侯曉麗 ,邵誠,李永鳳

(1.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河南 鄭州 450002；2.大連理工大學(xué) 電信學(xué)院,遼寧 大連 116085)

時滯現(xiàn)象存在于許多實際系統(tǒng)，如生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、化工系統(tǒng)、物理系統(tǒng)，電力系統(tǒng)等，時滯的存在有時會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，或使得系統(tǒng)的性能下降。近年來，對具有輸入時滯和狀態(tài)時滯的線性系統(tǒng)的魯棒控制及H∞控制已有大量的研究成果[1-10]，其中很多文獻(xiàn)要求系統(tǒng)是能控的且時滯依賴的結(jié)果大都要求時滯的導(dǎo)數(shù)小于1,但在很多實際系統(tǒng)中,可能無法預(yù)知時滯參數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況, 如遙操作系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時滯參數(shù)變化很快, 有時時滯參數(shù)的導(dǎo)數(shù)甚至可能不存在, 這時已有方法就不適用了。有的結(jié)果對時滯導(dǎo)數(shù)沒有限制，如鄭敏等[11]對一類狀態(tài)及輸入具有區(qū)間變時滯的線性系統(tǒng)，基于時滯劃分形式的泛函，討論系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題；王新梅等[12]利用一個積分等式，給出了一類區(qū)間時變輸入時滯與狀態(tài)時滯線性系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)等，但結(jié)果有一定的保守性。

對沒有不確定性和外擾的系統(tǒng)，結(jié)合自由權(quán)矩陣技巧，不經(jīng)過任何不等式放縮，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理，得到了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的時滯依賴充分性條件，且對時滯的導(dǎo)數(shù)沒有任何限制，解決了穩(wěn)定性問題中保守性產(chǎn)生的根源。然后把該方法用于不確定系統(tǒng)，研究其魯棒控制與H∞控制。

1 系統(tǒng)描述及主要結(jié)果

考慮具有如下形式的不確定時滯系統(tǒng)：

(1)

假設(shè)參數(shù)不確定性為范數(shù)有界的，即存在適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣E、G1、G2、G3、G4，使得

式中：F(t)∈Ri×j為未知的時變函數(shù)矩陣，其元素為可測的且滿足FT(t)F(t)≤I?t。

引理[10]假定存在適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣M、N和正定對稱矩陣R、Q，對任意滿足FTF≤R的F有Q+MFN+NTFTMT<0成立等價于存在標(biāo)量λ>0使得Q+λMMT+λ-1NTRN<0成立。

目的是設(shè)計狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)，使得從外部擾動輸入ω(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)Tωz小于給定的正數(shù)γ。

先考慮沒有不確定性的系統(tǒng)：

(2)

定理1 對系統(tǒng)(2)，在狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對稱矩陣P,Qi(i=1、2、3、4)，適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣Ni(i=1、2、3、4)和Mi(i=1、2、3)，使得下述不等式成立，則其是漸近穩(wěn)定的:

(9)

其中，

證明：把狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)代入系統(tǒng)(2)可得

取泛函:

則對V沿系統(tǒng)(2)對t求導(dǎo)，得

ri)Qix(t-ri)=2xTP(A0+B1K)x(t)+

2xTPA1x(t-τ1(t))+2xTPB2Kx(t-τ2(t))+

令

由Lyapunov穩(wěn)定性定理知，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證畢。

整個證明過程可以看到?jīng)]有任何不等式放縮，所以結(jié)果沒有任何保守性。對時滯的導(dǎo)數(shù)沒有任何限制，適合快變與慢變系統(tǒng),且結(jié)果是時滯依賴的，與時變時滯的上下界有關(guān)。

對添加等式中的項數(shù)可根據(jù)需要而定。比如若系統(tǒng)中沒有時滯項，則添加等式的方括號中可只選第一項和最后一項，其他項可以不要。

對含有不確定性的系統(tǒng)

(3)

同理可得下面的定理。

定理2 對系統(tǒng)(3)，在狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對稱矩陣P,Qi(i=1,2,3,4)，適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣N0和Mi(i=1,2,3)，以及正數(shù)εi、ai、bi、ci、di(i=1,2,3,4)，使得下述不等式成立，則系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的:

其中,

證明：與定理1的證明類似，添加等式:

令

由引理1，結(jié)論即可得證。

下面考慮不確定時滯系統(tǒng)的H∞控制：

定理3 對系統(tǒng)(1)，在狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對稱矩陣P,Qi(i=1,2,3,4)，適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣N0和Mi(i=1,2,3)，以及正數(shù)εi,ai,bi,ci,di(i=1,2,3,4)，使得下述不等式成立:

T=

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定，且從外部擾動輸入ω(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)Tωz小于給定的正數(shù)γ。其中,

2 數(shù)值算例

例1 考慮如下系統(tǒng):

其中，

可見定理1的方法所得結(jié)果更好。

例2 考慮線性不確定時滯系統(tǒng):

其中,

表1 性能指標(biāo)與控制增益與其他文獻(xiàn)對比結(jié)果

3 結(jié)束語

利用自由權(quán)矩陣技巧，研究了具有時變輸入時滯與狀態(tài)時滯的不確定系統(tǒng)的魯棒H∞控制，所得結(jié)果是時滯依賴的，與時變時滯的上下界有關(guān)。從定理1的證明可以看出，沒有任何不等式的放縮，所以定理1的結(jié)果沒有任何保守性,且所設(shè)計的Lyapunov泛函簡單，對時滯的導(dǎo)數(shù)也沒有限制。

參考文獻(xiàn)：

[1]CHOI H H, CHUNG M J. Memory less stabilization of uncertain dynamic systems with time varying delayed state and control[J]. Automatic, 1995, 31(9): 1349-1351.

[2]KIM J H, JEUNG E T, PARK H B. Robust control for parameter uncertain delay systems in state and control input[J]. Automatic, 1996, 32(9): 1337-1339.

[3]HAN Q L, MEHDI D. Comments on robust control for parameter uncertain delay systems in state and control input[J]. Automatic, 1998, 32(12) : 1665-1666.

[4]LEE Y S, MOON Y S, KWON W H. Delay dependent robust H∞control for uncertain systems with a state delay[J]. Automatic, 2004, 40:65-72.

[5]FRIDMAN U A.Descriptor system approach to H∞control of linear time delay system[J].IEEE Transactions on Automatic control,2002, 47: 253-270.

[6]李永釗,吳保衛(wèi).帶狀態(tài)時滯和輸入時滯的非線性系統(tǒng)的魯棒H∞控制[J].河南師范大學(xué)學(xué)報,2010,38(2):2-7.

LI Yongzhao, WU Baowei. Robust H∞control for nonlinear system with input time delay and state delay[J].Journal of Henan Normal University,2010,38(2):2-7.

[7]ZHOU Shaosheng, WEI Xingzheng. Robust H∞control of delayed singular systems with linear fractional parametric uncertainties[J].Journal of the Franklin Institute, 2009, 346: 147-158.

[8]FANG Wei. Delay dependent robust H∞control f or uncertain singular systems with state delay[J].Act Automatic Sinica, 2009, 35: 65-70.

[9]ZHANG Xianming, HAN Qinglong. Robust H∞filtering for a class of uncertain linear systems with time varying delay[J]. Automatica,2008, 44: 157-166.

[10]FRIDAM E, SHAKED U. Delay dependent stability and H∞control: Constant and time varying delays[J].Int J of Control, 2003, 76(9) : 48-60.

[11]鄭敏,費(fèi)樹岷.一類狀態(tài)及輸入均有區(qū)間變時滯的線性系統(tǒng)之鎮(zhèn)定[J].控制理論與應(yīng)用,2008,25(5):956-958.

ZHENG Min, FEI Shumin. Stabilization for linear system with input time delay and state delay[J].Control Theory and Application, 2008,25(5):956-958.

[12]王新梅,裴海龍.一類區(qū)間時變輸入時滯與狀態(tài)時滯線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究[J].控制與決策,2009,24(10):1549-1554.

WANG Xinmei,PEI Hailong. Stability research for linear system with input time delay and state delay[J]. Control and Decision, 2009,24(10):1549-1554.