孫 鳳 琪

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000）

線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

孫 鳳 琪

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000）

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論及矩陣分析方法，對線性時(shí)滯控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，通過范數(shù)有界不確定參數(shù)矩陣的限制，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的新的充分性判據(jù).該方法不需要系統(tǒng)分解和降階技術(shù)，所得結(jié)果均用線性不等式形式給出，可應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)滯奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中.

奇異攝動(dòng)系統(tǒng)；時(shí)滯系統(tǒng)；不確定系統(tǒng)；穩(wěn)定性分析；線性矩陣不等式；Lyapunov－Krasovskii泛函

考慮非線性時(shí)變時(shí)滯不確定控制系統(tǒng)模型：

其中f，g∈Rn是滿足f（0，t）＝0，g（0，t）＝0的未知時(shí)變非線性函數(shù)，表示模型中的參數(shù)攝動(dòng)或不確定性，滿足如下線性限定條件：

其中α，β是已知的正常數(shù)界，其他條件與文獻(xiàn)［5］中的相應(yīng)系統(tǒng)相同.

引理1［6］假設(shè)X，Y為定常實(shí)矩陣，則

其中Q＞0為對稱正定矩陣.

引理2［6］設(shè)X，Y為向量，則式（3）變?yōu)?/p>

特別地，當(dāng)Q＝ε時(shí)，矩陣不等式2XTY≤ε－1XTX＋εYTY成立.

1 主要結(jié)果

取f（x（t），t）＝（A＋DFE1）x（t），g（x（t－d（t）），t）＝（Ad＋DFEd）x（t－d（t）），＝0，＝0，則系統(tǒng)（1）變?yōu)槿缦戮€性系統(tǒng)：

其中P＞0，Q＞0，P1＞0，P2＞0是適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣.則V（xt）即為正定的Lyapunov－Krasovskii泛函.將V（xt）沿系統(tǒng)（5）的軌跡微分，得

“＊”表示對角位置處矩陣的轉(zhuǎn)置，

為消除不確定性，將式（9）進(jìn)行如下變換：

其中：Π＝P（A＋Ad）＋（A＋Ad）TP＋Q＋τ（λ1α＋λ2β）I；Σ＝P（DFE1＋DFEd）＋（DFE1＋DFEd）TP.

由文獻(xiàn)［5］中引理4.1知，存在η＞0，使得矩陣不等式M＜0，等價(jià)于

式（10）對于變量P，Q，λ1，λ2和是線性的，即為式（7）.證畢.

在系統(tǒng)（5）中，令E1＝0，Ed＝0，得：

推論1 系統(tǒng)（5）是漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在對稱正定矩陣Q＞0，P＞0及常數(shù)λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，使其滿足矩陣不等式：

此即為正常系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件［8－9］.

此外，在條件（8）中，令P1＝0，P2＝0，即得相應(yīng)的時(shí)滯獨(dú)立穩(wěn)定性判據(jù)：

定理2 如果存在對稱正定矩陣Q＞0，P＞0及常數(shù)λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，滿足下列矩陣不等式：

則系統(tǒng)（5）是漸近穩(wěn)定的，其中：“＊”表示對角位置處矩陣的轉(zhuǎn)置；

綜上所述，本文研究了一類帶有時(shí)變時(shí)滯不確定線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題.采用Newton－Leibniz公式［8］，將離散時(shí)滯轉(zhuǎn)變?yōu)榉植紩r(shí)滯.通過構(gòu)造一種新的Lyapunov泛函，應(yīng)用引理2的放大方法，得到一種新的時(shí)滯依賴和時(shí)滯獨(dú)立穩(wěn)定性判據(jù).該方法對系統(tǒng)不確定性的限制結(jié)構(gòu)更具體，對加權(quán)矩陣的特殊選取使得魯棒穩(wěn)定性判據(jù)描述為線性矩陣不等式形式.與文獻(xiàn)［6，9］相比，具有一定的優(yōu)越性和可行性.該方法不需要系統(tǒng)分解和降階技術(shù)，所得結(jié)果均用線性矩陣不等式形式給出，可利用現(xiàn)有優(yōu)化方法對求解相關(guān)問題［9－12］提供理論參考，該方法也適用于標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)情形下時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究.

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（責(zé)任編輯：趙立芹）

Stability Analysis of Linear Time－Delay Control System

SUN Fengqi
（College of Mathematics，Jilin Normal University，Siping136000，Jilin Province，China）

The author considered the stability problem of linear singularly perturbed systems with time－delay.Under the norm bounded uncertain matrix constraints，a new sufficient stability criterion was proposed by Lyapunov stability theory and matrix analysis method.This method is expressed in terms of linear matrix inequalities that does not require the system decomposition and reduction technique.Thus，the method is simple and feasible，which can be applied to both standard and nonstandard singularly perturbed systems with time－delay.

singularly perturbed systems；time－delay system；uncertain system；stability analysis；linear matrix inequality（LMI）；Lyapunov－Krasovskii functional

O232

A

1671－5489（2014）04－0709－06

0 引言與預(yù)備知識

隨著被控制對象復(fù)雜性程度的逐步提高及控制技術(shù)的不斷發(fā)展，對控制精確性的要求也越來越高.系統(tǒng)能否正常運(yùn)轉(zhuǎn)取決于系統(tǒng)的穩(wěn)定性狀態(tài)，而各種方法推導(dǎo)出的穩(wěn)定性判據(jù)，其優(yōu)越性程度是決定系統(tǒng)穩(wěn)定的重要因素.

對于線性時(shí)滯系統(tǒng)控制問題的研究目前主要有兩種方法：頻域法和時(shí)域法.頻域法需要系統(tǒng)分解和降階技術(shù)，或采用較復(fù)雜的Riccati方程去近似求解，只能解決定常系統(tǒng)的魯棒性問題，而對于不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究具有很大的局限性.時(shí)域法也稱為狀態(tài)空間法，即用Lyapunov穩(wěn)定性理論研究系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性［1－3］，由于對不同Lyapunov泛函的選取決定最終穩(wěn)定性條件的保守性大小，所以如何尋找新的穩(wěn)定性判據(jù)、改善穩(wěn)定性條件及降低系統(tǒng)保守性是本領(lǐng)域研究的重點(diǎn).文獻(xiàn)［3］給出了時(shí)滯系統(tǒng)的保性能魯棒穩(wěn)定性問題，但未涉及到時(shí)變時(shí)滯的情形；文獻(xiàn)［4］給出了一類具有多個(gè)時(shí)變時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的保性能魯棒穩(wěn)定性問題，但未同時(shí)考慮系統(tǒng)的不確定性.本文采用矩陣分析方法，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出一種新的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)，所得結(jié)果均可轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式（LMI）的形式.

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.04.13

2013－12－20.

孫鳳琪（1968—），女，漢族，博士，教授，從事時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，E－mail：jlsdsfq＠163.com.

高校基本科研項(xiàng)目基金（批準(zhǔn)號：N100406010）.