陳歡歡，薛 璞，譚韶毅，謝慈航

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

結(jié)構(gòu)受到外部激勵(lì)總會(huì)產(chǎn)生不同的振動(dòng)響應(yīng)，絕大部分結(jié)構(gòu)的疲勞失效都與振動(dòng)有關(guān)，當(dāng)振動(dòng)頻率與結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率相當(dāng)時(shí)，即可視為振動(dòng)疲勞問(wèn)題.周敏亮等[1]對(duì)國(guó)內(nèi)外主要振動(dòng)疲勞分析方法進(jìn)行了歸納整理, 為飛機(jī)設(shè)計(jì)和維修提供振動(dòng)疲勞的設(shè)計(jì)與分析技術(shù)支持文獻(xiàn).在工程實(shí)際中，隨機(jī)振動(dòng)是一種相對(duì)常見(jiàn)的振動(dòng)形式，由于載荷隨時(shí)間變化的規(guī)律預(yù)先無(wú)法確定，很難用確定性的時(shí)間或空間坐標(biāo)函數(shù)描述，而只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法描述.通過(guò)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析，獲得結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度函數(shù)(Power Spectral Density，簡(jiǎn)稱PSD)，由PSD可求得應(yīng)力范圍的概率密度函數(shù)(Probability Density Function，簡(jiǎn)稱PDF)，通過(guò)PDF可求得結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)部位的疲勞累積損傷和疲勞壽命.

為了估算隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，王明珠等[2]提出了一種結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命估算的樣本法，通過(guò)該樣本法能夠處理在頻域內(nèi)基于譜密度描述的寬帶隨機(jī)振動(dòng).安剛等[3]討論了隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性分析、結(jié)構(gòu)響應(yīng)的動(dòng)應(yīng)力與常規(guī)疲勞載荷的關(guān)系，完成了用功率譜密度表示的隨機(jī)振動(dòng)載荷作用下的懸臂梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析以及疲勞壽命估計(jì).孟凡濤等[4]采用基于功率譜密度函數(shù)估算結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞的方法，分析了某型機(jī)翼在隨機(jī)振動(dòng)載荷下的強(qiáng)度特性.Roberto Tovo[5]總結(jié)了寬帶載荷激勵(lì)下疲勞損傷的預(yù)估方法，研究了頻域內(nèi)疲勞損傷與不同的載荷計(jì)數(shù)法之間的關(guān)系，并提出了一種壽命預(yù)估方法，該方法可以較準(zhǔn)確地預(yù)估寬帶及窄帶高斯載荷下的疲勞壽命.曹明紅等[6-7]研究了常見(jiàn)的寬帶隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命頻域估算方法，并且驗(yàn)證了各種頻域估算方法的適用性和估算精度.H·Y·Liou等[8]基于隨機(jī)振動(dòng)理論考慮的塑性相互損傷準(zhǔn)則，提出了一個(gè)用于估計(jì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命的修正模型.孟彩茹等[9]基于功率譜密度函數(shù)對(duì)隨機(jī)載荷下的振動(dòng)構(gòu)件進(jìn)行疲勞壽命估算，分別討論了窄帶隨機(jī)載荷和寬帶隨機(jī)載荷兩種情況.張積亭等[10]提出利用隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度求出的特征頻率作為平均頻率，在求解疲勞損傷量時(shí)比較方便.

結(jié)構(gòu)處于寬頻隨機(jī)載荷環(huán)境中時(shí)，激勵(lì)帶寬內(nèi)將包含結(jié)構(gòu)的多階固有頻率，很可能會(huì)激起結(jié)構(gòu)多階共振響應(yīng).由于高階響應(yīng)應(yīng)力的參與，結(jié)構(gòu)局部區(qū)域的動(dòng)應(yīng)力會(huì)急劇增加，可能會(huì)瞬間引起結(jié)構(gòu)發(fā)生裂紋或失效.工程分析中，通常認(rèn)為振動(dòng)疲勞破壞往往以結(jié)構(gòu)一階固有頻率共振破壞為主，其他階次的影響相對(duì)較小，這就忽略了高階響應(yīng)應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)造成的損傷，導(dǎo)致對(duì)損傷估計(jì)不足或壽命偏高.林莎等[11]通過(guò)試驗(yàn)表明，高階響應(yīng)在一定程度上縮短結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞壽命，且響應(yīng)值越大，對(duì)壽命的影響也越大.研究高、低階頻率響應(yīng)對(duì)壽命的影響，通常將隨機(jī)載荷分解為以各階固有頻率為中心的窄帶載荷的組合，經(jīng)典的Bi-modal法[12-14]就是一種適用于雙模態(tài)隨機(jī)振動(dòng)疲勞壽命估算的方法.

本文針對(duì)典型鋁合金薄板結(jié)構(gòu)，根據(jù)Miner累積損傷理論和Dirlik疲勞壽命估算方法，計(jì)算在單窄帶、雙窄帶和多窄帶隨機(jī)載荷激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞壽命，分析高階模態(tài)載荷對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞損傷和壽命的影響.

1 振動(dòng)疲勞壽命估算的Dirlik方法

根據(jù)Miner線性損傷累積理論，疲勞損傷可以線性地累加，各個(gè)應(yīng)力之間相互獨(dú)立且互不相關(guān)，多級(jí)應(yīng)力作用下結(jié)構(gòu)的累積損傷為

(1)

其中：ns為應(yīng)力幅值為S時(shí)的實(shí)際循環(huán)數(shù)，可用幅值概率密度函數(shù)P(S)表示，NS表示應(yīng)力幅值為S時(shí)的破壞循環(huán)次數(shù)，可由S-N曲線方程確定.

ns=E(P)·T·P(S)

(2)

NS=C·S-m

(3)

其中：E(P)為隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)峰值概率的期望值；T為隨機(jī)響應(yīng)時(shí)間；C、m為材料S-N曲線常數(shù).

為了確定應(yīng)力幅值的概率密度函數(shù)P(S)，Dirlik 研究了70種不同形狀的功率譜密度函數(shù)，提出了一個(gè)概率密度函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式.這個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式由一個(gè)指數(shù)分布密度函數(shù)與兩個(gè)Rayleigh分布密度函數(shù)疊加而成，該公式結(jié)果可以近似接近雨流計(jì)數(shù)法得到的結(jié)果,并且適用于任何類型功率譜.在該方法中，應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)是4個(gè)PSD慣性矩m0、m1、m2、m4的函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4)

將式(2)、(3)、(4)代入式(1)，得到結(jié)構(gòu)損傷為

(5)

一般情況下，認(rèn)為當(dāng)D=1時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，由此可以得到結(jié)構(gòu)的疲勞壽命

(6)

2 振動(dòng)響應(yīng)分析

2.1 固有模態(tài)分析

為避免正方形模型的模態(tài)振型對(duì)稱性較高，選用長(zhǎng)方形薄板模型.在MSC.Patran中建立薄板模型，具體尺寸為300×200×1.8 mm，長(zhǎng)寬比為1.5∶1，邊界條件為四邊固支，如圖1所示.

圖1 薄板模型

材料為6061-T651鋁合金，常規(guī)力學(xué)性能為：E=68.9 GPa，ρ=2800 kg/m3，σu=228 MPa，ν=0.33.借助MSC.Nastran計(jì)算得其前10階固有頻率(表1)，對(duì)應(yīng)的振型如圖2所示.

表1 薄板模型前10階固有頻率

2.2 頻率響應(yīng)分析

放開(kāi)模型沿厚度方向(z向)的位移約束，用帶寬包括前10 階固有頻率(100～1500 Hz)的單位加速度載荷(1 m/s2)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行掃頻激勵(lì)，模型的阻尼值參照試驗(yàn)值設(shè)定為ξ=0.01(通過(guò)正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)及半功率帶寬法計(jì)算得到).由應(yīng)力分布(圖3)可以確定結(jié)構(gòu)的危險(xiǎn)位置在長(zhǎng)邊的中心區(qū)域，繪制危險(xiǎn)位置處(Node 31)的頻率響應(yīng)曲線如圖4所示.由頻率響應(yīng)曲線可以看出，在包含結(jié)構(gòu)前10階固有頻率的寬帶中，模型的危險(xiǎn)位置在第1、第4和第8階固有頻率附近各有一個(gè)峰值，且在1階的響應(yīng)值明顯大于后面兩階.根據(jù)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)共振狀態(tài)下的應(yīng)力響應(yīng)往往以第1階固有頻率為主，其他階次的影響相對(duì)較小.

圖2 薄板模型前10階振型

圖3 頻率f=289.38 Hz時(shí)模型上應(yīng)力分布

圖4 危險(xiǎn)位置處的頻率響應(yīng)曲線

2.3 瞬態(tài)響應(yīng)分析

計(jì)算出模型的固有頻率后，分別施加頻率為289.38 Hz(等于結(jié)構(gòu)第1階固有頻率)和260 Hz(小于結(jié)構(gòu)第1階固有頻率)的正弦加速度載荷對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)，以獲取結(jié)構(gòu)在共振和非共振狀態(tài)下的應(yīng)力響應(yīng).經(jīng)計(jì)算可知，模型在激勵(lì)頻率為289.38 Hz、加速度幅值為12 g時(shí)，最大應(yīng)力為125 MPa，如圖5所示；在激勵(lì)頻率為260 Hz、加速度幅值為80 g時(shí)，其最大應(yīng)力為125 MPa，如圖6所示.可以看出，在共振狀態(tài)下，只需很小的載荷就能激振出很大的應(yīng)力幅值，這也說(shuō)明共振狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)應(yīng)力急劇增高，對(duì)結(jié)構(gòu)的危害也最大.

分別給模型施加上述兩種載荷激勵(lì)，從而保證在共振和非共振狀態(tài)下模型上的最大應(yīng)力相等，研究共振狀態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞壽命的影響.采用有限元軟件MSC.Fatigue對(duì)模型進(jìn)行振動(dòng)疲勞分析，計(jì)算得知：在共振狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)部位的疲勞壽命為7.41×103s；在非共振狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)部位的疲勞壽命為8.51×103s，如圖5、6所示.可以看出，雖然模型分別一直處于共振狀態(tài)和非共振狀態(tài)，但在兩種不同狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命相差不大，這是因?yàn)榧?lì)加速度幅值的不同，保證了模型上的最大應(yīng)力始終是一致的.根據(jù)Miner累積損傷理論，損傷是由一定幅值的應(yīng)力所產(chǎn)生的，那么相同的應(yīng)力幅值也必定產(chǎn)生同樣的損傷，從而在相同的應(yīng)力幅值下，兩種狀態(tài)下模型的振動(dòng)疲勞壽命也必定是相同的.從兩壽命云圖上可以看到，模型上危險(xiǎn)部位的位置、區(qū)域大小基本是一致的.因此，對(duì)于振動(dòng)疲勞和非振動(dòng)疲勞問(wèn)題，其根本途徑都是降低結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)部位的最大應(yīng)力，這樣才能有效提高結(jié)構(gòu)的疲勞壽命.

圖5 共振狀態(tài)下激勵(lì)載荷、危險(xiǎn)位置處的響應(yīng)應(yīng)力及疲勞壽命云圖

圖6 非共振狀態(tài)下激勵(lì)載荷、危險(xiǎn)位置處響應(yīng)應(yīng)力及疲勞壽命云圖

3 振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)

隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)在東菱5噸級(jí)電振動(dòng)臺(tái)(ET-50W-445)上進(jìn)行，試樣尺寸為340×240×1.8 mm的長(zhǎng)方形薄板，四邊各預(yù)留20 mm作為固支端并開(kāi)孔.采用3個(gè)120 Ω應(yīng)變花測(cè)量試樣中心、長(zhǎng)邊和短邊中點(diǎn)(距離邊界10 mm)相應(yīng)位置處的應(yīng)變歷程，通過(guò)1個(gè)安裝在振動(dòng)臺(tái)水平臺(tái)面上的加速度傳感器來(lái)測(cè)量系統(tǒng)輸入加速度，每個(gè)工況下振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間約10 min，試驗(yàn)設(shè)備及試樣加持如圖7所示.采用數(shù)字圖像相關(guān)方法(Digital Image Correction, DIC)對(duì)試樣在隨機(jī)振動(dòng)載荷作用下的變形場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量，試驗(yàn)前在試樣表面噴涂均勻顆粒狀散斑，散斑是試件變形信息的載體，其顆粒尺寸和形狀對(duì)DIC的測(cè)量精度有很重要的影響.試驗(yàn)中通過(guò)兩個(gè)Phantom V711高速攝像機(jī)記錄試樣變形的全過(guò)程，每種工況保存1 000張照片用于分析試樣上的應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng).

1—振動(dòng)臺(tái)；2—連接頭；3—水平滑臺(tái)；4—轉(zhuǎn)接夾具；5—夾具；6—試樣；7—加速度傳感器；8—冷光燈；9—高速攝像機(jī)

首先進(jìn)行正弦掃頻試驗(yàn)，給試樣施加一頻率為100～1500 Hz、幅值為5 g的正弦加速度；隨后進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)試驗(yàn)，給試樣施加一頻率為260～300 Hz，加速度功率譜密度為1 g2/Hz的窄帶隨機(jī)載荷.

試驗(yàn)測(cè)得試樣一階固有頻率為283.81 Hz，小于數(shù)值仿真結(jié)果289.38 Hz，這是由于有限元計(jì)算中模型的邊界條件偏強(qiáng)，忽略了真實(shí)夾具上倒角的存在，使得模型有效面積略小于真實(shí)試樣尺寸，另外模型的材料參數(shù)與試樣的真實(shí)值也可能略有差別.

圖8(A)、(B)分別給出了中心位置處RMS應(yīng)力響應(yīng)的試驗(yàn)值和仿真值，峰值應(yīng)力均為20.3 MPa左右，兩者相差不大.圖9是采用DIC測(cè)得試樣上的位移場(chǎng)分布，圖10是對(duì)應(yīng)的有限元仿真計(jì)算結(jié)果，對(duì)比發(fā)現(xiàn)中心位置最大位移的試驗(yàn)值為0.699 mm，仿真值為0.734 mm，兩者之間的誤差為4.8%.因此，有限元法計(jì)算動(dòng)應(yīng)力和位移是可信的.

圖8 中心位置處RMS應(yīng)力的試驗(yàn)值和仿真值

圖9 試樣的位移場(chǎng)分布(DIC試驗(yàn)結(jié)果)

圖10 模型的位移場(chǎng)分布(仿真結(jié)果)

4 振動(dòng)疲勞分析

首先，給模型施加頻率以各階固有頻率為中心±20 Hz，功率譜密度為2 g2/Hz的單窄帶隨機(jī)載荷(加速度均方根為8.94 g)，采用MSC.Fatigue分別計(jì)算出前10階模態(tài)中只有其中某一階共振時(shí)的疲勞壽命.然后，給模型施加頻率以第1階與某一高階固有頻率為中心±20 Hz，功率譜密度均為2 g2/Hz的雙窄帶隨機(jī)載荷(加速度均方根為12.65 g)，計(jì)算同時(shí)激起兩階共振時(shí)的疲勞壽命.最后，給模型施加頻率以第1階、第4階、第8階為中心±20 Hz，功率譜密度均為2 g2/Hz的多窄帶隨機(jī)載荷(加速度均方根為15.49 g)，計(jì)算同時(shí)激起三階共振時(shí)的疲勞壽命.

由表2可知，單獨(dú)激起第1階共振時(shí)的壽命為3.48×104s，而單獨(dú)激起其他各高階振動(dòng)時(shí)的疲勞壽命均大于4.58×1010s.當(dāng)?shù)?階與第4階或第8階疊加加載后，結(jié)構(gòu)疲勞壽命下降明顯，疲勞壽命分別為2.35×104s和1.23×104 s，而與其他高階模態(tài)載荷疊加加載后模型疲勞壽命基本不變.當(dāng)?shù)?、第4與第8階模態(tài)載荷同時(shí)加載時(shí)，其疲勞壽命再次下降，變?yōu)?.77×103s.

由此并不是每個(gè)高階模態(tài)載荷與一階載荷疊加后都會(huì)使得模型疲勞壽命下降，這說(shuō)明疲勞壽命的下降并不是由于激勵(lì)能量(加速度均方根)的增加所導(dǎo)致的.由模態(tài)分析可知，在第1、第4以及第8階振型的中心位置處均有一個(gè)峰值，于是當(dāng)?shù)?階或第8階與第1階振型被同時(shí)激起時(shí)，它們會(huì)同時(shí)產(chǎn)生峰值響應(yīng)，這樣就相當(dāng)于在低頻峰值上疊加高頻峰值，高、低頻模態(tài)之間的耦合作用，對(duì)模型產(chǎn)生更大的損傷，使得其疲勞壽命明顯下降.

分析模型的單位時(shí)間損傷量可知，當(dāng)?shù)?階模態(tài)載荷單獨(dú)加載時(shí)損傷量為2.87×10-5，其余高階模態(tài)載荷單獨(dú)加載時(shí)損傷量幾乎為0.而在第1階與第4階模態(tài)載荷同時(shí)加載時(shí)損傷量為3.95×10-5，在第1階與第8階模態(tài)載荷同時(shí)加載時(shí)損傷量為8.13×10-5，在第1階、第4階與第8階模態(tài)載荷共同加載時(shí)損傷量為1.02×10-4.這充分說(shuō)明，雖然高階模態(tài)載荷單獨(dú)作用時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)幾乎沒(méi)有損傷，但是高、低階模態(tài)載荷疊加加載對(duì)結(jié)構(gòu)造成的損傷量卻可能遠(yuǎn)大于兩者單獨(dú)加載對(duì)結(jié)構(gòu)所造成損傷的疊加和.因此，在寬頻隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下，高階模態(tài)產(chǎn)生的損傷不可忽略.

表2 各種隨機(jī)載荷激勵(lì)下結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)位置單位時(shí)間損傷量及疲勞壽命

5 結(jié) 論

本文通過(guò)振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)和數(shù)值分析手段研究了鋁合金薄板多模態(tài)隨機(jī)振動(dòng)特性.通過(guò)振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)應(yīng)力的準(zhǔn)確性，通過(guò)數(shù)值模擬研究了結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)、隨機(jī)響應(yīng)和疲勞特性，可得出以下結(jié)論：

1)阻尼一定時(shí)，振動(dòng)應(yīng)力是決定結(jié)構(gòu)疲勞壽命的主要因素，根據(jù)Miner線性損傷理論可對(duì)結(jié)構(gòu)損傷和疲勞壽命進(jìn)行預(yù)估.

2)寬頻多窄帶(每個(gè)窄帶包含結(jié)構(gòu)某一階固有頻率)隨機(jī)載荷對(duì)結(jié)構(gòu)造成的損傷可能遠(yuǎn)大于這些窄帶先后單獨(dú)對(duì)結(jié)構(gòu)造成損傷的疊加和.

3)結(jié)構(gòu)受到寬頻隨機(jī)振動(dòng)載荷激勵(lì)時(shí)，高階載荷激勵(lì)會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的疲勞壽命產(chǎn)生較大影響，僅考慮一階模態(tài)響應(yīng)容易導(dǎo)致壽命估算偏高.

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