黃康，王昭，邱明明

(合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院，安徽合肥230009)

流量脈動的均勻性是泵的一項重要的品質，過大的流量脈動，直接影響到液壓系統(tǒng)的平穩(wěn)性，同時也會產生壓力脈動，進而導致系統(tǒng)振動、噪聲的產生。因此，在泵的設計過程中，必須對其流量脈動特性進行分析，并將流量脈動小作為一項重要指標加以考慮。多齒差擺線齒輪具有結構緊湊、排量大、流量脈動小等優(yōu)點，從而廣泛應用于化工、機械等行業(yè)中。

在擺線泵輪齒成形及嚙合基本原理的研究中，Daniele VECCHIATO［1］利用包絡線法研究了擺線輪的成形原理并利用計算機輔助方法設計齒輪泵;在對多齒差擺線齒輪泵的流量脈動的研究中，徐學忠［2］根據擺線齒輪泵的嚙合原理，推導了多齒差擺線齒輪泵流量和流量脈動的理論計算公式，得出了影響流量脈動大小的主要因素是嚙合點距節(jié)點的距離的結論;伍迪等人［3］通過取不同的k、h值，獲得了這兩個系數與流量脈動系數之間的關系圖，通過取不同的ka、kf值，獲得了這兩個系數與流量脈動之間的關系圖，在以上基礎上，確定各參數對流量脈動的影響程度。

以上關于擺線泵流量脈動研究的文獻僅從理論上建立抽象的數學模型，給出了流量脈動系數的計算方法，并沒有從細節(jié)上對具體的計算方法進行分析，因此無法滿足工程實際的需要。關于利用正交試驗法研究擺線泵各參數對流量脈動的影響程度，目前尚未見有文獻對此進行研究。

以下著重對多齒差擺線齒輪泵的流量脈動系數的計算方法做了詳細分析，通過五因素二次回歸正交試驗方法安排了一組試驗，按照所提出的計算方法實施該組試驗，最終通過回歸方法對結果進行處理，獲得擺線、圓弧齒輪各參數對不均勻系數影響的顯著性程度。

1 基本參數與幾何尺寸

多齒差擺線齒輪泵的基本幾何參數有擺線齒輪齒數z1，圓弧齒輪齒數z2，創(chuàng)成系數k，弧徑系數h，頂徑系數kf，根徑系數ka，中心距a，擺線、圓弧齒輪的節(jié)圓半徑r1、r2，擺線齒輪齒頂圓與齒根圓半徑ra1、rf1，圓弧齒輪齒頂圓及齒根圓半徑ra2、rf2。

2 流量脈動系數的計算

2.1 研究思路

2.1.1 嚙合線的研究

以內轉子回轉中心O1為原點建立固定坐標系SS，同時建立與內轉子固連的動坐標系S1，以內轉子回轉中心O2為原點，建立與之固連的動坐標系S2，根據短幅外擺線等距曲線的成形原理，以及坐標轉換可得多齒差擺線齒廓方程的矢量表達式:

由于內外轉子是定傳動比傳動，則內轉子轉角φ1與外轉子轉角φ2之間具有如下關系:

在式 (1)中，θ為外轉子圓弧齒廓圓心C與O2構成的直線O2C與擺線法線PC之間的夾角，根據幾何關系可得:

將式 (2)、(3)代入式 (1)得:

嚙合點M在固定坐標系Ss中的軌跡即為內外轉子的實際嚙合線，通過坐標變換法可得，嚙合線的矢量表達式為:

2.1.2 瞬時流量的計算

齒輪泵瞬時流量的計算一般通過掃面積法，對于多齒差擺線齒輪泵，當內轉子在時間dt內轉過角度dφ1時，外轉子相應的轉角為dφ2，根據相應的關系，有:

對于齒寬為B的齒輪，根據相應的幾何關系，包圍壓油腔的齒面在時間dt內掃過的面積為:

式中:rM1，rM2分別為嚙合點M至內、外轉子中心的距離，于是，在時間dt內，從壓油腔排出的容積為:

從而得到瞬時流量的計算式:

由式 (9)可知，當泵的基本參數給定后，瞬時流量主要由嚙合點的位置所決定，于是，要研究瞬時流量的變化規(guī)律，必須從研究嚙合點位置的變化入手。

根據圖1中各元素間的關系可得

圖1 擺線泵嚙合圖

式中:s為嚙合點M與節(jié)點P之間的距離。

于是可得:

又有:

將式 (5)、(13)代入式 (12)可得:

又有:

于是有:

于是得到s的長度表達式:

化簡得:

由圖1可知，當嚙合點M與節(jié)點P重合時，s=0，則瞬時流量的最大值為:

當s取最大值smax時，瞬時流量取得最小值，即有:

2.1.3 排量的計算

將齒輪泵內轉子轉過一周所排出的液體的體積定義為泵的排量。多齒差擺線泵的排量計算需要經過復雜的數值微積分過程，不便于實際操作，故一般工程設計中采用近似計算方式:

該式計算誤差在2%～5%左右，對于多齒差擺線齒輪泵，誤差將取下限值。

2.1.4 流量脈動系數的計算

泵在單位時間內排出的液體的體積稱為平均流量，有:

式中:n1為泵內轉子的轉速，單位為r/min

泵的最大瞬時流量與最小瞬時流量間的差值與平均流量之間的比值為泵的流量脈動系數，即有:

將式 (20)、(21)、(22)代入式 (24)得:

圖2 實際嚙合線圖

由式 (25)可知，當泵的基本參數給定后，流量脈動系數的取值由s唯一確定。設一對齒進入嚙合時所對應的轉子2相位角為φ2s，退出嚙合時對應的相位角為 φ2e，圖 2給出了在轉子2的相位角由φ2s到φ2e變動過程中嚙合點的軌跡線，由該曲線可知，從開始嚙合到退出嚙合，s值遞減直至為0，再由0遞增直至退出嚙合，故smax出現在開始或退出嚙合時。求出φ2s與φ2e，然后代入式 (19)即可求出smax的值，代入式 (25)即可求出脈動系數。

根據擺線、圓弧齒輪嚙合原理，參照圖2擺線輪齒根圓與實際嚙合線在節(jié)點P下方的交點Ms即為進入嚙合時的初始嚙合點，而實際嚙合線與擺線輪齒頂圓的交點Me即為嚙合終點。而Ms、Me所對應的轉子2的相位角即為φ2s與φ2e。

列出擺線輪齒頂圓曲線及齒根圓曲線方程、嚙合線方程如下:

齒頂圓方程:

齒根圓方程

嚙合線方程:

在理論上，由方程 (26)與 (28)以及 (27)與 (28)的聯立，便可求出φ2s與φ2e，但實際操作中，由于方程的復雜性，即使使用求解軟件也不能快速得出符合要求的解，故采用作圖法求解這兩個角度，具體方法為，利用MATLAB的繪圖功能，在同一坐標系中，以φ2為變量 (設置其增量為1/10 000，保證計算精度)繪制齒頂圓、齒根圓及實際嚙合線，通過觀測齒頂、齒根圓與嚙合線實際相交時所分別對應的φ2的數值，達到求解目的。該方法操作簡單，計算精度高。

2.2 實例計算

以某DCT用齒輪泵為例，基本參數如下:

z1=8，z2=11，k=1.755 0，h=1.240 0，ka=0.750 0，kf=1.020 0，a=9，通過2.1.4所述方法方法，求得:

φ2s=0.094 0π，φ2e=0.320 0π，如圖 2 所示，Ms為一對齒進入嚙合時的起始嚙合點，Me為退出嚙合時的嚙合點，兩點之間的曲線即為一對齒從開始嚙合至退出嚙合的實際嚙合線。

根據 式 (26)，繪制 出 當 φ2在 (0.094π，0.320 0π)區(qū)間取值時，s長度變化圖及瞬時流量變化圖如圖3、4。

圖3 s長度變化圖

圖4 瞬時流量變化圖

由圖3、圖4可知，瞬時流量最大值出現在進入或退出嚙合時，當s取得最大值時，瞬時流量取得最小值。

將φ2s=0.094 0π，φ2e=0.320 0π 代入式 (25)，可求得脈動系數δq=0.065 3，即6.53%。至此，完成了給定參數的齒輪泵的流量脈動系數的計算。以上過程通過編制程序，利用MATLAB求解后，效率大幅提升。

3 正交試驗安排及顯著性分析

3.1 試驗實施

3.1.1 正交試驗安排

選取某DCT用的三齒差擺線泵作為研究對象，該泵擺線、圓弧齒輪分別為:z1=8，z2=11。影響流量脈動的因素有k、h、ka、kf、a 5個，考慮交互作用及二次項的影響，故使用五因素二次回歸正交設計法，安排一個五因素二水平1/2實施的正交試驗，其中，二水平試驗實施次數 mc=2× (5－1)=16(次);星號試驗實施次數mγ=2×5=10(次);零水平試驗實施次m0=1(次);總次數n=mc+mγ+m0=27(次)。取 x1=k，x2=h，x3=ka，x4=kf，x5=a，設計因素水平編碼表如表1。

表1 因素編碼表

表1中，γ為星號臂，具體數值通過查表確定，對于五因素二水平1/2實施以及m0=1，可查得γ=1.547;安排正交試驗，采用2.1.4所述流量脈動系數的計算方法，完成27組實驗并得出數據，通過所得數據進行計算，獲得各項的偏回歸平方和、均方差、殘差值等數據，并進行F檢驗，最終結果如表2。

表2 方差分析表

3.1.2 顯著性檢驗

在表2中，zj由xj線性變換得到，有xj與zj一一對應，SS欄所對應的是各項的偏回歸平方和，df對應自由度，MS對應各項均方差，即偏回歸平方和與自由度的比值，F則對應各項通過F檢驗后的結果，根據結果，可判斷各項的顯著性。通過F檢驗表可知，F0.01(1，6)=13.75，故對于所有的一次項、交互項、二次項中，只有一次項z1、z2、z4對流量脈動有顯著性影響，而其他項對脈動所引起的差異不具有統(tǒng)計學意義。又有F0.01(20，6)=7.4，故所建立回歸方程也非常顯著。去除不顯著項目，得到最終的回歸方程如下:

3.2 結果分析

3.2.1 影響程度分析

通過式 (29)以及方差分析表可知，因素1、2、4，即創(chuàng)成系數k、弧徑系數h、齒根圓系數kf對流量脈動影響程度最顯著，具體順序為:kf＞k≈h，k、kf的影響為負，而h的影響為正，因此，適當增加k、kf值、減少h值對降低流量脈動有利。

3.2.2 原因分析

(1)根據式 (29)，k、h的取值對排量 q無影響，故該二因素對脈動系數的影響體現在對smax取值的影響上，smax取值隨著k增大而減小，隨h增大而增大;

(2)kf影響擺線輪齒頂圓的尺寸，從而影響q值;q值隨著kf的增大而增大;又根據圖3，smax出現在嚙入點處，即kf取值不影響smax，根據式 (32)，該因素對流量脈動顯然具有負影響。smax值出現在嚙入點處是由ka的取值確定的，ka取值越大，嚙入點距離嚙合節(jié)點的距離越近，隨著該距離的縮短，再提高kf的取值，理論上可以實現smax出現在嚙出點處，但實際問題中，kf的取值范圍小，ka的取值范圍較大，上述問題一般不會出現，文中也是基于smax出現在嚙入點處進行研究的。

(3)如 (2)中所述，smax出現在嚙入時，smax隨著ka的增大而減小;ka同樣影響排量q，rf1隨ka的增大而增大，由式 (22)，q值將隨之減小;綜上，ka的增大將導致smax與q的減小，而分析結果為ka對流量脈動影響不顯著，這說明，ka的增大造成式(25)分子、分母的減小幅度大體相同，從而整體表現為流量脈動值不變。

(4)中心距a對流量脈動影響不顯著，這是由于，在流量脈動的計算過程中，a最終都可以通過化簡約去。

4 結束語

(1)提出一種通過對擺線、圓弧齒輪的嚙合原理進行分析，綜合使用MATLAB繪圖、計算功能，可以精確、快速計算出多齒差擺線齒輪泵的流量脈動系數的方法，該方法直觀、易操作、精度高，適和與工程應用。

(2)通過五因素二次回歸方法，得出了各參數對齒輪泵流量脈動系數影響程度，并進行量化，從而為工程設計中設計低流量脈動的齒輪泵提供理論依據。

【1】VECCHIATO Daniele．Geometry of a Cycloidal Pump［J］．Computer Methods in Applide Mechanics and Engineering，2001，190:2309 －2330．

【2】徐學忠．擺線泵基本參數的優(yōu)化設計［J］．液壓與氣動，2003，12:6 －7．

【3】伍迪，張有忱．多齒差擺線齒輪泵脈動系數分析［J］．西華大學學報，2008，27(5):14 －17．

【4】徐學忠．擺線轉子泵嚙合特性分析［J］．液壓與氣動，2004(10):46－48．

【5】林忠欽．應用正交試驗設計提高U形件成形精度［J］．機械工程學報，2002，38(3):83 －84．

【6】王偉，贠超．機器人機構精度綜合的正交試驗法［J］．機械工程學報，2009，45(11):18 －24．

【7】葉仲和，陳傳銘，蔡海毅．兩葉與三葉擺線型轉子泵尺寸極值的推導［J］．機械工程學報，2004，40(7):67 －70．

【8】張維光，雷新葉，張旭輝，等．圓弧擺線齒廓轉子泵嚙合齒輪的計算分析［J］．機床與液壓，2004，30(10):150－15l．

【9】何存興．液壓元件［M］．北京:機械工業(yè)出版社，1982．