戚 壯，李 芾，黃運(yùn)華，虞大聯(lián)

(1.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031;2.南車青島四方股份 國家工程實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266111)

作為二系懸掛裝置，空氣彈簧目前已廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代高速列車上。由于空氣彈簧是一個(gè)多物理變量的非線性系統(tǒng)，如何在高速列車動(dòng)力學(xué)計(jì)算中建立空氣彈簧模型，已成為國內(nèi)外學(xué)者研究的焦點(diǎn)。

Oda等［1］利用“彈性支撐阻尼”系統(tǒng)建立了適用于更寬頻域范圍的“Nishimura”模型，但是該模型并沒有考慮氣體在管路中的慣性效應(yīng)。Krettek等［2］基于流體力學(xué)與氣動(dòng)力學(xué)原理，簡化了空氣彈簧的計(jì)算公式，建立了空氣彈簧非線性氣動(dòng)模型。Nieto等［3－5］基于空氣熱動(dòng)力學(xué)原理，對(duì)橡膠氣囊、附加空氣室、節(jié)流孔和其間的連接管路分別進(jìn)行建模，再將其用統(tǒng)一的微分方程組進(jìn)行描述。這類模型考慮了空氣彈簧內(nèi)部氣體的運(yùn)動(dòng)特性以及溫度、壓強(qiáng)的變化對(duì)空氣彈簧動(dòng)態(tài)特性的影響，可稱為空氣彈簧的完全模型。

我國將空氣彈簧廣泛應(yīng)用于軌道車輛只有20多年的時(shí)間［6］，但已有諸多學(xué)者對(duì)空氣彈簧的建模方法進(jìn)行了卓有成效的研究。李芾等［7］基于熱力學(xué)及流體力學(xué)理論，推導(dǎo)了空氣彈簧物理模型的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達(dá)式。張廣世等［8］基于SIMULINK平臺(tái)，建立了帶有連接管路的空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型。張利國等［9］對(duì)空氣彈簧的現(xiàn)狀及其發(fā)展作了綜述性總結(jié)。王家勝等［10］對(duì)空氣彈簧的動(dòng)剛度進(jìn)行了線性化研究。但是，在國內(nèi)大部分高速列車動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，空氣彈簧仍采用線性模型［11］。

綜上所述，高速列車動(dòng)力學(xué)計(jì)算中空氣彈簧的建模方法主要分為三類:線性模型、非線性模型和完全模型。這三類模型對(duì)動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果有何影響，正是以下研究的主要內(nèi)容。

1 空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型

1.1 線性模型

線性模型是將空氣彈簧的動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼等效為一個(gè)鋼彈簧并聯(lián)一個(gè)阻尼器，如圖1所示，其中鋼彈簧的等效剛度Ke與阻尼器的等效阻尼Ce均為定值，由空氣彈簧的動(dòng)剛度試驗(yàn)確定。由于線性模型建模簡便、參數(shù)直觀、計(jì)算速度快，該模型目前廣泛應(yīng)用于高速列車的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中。

圖1 空氣彈簧線性模型Fig.1 The linear model of air spring

圖2 空氣彈簧振動(dòng)特性曲線Fig.2 The vibration character curve of air spring

空氣彈簧線性模型中的等效剛度Ke與等效阻尼Ce需要對(duì)空氣彈簧進(jìn)行動(dòng)剛度試驗(yàn)確定。根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)［12］對(duì)空氣彈簧進(jìn)行動(dòng)剛度試驗(yàn)。在空氣彈簧上面放置一個(gè)摩擦力極小并作垂直方向?qū)虻某渝N，該秤錘的質(zhì)量m要使空氣彈簧內(nèi)壓力達(dá)到空氣彈簧正常使用時(shí)的要求。在空氣彈簧底部施加頻率為0.5－5 Hz，振幅為3 mm的簡諧振動(dòng)，測量空氣彈簧上秤錘的垂向振幅，并以加振頻率為x軸，秤錘振幅與加振振幅的比(傳遞倍率)為y軸，得到某次試驗(yàn)中空氣彈簧的振動(dòng)特性曲線如圖2所示。

根據(jù)振動(dòng)特性曲線，可以得到該空氣彈簧的共振點(diǎn)。共振點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)共振頻率fn，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)共振倍率μ。則其等效剛度Ke和等效阻尼Ce分別由下式進(jìn)行計(jì)算［12］:

式中，π為圓周率常數(shù)。

1.2 非線性模型

基于流體力學(xué)和氣動(dòng)力學(xué)原理，可以建立描述空氣彈簧內(nèi)部氣體運(yùn)動(dòng)的微分方程組，從而建立空氣彈簧的非線性模型［2，7］。非線性模型將橡膠氣囊與附加空氣室中氣體的熱動(dòng)力學(xué)變化過程視為等熵過程，滿足氣體的多變過程方程:

式中:i=b時(shí)，表示橡膠氣囊，i=t時(shí)，表示附加空氣室;0為表示某一物理量的初始狀態(tài);pi為橡膠氣囊或附加空氣室內(nèi)部壓強(qiáng)(Pa);Vi為橡膠氣囊或附加空氣室容積(m3);n為氣體的多變指數(shù)，在絕熱過程中取1.4。

將橡膠氣囊與附加空氣室內(nèi)部的氣動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行聯(lián)立，并將微分方程線性化，可得到橡膠氣囊內(nèi)部壓強(qiáng)的表達(dá)式為:

式中:Ae為空氣彈簧的有效面積(m2);A為橡膠氣囊與附加空氣室之間連接管路的截面積(m2);x為連接管路中氣體的位移(m);z為空氣彈簧上下表面的距離(m)。

橡膠氣囊與附加空氣室之間連接管路中的氣體視為恒定質(zhì)量塊在管路中的運(yùn)動(dòng)，考慮氣體的慣性效應(yīng)和氣體與管壁的摩擦損耗，基于流體力學(xué)公式，可得到管內(nèi)氣體的運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:mp為管內(nèi)氣體的質(zhì)量(kg);ρ為管內(nèi)氣體的密度(kg/m3);λ為沿程阻力系數(shù);ζ為局部阻力系數(shù);L為連接管路長度(m);d為連接管路內(nèi)徑(m)。

考慮到橡膠氣囊自身具有的阻尼作用，其對(duì)車體的支撐力以及對(duì)構(gòu)架的反力F的表達(dá)式為:

式中:p0為大氣壓強(qiáng)(Pa);Cb為橡膠氣囊自身阻尼(N·s/m)。

此外，對(duì)于應(yīng)急橡膠堆，當(dāng)空氣彈簧的上下表面沒有貼靠時(shí)，即z＞0時(shí)，由于其剛度遠(yuǎn)大于空氣彈簧的剛度，可認(rèn)為應(yīng)急橡膠堆不起作用;當(dāng)空氣彈簧的上下表面開始貼靠時(shí)，即z=0時(shí)，可將應(yīng)急橡膠堆視為剛度Kr與阻尼 Cr并聯(lián)的線性力元。因此，聯(lián)立式(4)－(6)，即可建立如圖3所示的空氣彈簧的非線性模型。

圖3 空氣彈簧非線性模型Fig.3 The non-linear model of air spring

1.3 完全模型

完全模型需要對(duì)空氣彈簧懸掛系統(tǒng)的各個(gè)部件分別進(jìn)行建模［3－5］，其中包括橡膠氣囊、附加空氣室、節(jié)流孔、高度調(diào)整閥、差壓閥等。描述橡膠氣囊和附加空氣室的數(shù)學(xué)方程可參考(4)式。基于空氣動(dòng)力學(xué)原理，重新建立的氣體流經(jīng)節(jié)流孔的運(yùn)動(dòng)方程如下式:

式中:Pcr為氣體的臨界壓力比，用來判斷氣體的流速是否大于聲速;pd，pu為分別為節(jié)流孔下游和上游的絕對(duì)壓強(qiáng)(Pa);Tu為節(jié)流孔上游溫度(K);μ為流量系數(shù)，一般μ＜1，由試驗(yàn)確定;A為節(jié)流孔面積(m2);R為理想氣體常數(shù)，一般取287.1 J/(kg·K);k為氣體的比熱比，一般取1.4;q為氣體流經(jīng)節(jié)流孔的流量(kg/s)。

當(dāng)車體高度超出高度調(diào)整閥的無感區(qū)后，高度調(diào)整閥在一定的延遲時(shí)間后打開，對(duì)橡膠氣囊進(jìn)行充氣或放氣，以調(diào)整車體高度。根據(jù)高度調(diào)整閥的動(dòng)作特性，其數(shù)學(xué)模型可等效為一個(gè)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如下式:

式中:G(s)為高度調(diào)整閥模型的傳遞函數(shù);s為拉普拉斯變換后的變量;ω，、ζ為高度調(diào)整閥模型中的參數(shù)。

當(dāng)兩側(cè)空氣彈簧壓強(qiáng)差超出預(yù)定范圍時(shí)，差壓閥打開，氣體從高壓側(cè)流向低壓側(cè)，以保證車輛的運(yùn)行安全。差壓閥的數(shù)學(xué)方程可表示為:

式中:pg為差壓閥預(yù)先設(shè)定的壓強(qiáng)差(Pa);pd，pu為分別為差壓閥下游和上游的絕對(duì)壓強(qiáng)(Pa);M·為氣體流經(jīng)差壓閥的流量(kg/s)，可通過(7)式計(jì)算。

此外，完全模型還考慮了空氣彈簧內(nèi)部氣體與外界的熱量交換，其交換熱量按照下式計(jì)算:

式中:i為表示空氣彈簧的不同部分，i=b時(shí)，表示橡膠氣囊;i=t時(shí)，表示附加空氣室;i=p時(shí)，表示連接管路;Qi為內(nèi)部氣體與外界的熱交換功率(W);γi為不同位置的導(dǎo)熱系數(shù)(W/(m.K));Si為不同位置的熱交換面積(m2);Ti為不同位置的溫度(K);Ta為外界大氣溫度(K);εi為管壁、氣囊或附加氣室壁的法向厚度(m);

將式(7)～式(10)與式(4)和式(6)聯(lián)立，即可建立空氣彈簧的完全模型。由于完全模型涉及的物理量較多，可在AMESim平臺(tái)上構(gòu)建，如圖4所示。

圖4 空氣彈簧完全模型Fig.4 The complete model of air spring

2 準(zhǔn)靜態(tài)動(dòng)力學(xué)特性

2.1 激振載荷的確定

為了便于對(duì)比，計(jì)算中均以某型動(dòng)車組及其空氣彈簧為算例，該型車空氣彈簧主要結(jié)構(gòu)參數(shù)與車輛主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)見表1。

表1 數(shù)值計(jì)算中的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of numerical calculation

為了確定在準(zhǔn)靜態(tài)動(dòng)力學(xué)特性分析中對(duì)空氣彈簧施加的激振載荷，首先以傳統(tǒng)方法對(duì)該型高速動(dòng)車組進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算。在仿真中設(shè)定，軌道譜為京津高鐵實(shí)測軌道譜，車輛在40 s內(nèi)以350 km/h的速度在平直線路上作勻速運(yùn)動(dòng)。在計(jì)算結(jié)果中，取出車體與構(gòu)架之間在空氣彈簧處相對(duì)位移的時(shí)間歷程，如圖5(a)所示。該相對(duì)位移即可視為高速列車在運(yùn)行的過程中對(duì)空氣彈簧的激勵(lì)。由激振的時(shí)間歷程可知，對(duì)空氣彈簧的激振幅值大部分集中于3 mm左右。對(duì)激振的時(shí)間歷程進(jìn)行快速傅立葉變換，如圖5(b)所示，激振頻率主要集中在1 Hz左右。因此，在準(zhǔn)靜態(tài)動(dòng)力學(xué)特性分析中，選取振幅為3 mm，頻率為1 Hz的正弦波作為空氣彈簧的激振。

圖5 空氣彈簧激振的時(shí)間歷程及快速傅里葉變換Fig.5 The time history of excitation to the air spring and its Fourier transformation

2.2 準(zhǔn)靜態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真

將空氣彈簧的上表面固定，并預(yù)加載車體對(duì)空氣彈簧的靜態(tài)壓力。對(duì)空氣彈簧的下部施加振幅為3 mm，頻率為1 Hz的正弦激勵(lì)，測量空氣彈簧上表面對(duì)車體支撐力的變化。三種模型的力—位移回滯曲線如圖6所示。

圖6 三種空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型的回滯曲線Fig.6 The hysteresis curves of the three dynamic models of air spring

由該回滯曲線可以看出，線性模型的回滯曲線呈橢圓形，且包圍了更大的面積，說明線性模型具有較高的阻尼特性。非線性模型和完全模型回滯曲線的形狀較相似，與線性模型的橢圓形回滯曲線相比，前兩者模型回滯曲線的兩端較尖扁。這體現(xiàn)了空氣彈簧的非線性特性。因此，在準(zhǔn)靜態(tài)仿真中已可以看出這三種空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型動(dòng)態(tài)特性的差異，但是這些差異究竟會(huì)對(duì)高速列車的動(dòng)力學(xué)計(jì)算產(chǎn)生何種影響，還需要在整車動(dòng)力學(xué)計(jì)算中進(jìn)行探究。

3 整車動(dòng)力學(xué)性能研究

將三種空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型引入前述高速動(dòng)車組的整車動(dòng)力學(xué)模型中，根據(jù)《高速動(dòng)車組整車試驗(yàn)規(guī)范》［13］對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算，以研究在不同空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型下高速動(dòng)車組的動(dòng)力學(xué)性能。

3.1 車輛運(yùn)行安全性的計(jì)算

首先計(jì)算在三種空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型下高速動(dòng)車組通過曲線時(shí)的運(yùn)行安全性。設(shè)定車輛通過的曲線半徑為7 000 m，緩和曲線的長度為670 m，曲線超高為150 mm，軌道不平順激勵(lì)為京津城際高鐵軌道譜。計(jì)算車輛以不同的速度通過該曲線時(shí)，輪軌垂向力、輪軸橫向力、脫軌系數(shù)、輪重減載率和傾覆系數(shù)最大值，如圖7所示。

由圖7的計(jì)算結(jié)果可以看出，三種模型計(jì)算出的車輛運(yùn)行安全性指標(biāo)基本一致。以完全模型為參照，非線性模型與線性模型相比于完全模型在各種速度級(jí)下的最大相對(duì)誤差如圖8所示。由相對(duì)誤差的對(duì)比可得到以下結(jié)論:相比于線性模型，非線性模型與完全模型的運(yùn)行安全性計(jì)算結(jié)果更為接近;在幾項(xiàng)安全性指標(biāo)中，輪重減載率與傾覆系數(shù)的相對(duì)誤差較大，這是因?yàn)檐圀w的偏載導(dǎo)致空氣彈簧內(nèi)部壓強(qiáng)的變化，從而引起空氣彈簧動(dòng)態(tài)剛度的變化，而線性模型的剛度始終為定值;雖然線性模型相比于非線性模型計(jì)算誤差稍大，但其與完全模型的計(jì)算誤差仍在4%以內(nèi)，這是由于二系懸掛特性的差異對(duì)輪軌作用力的影響相對(duì)較小。因此，用線性模型與非線性模型計(jì)算高速列車的運(yùn)行安全性，可以滿足工程要求。

圖7 三種模型的車輛運(yùn)行安全性指標(biāo)Fig.7 The vehicle safety index of the three dynamic models of air spring

圖8 非線性模型、線性模型與完全模型相比的相對(duì)誤差Fig.8 The relative error of non-linear and linear models compared to complete model

3.2 車輛運(yùn)行平穩(wěn)性的計(jì)算

在直線工況下計(jì)算車輛的運(yùn)行平穩(wěn)性，軌道激勵(lì)仍采用京津城際高鐵軌道譜。平穩(wěn)性計(jì)算結(jié)果主要包括車體橫向、垂向加速度的最大值以及車體的垂向、橫向平穩(wěn)性。在車體前轉(zhuǎn)向架中心地板面上設(shè)置加速度計(jì)，在計(jì)算結(jié)果中輸出每步積分的加速度值。車體的平穩(wěn)性按照下式計(jì)算:

式中W、A、f和F(f)的具體定義詳見文獻(xiàn)［13］。平穩(wěn)性指標(biāo)越小，說明車體的振動(dòng)越小，標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的1級(jí)平穩(wěn)性指標(biāo)應(yīng)小于2.5。在不同速度下計(jì)算出的車輛各項(xiàng)平穩(wěn)性指標(biāo)如圖9所示。

由車輛運(yùn)行平穩(wěn)性的計(jì)算結(jié)果可以得出以下結(jié)論:車體橫向加速度與橫向平穩(wěn)性在三種模型下計(jì)算結(jié)果基本一致，這是由于三種模型均假設(shè)空氣彈簧的垂向剛度與水平剛度沒有耦合性;車體垂向加速度與垂向平穩(wěn)性在三種模型下的計(jì)算結(jié)果誤差較大，這是由于三種模型動(dòng)態(tài)特性的差異對(duì)車體垂向振動(dòng)的影響較大;對(duì)于車體垂向加速度與垂向平穩(wěn)性，完全模型與非線性模型在250－350 km/h速度級(jí)之間具有非線性特性，而線性模型的指標(biāo)隨車速的變化基本呈線性變化。因此，在高速列車動(dòng)力學(xué)中計(jì)算車體垂向平穩(wěn)性，應(yīng)用線性模型對(duì)空氣彈簧進(jìn)行建模會(huì)與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的差異。

將三種空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型在整車模型下仿真的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行對(duì)比。整車仿真時(shí)間設(shè)定為40 s，積分步長設(shè)置為0.005 s，計(jì)算機(jī)CPU為2.93 GHz的雙核奔騰處理器，三種模型在某一工況下的仿真時(shí)間對(duì)比如表1所示。由三種模型的計(jì)算耗時(shí)對(duì)比可知，線性模型的計(jì)算速度最快，非線性模型稍慢，而完全模型的計(jì)算時(shí)間是前兩者的2.5倍左右。由此可知，在高速列車的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，雖然完全模型的計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確，但其計(jì)算速度較慢，且涉及的物理參量較多，不易確定;線性模型的計(jì)算速度較快，但不能體現(xiàn)空氣彈簧的非線性特性;而非線性模型的計(jì)算速度和線性模型基本相同，且計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。因此，在高速列車的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中建議采用非線性模型對(duì)空氣彈簧進(jìn)行建模。

圖9 三種模型的車輛運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)性Fig.9 The vehicle ride comfort index of three dynamic models of air spring

表2 三種模型的仿真計(jì)算時(shí)間對(duì)比Tab.2 The simulation time of the three models

4 結(jié)論

首先建立了三種空氣彈簧動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，包括線性模型、非線性模型和完全模型。以車輛動(dòng)力學(xué)的仿真結(jié)果對(duì)空氣彈簧施加激勵(lì)，對(duì)三種模型進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)仿真，研究了三種模型動(dòng)態(tài)特性的差異。最后將三種模型引入高速動(dòng)車組的整車動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，以不同的空氣彈簧建模方法對(duì)高速動(dòng)車組進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析。通過上述研究，主要可以得出以下結(jié)論:

(1)在準(zhǔn)靜態(tài)仿真中，非線性模型與完全模型的回滯曲線較接近，其二者回滯曲線兩端較尖扁，體現(xiàn)了空氣彈簧的非線性特性，而線性模型的回滯曲線呈橢圓形且阻尼特性較高;

(2)在整車動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，三種模型計(jì)算的車輛運(yùn)行安全性指標(biāo)差異不大，非線性模型與完全模型的相對(duì)誤差在2%以內(nèi)，線性模型與完全模型的相對(duì)誤差在4%以內(nèi);

(3)三種模型對(duì)車輛的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)影響較大，完全模型和非線性模型在250 km/h－300 km/h速度級(jí)間會(huì)呈現(xiàn)非線性特性，而線性模型的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)呈線性變化;

(4)考慮到三種模型的計(jì)算速度，非線性模型與線性模型的計(jì)算速度相差不大，且比完全模型快2.5倍左右，因此在高速動(dòng)車組的動(dòng)力學(xué)工程計(jì)算中建議采用非線性模型。

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