用φ的參數(shù)方程表示：

為了推導(dǎo)等距曲線S2的方程，計(jì)算S1上面任意一點(diǎn)的法矢

其中，α′和α″分別表示α對變量φ的一階和二階導(dǎo)數(shù)。等距曲線S2用矢量表示

鉆頭中心的坐標(biāo)值xm和ym滿足式(8)，寫成坐標(biāo)分量形式

將式(5)代入式(9)

由式(6)求導(dǎo)數(shù)，得到αx，αy，nx，ny的解析表達(dá)式。

任意給定φ值，由式(10)即可確定中心距A和偏心距T1。中心距的初值A(chǔ)＝r＋rw，偏心距的初值T1＝0，即式(10)φ＝0的情況，它是滿足芯厚條件的初始解。

4 滿足給定徑向前角γ0

徑向前角γ由螺旋槽在外緣轉(zhuǎn)點(diǎn)處的切線，用數(shù)值求導(dǎo)的方法得到。大量的數(shù)值計(jì)算表明，當(dāng)鉆頭的中心在圖4中的第4象限變化時(shí)，徑向前角γ為正值。以φ作為變量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)f(φ)：

其中，γ0是給定的徑向前角。如圖5所示，φ∈[0，β]是目標(biāo)函數(shù)f(φ)的一個(gè)單峰區(qū)間。采用一維優(yōu)化中常用的0.618法求解，計(jì)算流程見文獻(xiàn)[7]。

圖5 目標(biāo)函數(shù)f(φ)Fig.5 Merit function f(φ)

5 實(shí) 例

上述算法適用于帶圓弧的直圓柱砂輪(圖6)。鉆頭和砂輪尺寸見表1。設(shè)定初始的安裝位置，選取砂輪后端，圓弧部分的最大直徑作為大圓Q，將Q的圓心o2放置于毛坯軸線的正上方。由式(11)一維搜索得到參數(shù)φ，唯一確定中心距A和偏心距T1。螺旋槽的橫截面曲線計(jì)算采用直接法[3]。螺旋槽的加工軌跡如圖7(a)，實(shí)際加工出的螺旋槽輪廓如圖7(b)。

圖6 直圓柱砂輪Fig.6 Cylindrical grinding wheel

表1 鉆頭和砂輪尺寸Tab.1 Dimensions of drill and grinding wheel mm

圖7 加工軌跡和橫截面輪廓Fig.7 Machining locus and cross－sectional profile

數(shù)值迭代值見表2。實(shí)際加工出的鉆頭和計(jì)算結(jié)果的比較見表3。程序迭代20次，達(dá)到ε＝10－6收斂精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，加工試件的芯厚和徑向前角測量數(shù)據(jù)和設(shè)定值的誤差小于2%。

表2 數(shù)值迭代值Tab.2 Iterative data

表3 鉆頭的設(shè)計(jì)值和測量值對比Tab.3 Comparison of the calculated data for the samples manufactured

6 結(jié) 論

(1)自動(dòng)搜索確定砂輪安裝位置，為麻花鉆數(shù)控加工提供一種實(shí)用而且精確的方法。

(2)將砂輪安裝位置的調(diào)整，看成在橫截面投影曲線上鉆頭的相對運(yùn)動(dòng)，問題解決的策略是推導(dǎo)等芯厚的解析表達(dá)式，將同時(shí)滿足芯厚和前角的條件分步完成。

(3)實(shí)際加工的溝槽橫截面數(shù)據(jù)的測量和計(jì)算結(jié)果誤差小于2%，證明方法有效。算法可直接應(yīng)用于鉆頭開槽機(jī)的軟件設(shè)計(jì)。

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