高 偉

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆烏魯木齊830046)

高等數(shù)學是理工科院校各專業(yè)必修的一門重要的基礎(chǔ)課．通過本課程的學習，一方面使學生掌握高等數(shù)學的基本概念、基本理論和基本運算技能，為后繼課程和進一步獲得數(shù)學知識提供必不可少的數(shù)學基礎(chǔ)及常用的數(shù)學方法．另一方面它能逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力，能綜合運用所學知識分析和解決實際問題，對學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)和形成具有重要意義.為了實現(xiàn)上述目標和提高教學質(zhì)量，選擇一本好教材也是至關(guān)重要的．目前我校的本科學生主要用兩種高等數(shù)學教材：一種是同濟六版的高等數(shù)學，另一種是西安交通大學編的高等數(shù)學簡明教程．兩種教材都是普通高等教育‘十一五’國家級規(guī)劃教材都是經(jīng)典的優(yōu)秀教材．但兩種教材中的有一些概念在敘述與定義上有比較大的差異，甚至對同一題用不同教材的定義會得到相反的結(jié)論．我們以多元函數(shù)微分學一章為例比較如下．

1 方向?qū)?shù)定義的比較

同濟六版：設(shè)l是xOy平面上以P0(x0,y0)為始點的一條射線，el=(cosα,cosβ)是與l同方向的單位向量．射線l的參數(shù)方程為

x=x0+tcosα,y=y0+tcosβ(t≥0).

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某個鄰域U(p0)內(nèi)有定義，P(x0+tcosα,y0+tcosβ)為l上的另一點，且P∈U(P0).如果函數(shù)增量f(x0+tcosα,y0+tcosβ)-f(x0,y0)與P到P0的距離|P0P|=t的比值

西交大版：設(shè)P0(x0,y0)為xOy平面上的一個給定點，l為一非零平面向量，el=(cosα,cosβ)是與l同向的單位向量，二元函數(shù)z=f(x,y)定義在P0的某鄰域內(nèi)．若極限

用西交大版教材的定義，得

同濟版的定義的方向l用一條射線來代表，符合人們的思維習慣，P點在射線的起點P0的沿著方向的一側(cè)，這就是為什么定義中的極限是t→0+時的極限的原因，另外一個原因是在這里t代表的是P到P0的距離，也就是t≥0是單側(cè)極限．

西交大版的定義的方向l用了一條已知方向的有向直線來說明，就像數(shù)軸一樣，這時的參數(shù)t是一個有向距離(增量)，可正可負，是雙側(cè)極限．

同濟版的用單側(cè)極限的定義，我們認為主要原因之一是方向?qū)?shù)這個概念的提出就是應用的需求.例如，熱空氣要向冷的地方流動，氣象學中就要確定大氣溫度，氣壓沿著某些方向的變化率.在電學中，需要知道電場中各點沿某一方向電位的變化情況．在登山中，確定最佳路線等．人們關(guān)心的是研究對象沿某一特定方向變化的程度，而不必非得將這個方向反向沿伸而討論兩側(cè)同時逼近的情景．

西交大版的用雙側(cè)極限的定義，我們認為主要原因之一是方向?qū)?shù)從本質(zhì)上來說是函數(shù)f(x,y)在點(x,y)處沿l方向的變化率，而偏導數(shù)是研究函數(shù)f(x,y)在點P沿坐標軸的變化率問題．這樣，方向?qū)?shù)的概念與偏導數(shù)的概念沒有大的不同．而在偏導數(shù)定義時，所使用的極限都是雙側(cè)的極限．既然本質(zhì)都是變化率，那么用雙側(cè)的極限來刻畫方向?qū)?shù)也是可行的．事實上，西交大版定義就是這樣做的．這樣有一個明顯好處就是把方向?qū)?shù)與偏導數(shù)的概念同一起來了．偏導數(shù)成為方向?qū)?shù)的特例，方向?qū)?shù)是偏導數(shù)的推廣．

2 極限定義的比較

西交大版: 設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義在點P(x0,y0)∈2的某一去心鄰域中，A∈為一確定的常數(shù)．若?ε>0，?δ>0，使得當0<ρ(P,P0)<δ即時，恒有不等式|f(x,y)-A|<ε成立，則稱當(x,y)→(x0,y0)時f(x,y)有極限，常數(shù)A稱為當(x,y)→(x0,y0)的二重極限，記作

解函數(shù)的定義域為D={(x,y)|x≠0,y≠0}按同濟六版的定義(0，0)是函數(shù)的聚點，則

按西交大版的定義函數(shù)在(0,0)點沒有極限．

因為在(0,0)的任何去心鄰域內(nèi)都包含x=0與y=0的點．所以不能保證函數(shù)在(0,0)點的去心鄰域內(nèi)每一點都有定義．

3 極值定義的比較

同濟六版：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域為D，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點.若存在P0的某個鄰域U(P0)?D，使得對于該鄰域內(nèi)異于P0的任何點(x,y)，都有f(x,y)f(x0,y0)，則稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)有極小值f(x0,y0)，點(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)的極小值點.極大值，極小值統(tǒng)稱為極值．

西交大版： 設(shè)二元函數(shù)f(x,y)的定義域為D?2內(nèi)，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點若?δ>0，使當(x,y)∈U(P0,δ)時，恒有f(x,y)≤f(x0,y0)(f(x,y)≥f(x0,y0)).則稱函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)有極大(小)值f(x0,y0).點P0(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)的極大(小)值點.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

圖1

比較兩個定義會發(fā)現(xiàn)，不同點在于極值討論的范圍的差別.在西安交大版高等數(shù)學是點P0(x0,y0)的某鄰域U(P0,δ)同濟六版高等數(shù)學是點P0(x0,y0)的某去心鄰域.很顯然同濟六版高等數(shù)學對于點P0(x0,y0)只要求有定義，而在附近點與它的關(guān)系滿足嚴格的不等式即可.這樣定義方式無疑是簡潔與清晰的而且?guī)缀我饬x比較明顯(局部的峰值是極大值，局部的谷值是極小值).西安交大版高等數(shù)學討論的范圍擴大，加上P0(x0,y0)點，由于多了一點，那么條件自然就變成f(x,y)≤f(x0,y0)這樣定義比較直接，也符合人們的一般習慣.但它們的差別是明顯的.例如帳篷函數(shù)(如圖1)

在(0,0)處．按西安交大版高等數(shù)學極值的定義函數(shù)在(0,0)取極大值1.按同濟六版高等數(shù)學極值的定義函數(shù)在(0,0)不取極值．這樣同一個概念由于定義不同導致了有些函數(shù)在某些點處的極值情況有可能不同.當然，仔細比較這兩個定義會發(fā)現(xiàn)同濟六版定義的極值是西安交大版定義中的一部分.即用同濟六版極值定義驗證過的極值一定是西安交大版極值定義的極值，反之不一定.可以把同濟六版極值定義看成是狹義的，把西安交大版極值定義看成是廣義的．

4 結(jié) 論

通過對上面的不同教材中的概念的比較與分析，得到

(i) 教材是教師組織課堂教學開展教學活動的主要依據(jù)，是教師和學生實踐教學活動的主要工具.因此不管用哪種優(yōu)秀教材，教師都要全面，系統(tǒng)地閱讀教材，理解教材.準確把握教材中的概念，領(lǐng)會教材編寫的意圖.傳授給學生，才能收到良好的教學效果.

(ii) 比較兩個定義，會發(fā)現(xiàn)盡管敘述不盡相同，符號含義有所差別，這并不是說哪個教材的定義就好，就高明，就正確.而是兩個教材側(cè)重重點不同的具體反映

(iii) 在教學中，講透教材的概念后，如果時間允許，可引出其他教材對這個概念的敘述，讓學生比較細節(jié)處的不同舉例說明兩種定義的差別，在分析個自的優(yōu)缺點.指出不同的定義只是側(cè)重點的不同，并不是不正確的表述，這樣，就使學生對于這個概念的掌握更透徹更全方位.

[參 考 文 獻]

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(下冊).[M].6版.北京:高等教育出版社，2007.

[2] 王綿森，馬知恩．高等數(shù)學簡明教程(下冊).[M].北京:高等教育出版社，2010.