李新成

摘要：利用構(gòu)造函數(shù)模型的思想，討論微分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的作用，從而增加學(xué)生的解題方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，推動(dòng)學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：函數(shù)模型法；微分思想；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）33-0077-02

構(gòu)造函數(shù)模型是一種富有創(chuàng)造性的方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)散、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括、特殊化的思想。在近年高考中有不少精彩的題目，而且有些是壓軸題中經(jīng)常考查的，是高考考查的重要思想方法之一。而導(dǎo)數(shù)方法與構(gòu)造函數(shù)模型思想一旦結(jié)合起來(lái)，問(wèn)題的設(shè)計(jì)便更加廣闊，解決問(wèn)題的方法就更為簡(jiǎn)便。本文期望利用構(gòu)造函數(shù)模型的思想，以導(dǎo)數(shù)為工具探討中學(xué)數(shù)學(xué)解題的方法技巧，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一、導(dǎo)數(shù)工具有助于學(xué)生把握函數(shù)性質(zhì)

在高中階段，學(xué)生主要通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域等性質(zhì)，來(lái)理解函數(shù).函數(shù)的這些性質(zhì)都可通過(guò)圖像表示，因而，通過(guò)函數(shù)的圖像，函數(shù)的性態(tài)也容易掌握了。但是，對(duì)于非初等函數(shù)，不易作出圖像，學(xué)生就可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)，再結(jié)合描點(diǎn)法，就能大概作出函數(shù)的圖像.在直觀上提高學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的掌握。

二、微分方法與函數(shù)模型法相結(jié)合的作用

通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)作為工具，可以解決數(shù)學(xué)上用初等數(shù)學(xué)方法不能解決的許多問(wèn)題，充分發(fā)揮微分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的作用，從而提高解決問(wèn)題的能力.以導(dǎo)數(shù)作為工具，結(jié)合函數(shù)模型法思想，在不等式的證明、數(shù)列的求和問(wèn)題，以及實(shí)際問(wèn)題等方面有非常重要的作用。

1.利用結(jié)合思想可以證明不等式。在新課程的高考中，與不等式的證明等相關(guān)的問(wèn)題，包含的信息量較大.利用微分思想來(lái)證明，可以先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，使函數(shù)和不等式建立聯(lián)系.然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到單調(diào)性，使所解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值大小的問(wèn)題。

例1.證明：若x>0，則有l(wèi)n（1+x）>x-■x2.

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-（x-■x2），可求得其定義域?yàn)椋?1，+∞），可以計(jì)算得f'（x）≥0，即f（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)遞增。所以當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0，故不等式成立。

2.利用結(jié)合思想可以求實(shí)常量的取值范圍。求實(shí)常量的取值范圍是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，求實(shí)常量取值范圍的很多問(wèn)題依靠常規(guī)的方法很難處理，利用結(jié)合思想，處理起來(lái)非常方便，下面通過(guò)例子來(lái)具體說(shuō)明。

例2.若對(duì)？坌x∈R，不等式x4-4x3>2-m恒成立，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：將含參數(shù)的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最小值，方可確定出參數(shù)的范圍。

解：構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=x4-4x3，再設(shè)f'（x）=0，可求得x=0或x=3.

當(dāng)x<0時(shí)，f'（x）<0；當(dāng)03時(shí)，f'（x）>0.所以x=3時(shí)，f（x）取得極小值為-27，從而f（x）有最小值為-27，則f（x）|min=-27>2-m，故有m>29.

注：構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵。

3.利用結(jié)合思想可以解決數(shù)列問(wèn)題。通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)作為工具，可以解決學(xué)生難以掌握的、有時(shí)技巧性很高或者計(jì)算十分煩瑣的數(shù)列的和的問(wèn)題。

例3.求和：S■=C■■+2C■■+3C■■+…nC■■（n∈N*）.

解：因（1+x）n=C■■+C■■x+C■■x2+…+C■■xn，則該式兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，兩邊都對(duì)x求導(dǎo)得：n（1+x）n-1=C■■+2C■■x+3C■■x2+…+nC■■xn-1，令x=1，即得Sn=n·2n-1

4.利用結(jié)合思想可以研究方程根的情況。通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，然后用微分思想可以很容易確定方程根的問(wèn)題，具體方法為：觀察函數(shù)的圖形變化，得出函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后得出所求范圍內(nèi)方程解的個(gè)數(shù)。

例5.若a>3，則方程x3-ax2+1=0在[0，2]上有多少個(gè)根？

解：設(shè)f（x）=x3-ax2+1，求導(dǎo)可得：當(dāng)a>0，x∈（0，2）時(shí)，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，且f（0）·f（2）<0，故f（x）在[0，2]上有且只有一個(gè)根。

5.利用結(jié)合思想近似計(jì)算。由導(dǎo)數(shù)的定義知，當(dāng)Δx充分小時(shí)，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）·Δx.

例6.不查表，求sin46°的值。

解：令y=sinx，取x0=45°，x=45°+1°，代入上式即可得結(jié)論。

6.利用結(jié)合思想是學(xué)好理科其他課程的前提。微分學(xué)發(fā)展初始，就與物理、化學(xué)、生物、天文、工程以及地質(zhì)學(xué)等學(xué)科密不可分。只要涉及到變化問(wèn)題，就可以利用導(dǎo)數(shù)討論該過(guò)程的變化情況。所以，無(wú)論物理還是化學(xué)問(wèn)題都可以通過(guò)微積分的思想來(lái)解決了。

7.利用結(jié)合思想解決立體幾何中的問(wèn)題。

例7.設(shè)A，B是球面上的兩點(diǎn)，弧AmB是過(guò)A、B兩點(diǎn)的大圓的劣弧，弧AnB是過(guò)A、B兩點(diǎn)的任意小圓的弧。設(shè)小圓的半徑為r，圓心為o'；大圓的半徑為R，圓心為o，大圓面與小圓面交于A、B。求證：弧AmB<弧AnB。分析：這道題把導(dǎo)數(shù)和立體幾何的知識(shí)結(jié)合在了一起，再根據(jù)球面距離的定義，最終得證。

證明：記∠AOB=α，∠AO'B=β，則有AB=2Rsin■及AB=2rsin■.

因?yàn)镽>r，由題意sin■

現(xiàn)在只要證明Rα

故只需證明■<■=■.

為此構(gòu)造函數(shù)f（x）=■，x∈（0，π）.

因?yàn)閒'（x）<0，即f（x）在（0，π）上是減函數(shù)，結(jié)論得證。

8.建立微分模型是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵?！皩W(xué)以致用”，只有懂得數(shù)學(xué)如何去應(yīng)用，才是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的關(guān)鍵。萬(wàn)事萬(wàn)物都在變化，大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題都可通過(guò)建立微分模型來(lái)解決。具體為：翻譯實(shí)際問(wèn)題，建立微分模型，通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算，得到問(wèn)題的解決。新課程實(shí)行以來(lái)，逐漸加大了對(duì)實(shí)際問(wèn)題的考查力度，比如優(yōu)化問(wèn)題、路線問(wèn)題等，通過(guò)建立微分模型來(lái)解決非常方便。

例8.用PVC材料制作一個(gè)立方體容器，其長(zhǎng)為12m，要求容器的底面長(zhǎng)、寬差1m，當(dāng)高為多少時(shí)，容積最大？并求出Vmax.

解：設(shè)容器長(zhǎng)為xm，則寬為（x+1）m，高為（2-2x）m.

設(shè)容器的容積為Vm3，則有V=-2x3+2x2，（00；當(dāng)x∈（■，1）時(shí)，V'<0.

因此，當(dāng)x=■時(shí)，Vmax=■，這時(shí)高為■，故高為■m時(shí)容器的容積最大，最大容積為■m3.

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