厲筱峰，李偉紅

(1. 淮陰工學院 數(shù)理學院, 江蘇 淮安 223003; 2. 南京理工大學 理學院，南京 210094)

0 引言

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制問題一直是控制領(lǐng)域中富有挑戰(zhàn)性的課題，已經(jīng)引起了學者的廣泛關(guān)注[1-3]。目前，Takagi和Sugeno通過扇形非線性建模方法對非線性系統(tǒng)進行建模，構(gòu)造了Takagi-Sugeno (T-S)模糊模型，這為研究復雜非線性系統(tǒng)的性能提供一個方便且系統(tǒng)化的方法[4]。Cao等證明了T-S模糊模型可以在凸緊集中以任意精度逼近任意光滑非線性系統(tǒng)[5]。因此，已有學者對T-S模糊系統(tǒng)進行研究，并得到了很多重要的結(jié)果[6-7]。為了減少建模誤差，有學者構(gòu)造了保守性更低的多項式模糊模型，并對這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制等綜合問題進行了分析[8-12]。

眾所周知，時滯存在于很多實際系統(tǒng)，如：化學過程、通訊網(wǎng)絡(luò)、經(jīng)濟學等，它的存在往往導致了系統(tǒng)的不穩(wěn)定和系統(tǒng)性能的惡化。因此，在近三十年中，時滯系統(tǒng)得到了深入的研究，特別是近年來時滯T-S模糊模型的分析和綜合問題逐漸成為研究熱點[13-14]。但是，對于時滯多項式T-S模糊系統(tǒng)的研究還很少。因此，本文基于多項式Lyanunov-Krasovskii泛函，給出時滯多項式T-S模糊系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的參數(shù)依賴的充分條件，并設(shè)計PDC多項式模糊控制器。

1 問題描述

考慮由如下時滯多項式T-S模糊模型描述的一類非線性系統(tǒng)：

模糊規(guī)則i:

如果θ1(t)是Mi1，且θ2(t)是Mi2，…,θp(t)是Mip，則：

其中，r是模糊規(guī)則數(shù)，θj(t)(j=1,2,…,p)是前件變量，Mij(i=1,2,…,r)是模糊集，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，u(t)∈Rn是控制輸入，w(t)∈L2[0，∞〕是擾動輸入，z(t)∈Rp是控制輸出，Ai(x(t))、Ahi(x(t))、Bi(x(t))、Bwi(x(t))、Ci(x(t))、Chi(x(t))、Di(x(t))及Dwi(x(t))是關(guān)于x(t)的適維多項式矩陣，h(t)是時變時滯函數(shù)且滿足：

(2)

通過單點模糊化、乘積推理和中心加權(quán)反模糊化，可得如下全局模型：

2 穩(wěn)定性分析

對系統(tǒng)(3)在u(t)≡0和w(t)≡0時的穩(wěn)定性進行分析。

(4)

(5)

其中ε1(x)和ε2i(x)是非負多項式，即對x≠0有ε1(x),ε2i(x)>0，v是與x獨立的向量，

證 考慮如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

由文獻[14]引理1，可得：

其中

當k=K時，有：

則有

3 H∞控制器設(shè)計

下面考慮系統(tǒng)的H∞控制問題?；谄叫蟹峙溲a償(PDC)，設(shè)計如下的多項式模糊控制器：

模糊規(guī)則i:

如果θ1(t)是Mi1，且θ2(t)是Mi2，…,θp(t)是Mip，則：

u(t)=Ki(x(t))x(t)

(9)

因此，全局多項式模糊控制器可以表示為：

vT(X-ε1(x)I)v是SOS

(11)

(12)

其中，ε1(x)和εij(x)是非負多項式，即對x≠0有ε1(x)，εij(x)>0,v是與x獨立的向量。

且多項式模糊控制器增益為：

Kj(x)=Hj(x)X-1

考慮如下指標，類似定理1的證明過程，有：

故：

對式左右兩邊積分，得：

即

4 仿真算例

例 考慮下面的多項式模糊系統(tǒng):

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)曲線和控制曲線

5 結(jié)束語

本文通過基于SOS分解的半定規(guī)劃方法，研究了時滯多項式T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和H∞控制器設(shè)計問題，給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的時滯依賴的充分條件，并設(shè)計了PDC多項式模糊控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能指標，所得結(jié)果均可由MATLAB SOS工具箱求解，最后給出算例說明了所提出方法的有效性。

參考文獻：

[1] 馮純伯.應(yīng)用無源性分析研究時變非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].自動化學報，1997，23(6)：775-781.

[2] 鄭建飛，馮勇，鄭雪梅，等.不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)反演終端滑?？刂芠J].控制理論與應(yīng)用，2009，26(4)：410-414.

[3] 孔小兵，劉向杰.基于輸入輸出線性化的連續(xù)系統(tǒng)非線性模型預(yù)測控制[J].控制理論與應(yīng)用，2012, 29(2): 217-224.

[4] Takagi T,Sugeno M.Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control[J].IEEE Trans. Syst., Man Cybern.,1985,15(1):116-132.

[5] Cao S,Rees N, Feng G.Analysis and Design for A Class of Complex Control Systems Part I: fuzzy modeling and identification[J].Automatica,1997,33(6):1017-1028.

[6] 王巖，張慶靈，孫增圻，等.離散模糊系統(tǒng)分析與設(shè)計的模糊Lyapunov方法[J].自動化學報，2004,30(2):255-260.

[7] Feng G. A Survey on Analysis and Design of Model-Based Fuzzy Control Systems[J].IEEE Trans. on Fuzzy Syst., 2006,14(5):676-697.

[8] Antonio S, Carlos A. Polynomial Fuzzy Models for Nonlinear Control: A Taylor Series Approach[J].IEEE Trans. on Fuzzy Syst.,2009,17(6):1284-1295.

[9] Kazuo T, Hiroto Y, Hiroshi O,et al. A Sum-of-Squares Approach to Modeling and Control of Nonlinear Dynamical Systems With Polynomial Fuzzy Systems[J].IEEE Trans. on Fuzzy Syst., 2009, 17(4): 911-922.

[10] Kazuo T, Hiroshi O, Hua O. Guaranteed Cost Control of Polynomial Fuzzy Systems via a Sum of Squares Approach[J]. IEEE Trans. Syst., Man Cybern-Part B:Cybernetics,2009,39(2):561-567.

[11] 宋曉娜，徐勝元，沈浩，等.不確定T-S模糊時變時滯系統(tǒng)的時滯依賴無源輸出反饋控制[J].南京理工大學學報，2011, 35(1): 6-10.

[12] 肖會芹,何勇,吳敏,等.基于T-S模糊模型非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)改進H∞跟蹤控制[J].控制理論與應(yīng)用，2012, 29(1):71-78.

[13] Su X, Shi P, Wu L,et al.A Novel Approach to Filter Design for T-S Fuzzy Discrete-Time Systems with Time-Varying Delay[J]. IEEE Trans. on Fuzzy Syst.,2012,20(6):1114-1129.

[14] Chen P,Tai C. Communication-Delay-Distribution-Dependent Networked Conrol for A Class of T-S Fuzzy systems. IEEE Trans. on Fuzzy syst., 2010,18(2):326-335.