劉志峰，郭春華, 楊文通，張志民，蔡力鋼, Jorge Angeles

(1.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124; 2. Mc Gill University, Canada)

擺線錐齒輪作為傳動(dòng)部件經(jīng)常工作在高速、重載、摩擦等復(fù)雜工況中。已有諸多以非線性振動(dòng)理論為基礎(chǔ)、以齒輪嚙合過程中時(shí)變剛度、齒側(cè)間隙等非線性因素為核心對(duì)齒輪系統(tǒng)非線性振動(dòng)進(jìn)行的研究[1-3]；但嚙合齒間摩擦也會(huì)影響齒輪非線性振動(dòng)。He等[4-5]通過計(jì)入實(shí)際時(shí)變剛度、比較計(jì)算多個(gè)齒面潤滑模型摩擦系數(shù)發(fā)現(xiàn)，不同潤滑模型對(duì)傳動(dòng)誤差影響較小。Liu等[6]建立考慮輪齒間滑動(dòng)摩擦力、嚙合阻尼兩級(jí)齒輪傳動(dòng)非線性模型，用Peano-Bake 級(jí)數(shù)及攝動(dòng)多尺度法研究摩擦因子、阻尼等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)影響。Velex等[7]通過不同摩擦力模型建立三維齒輪動(dòng)力學(xué)模型求解方程，采用接觸算法、分步積分法預(yù)測(cè)切向力、法向力，通過對(duì)比瞬間直、斜齒輪獲知，齒面摩擦對(duì)系統(tǒng)傳遞誤差有較大影響。Vaishya等[8-9]建立的考慮齒面摩擦單自由度動(dòng)力學(xué)模型，將時(shí)變嚙合剛度簡(jiǎn)化為矩形波，會(huì)影響齒間載荷分布、齒面摩擦力。Feng等[10]建立的考慮時(shí)變摩擦系數(shù)準(zhǔn)雙曲面齒輪14自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，通過對(duì)恒定、時(shí)變摩擦系數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為影響分析表明，時(shí)變摩擦系數(shù)對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為影響輕微。Chen等[11-12]研究考慮摩擦、時(shí)變剛度時(shí)直齒輪間隙對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響，分析發(fā)現(xiàn)低速時(shí)，隨摩擦因數(shù)的增大系統(tǒng)響應(yīng)均方值及平均分量增大。林騰蛟等[13]以正交面齒輪為研究對(duì)象，建立含時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒面摩擦及齒側(cè)間隙等彎-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。結(jié)果表明，摩擦系數(shù)較小時(shí)對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性影響不大；逐漸增大時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由單周期經(jīng)倍周期分叉進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。王三民等[14]建立計(jì)及摩擦、間隙及時(shí)變剛度等因素的直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型發(fā)現(xiàn)，計(jì)及摩擦?xí)r系統(tǒng)超諧與次諧響應(yīng)成分增多，且摩擦使混沌吸引子變大，導(dǎo)致系統(tǒng)提前進(jìn)入混沌狀態(tài)。田行斌等[15]提出柔度張量概念,推導(dǎo)弧齒錐齒輪有摩擦承載接觸的數(shù)學(xué)規(guī)劃解法。王延忠等[16]針對(duì)高速重載螺旋錐齒輪建立點(diǎn)接觸熱彈流潤滑分析數(shù)學(xué)模型，采用數(shù)值方法求解彈流潤滑狀態(tài)下齒面摩擦因數(shù)。衛(wèi)一多等[17]研究摩擦系數(shù)、嚙合剛度因子及齒間載荷分配系數(shù)等周期雙參變激勵(lì)對(duì)齒輪系統(tǒng)非線性振動(dòng)影響。李文良等[18]運(yùn)用多尺度方法分析考慮摩擦?xí)r齒輪系統(tǒng)主共振，并研究摩擦系數(shù)、靜態(tài)載荷、動(dòng)態(tài)載荷及阻尼系數(shù)對(duì)主共振頻率響應(yīng)影響。

以上研究主要為建立齒輪摩擦模型，用實(shí)驗(yàn)方法確定摩擦因數(shù)或由摩擦、間隙及剛度進(jìn)行齒輪動(dòng)力學(xué)分析，均未涉及考慮有無摩擦?xí)r參數(shù)激勵(lì)使齒輪產(chǎn)生振動(dòng)差異特性的對(duì)比分析研究。本文以一對(duì)擺線錐齒輪副為研究對(duì)象，綜合考察摩擦因子、阻尼、剛度、外載荷、傳遞誤差及激勵(lì)頻率等因素對(duì)齒輪振動(dòng)特性影響，對(duì)比分析有無摩擦?xí)r產(chǎn)生的響應(yīng)差異性，探索齒輪傳動(dòng)嚙合特性影響規(guī)律，為輪齒減振降噪提供理論支持。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 擺線錐齒輪嚙合動(dòng)力學(xué)模型

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有明顯的質(zhì)量集中特點(diǎn)。本文采用集中質(zhì)量法建立齒輪傳動(dòng)嚙合模型，見圖1。設(shè)系統(tǒng)由僅有彈性無慣性彈簧與僅有慣性無彈性阻尼器組成，并考慮齒面摩擦Ff、時(shí)變嚙合剛度K(t)、時(shí)變嚙合阻尼C(t)及齒側(cè)間隙b等非線性因素。兩相互嚙合的擺線齒輪安裝于空間交錯(cuò)角90°的兩軸上，主動(dòng)輪固定坐標(biāo)系為xp，yp，zp；從動(dòng)輪固定坐標(biāo)系為xg，yg，zg。

圖1模型中設(shè)兩齒輪支承剛度較大，不考慮支承部件彈性變形及支承軸承等參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)影響。各參量意義見表1。

表1 物理量索引

由Lagrange原理分別得主、從動(dòng)齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)平衡方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

輪齒嚙合過程中會(huì)產(chǎn)生單對(duì)齒嚙合及多對(duì)齒嚙合交替變化，使嚙合剛度亦在不斷變化。單齒嚙合區(qū)齒輪嚙合綜合剛度較小，嚙合彈性變形較大；雙齒對(duì)嚙合區(qū)由于兩對(duì)齒同時(shí)承受載荷，齒輪嚙合綜合剛度較大，嚙合彈性變形較小。隨齒輪副連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)輪齒彈性變形呈周期性變化，致齒輪副角速度周期性變化，進(jìn)而導(dǎo)致齒輪副振動(dòng)。考慮摩擦?xí)r應(yīng)將常數(shù)嚙合阻尼描述為非線性時(shí)變嚙合阻尼，即阻尼項(xiàng)亦含時(shí)變參數(shù)。將剛度、阻尼及靜態(tài)傳遞誤差按傅里葉級(jí)數(shù)展開，且僅考慮主諧波形式[19]為

(7)

令：

(8)

聯(lián)立式(6)～式(8)得無量綱化形式為

(1+μ)[1+ρcos(ωt+φk)]f(x)=

F+γω2cos(ωt+φe)

模型見圖2。

圖2 間隙模型

2 算例分析

以一對(duì)擺線錐齒輪副為研究對(duì)象，其具體參數(shù)見表2。分別研究參變激勵(lì)：摩擦因子μ、阻尼因子ξ，α、剛度因子ρ、外載荷F、誤差傳遞系數(shù)γ及激勵(lì)頻率ω對(duì)嚙合振動(dòng)特性影響。

表2 擺線錐齒輪系統(tǒng)參數(shù)

2.1 摩擦因子μ

圖3 μ 影響位移均方根曲線

定義參數(shù)ξ=0.1，α=0.01，ρ=0.1，γ=0.2，F(xiàn)=2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。摩擦因子μ影響嚙合點(diǎn)振動(dòng)曲線見圖3。由圖3看出，不考慮摩擦(即μ=0)，位移響應(yīng)曲線幅值為3.33，峰值頻率在ω=0.9～1.0之間；μ=0.1時(shí)位移響應(yīng)曲線幅值為3.18，峰值頻率在ω=1.0處；隨μ增加至0.2、0.3，響應(yīng)幅值分別為3.02、2.84，峰值頻率分別為ω=1.0、ω=1.1。由此可知，隨摩擦因子增大嚙合點(diǎn)位移振動(dòng)幅值隨之降低，峰值頻率出現(xiàn)漂移，且有增大趨勢(shì)，其它頻率點(diǎn)響應(yīng)值均隨摩擦因子增大而減小。

2.2 常數(shù)阻尼因子ξ

定義參數(shù)α=0.01，ρ=0.1，γ=0.2，F(xiàn)=2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦?xí)r阻尼因子ξ對(duì)嚙合點(diǎn)振動(dòng)位移影響曲線見圖4、圖5。由圖4知，μ=0，ξ=0.1、0.2、0.3時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)幅值分別為3.33、3.21、3.12，峰值頻率在ω=0.9～1之間；由圖5知μ=0.3，ξ=0.1、0.2、0.3時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為2.84、2.72、2.63，峰值頻率均在ω=1.1處。由此可見，常數(shù)阻尼因子可有效降低振動(dòng)位移幅值、減小輪齒變形?？紤]摩擦較不考慮摩擦?xí)r位移響應(yīng)幅值降低，峰值頻率出現(xiàn)漂移。

2.3 諧波阻尼因子α

定義參數(shù)ξ=0.1，ρ=0.1，γ=0.2，F(xiàn)=3，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦?xí)r諧波阻尼因子α對(duì)嚙合點(diǎn)振動(dòng)位移影響曲線見圖6、圖7。由圖6看出，μ=0，α=0.00、0.01、0.05時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值在峰值頻率ω=1處分別為4.52、4.50、4.44；峰值頻率ω=2處分別為4.12、4.13、4.19；由圖7看出，μ=0.3，α=0.00、0.01、0.05時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值在峰值頻率ω=1.1處分別為3.82、3.80、3.76；峰值頻率ω=2.3處分別為3.37、3.38、3.40。由此可見，諧波阻尼因子可影響振動(dòng)位移峰值，在某些頻率點(diǎn)處隨諧波阻尼因子增大響應(yīng)幅值降低，在某些頻率點(diǎn)處則隨其增大而增大?？紤]摩擦較不考慮摩擦?xí)r位移響應(yīng)幅值降低，峰值頻率出現(xiàn)漂移。

圖4 μ=0 時(shí) ξ 影響位移均方根曲線

圖7 μ=0.3時(shí) α 影響位移均方根曲線

2.4 剛度因子ρ

定義參數(shù)ξ=0.1，α=0.01，γ=0.2，F(xiàn)=2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦?xí)r剛度因子ρ對(duì)嚙合點(diǎn)振動(dòng)位移影響曲線見圖8、圖9。由圖8看出，μ=0，ρ=0.1、0.2、0.3時(shí)有2個(gè)峰值域，分別為ω=0.9，ω=1.8～2。ω=0.9對(duì)應(yīng)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為3.3、3.9、5.3；ω=1.8～2對(duì)應(yīng)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為3.1、3.5、5.8；由圖9看出，μ=0.3，ρ=0.1、0.2、0.3時(shí)，亦有2個(gè)峰值域，分別為ω= 0.9 ～1.1，ω=2.1～2.3。ω=0.9～1.1處振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為2.84、2.96、3.76；ω=2.1～2.3處振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為2.59、2.73、2.92。由此可見，隨剛度因子的增大位移響應(yīng)曲線幅值增大，輪齒發(fā)生彈性變形增大，不利于齒輪副平穩(wěn)傳動(dòng)。考慮摩擦較不考慮摩擦?xí)r位移響應(yīng)幅值降低，峰值頻率出現(xiàn)漂移。

2.5 外載荷F

定義參數(shù)ξ=0.1，α=0.01，ρ=0.1，γ=0.2，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦?xí)r外載荷F對(duì)嚙合點(diǎn)振動(dòng)位移影響曲線見圖10、圖11。由圖10看出，μ=0，F(xiàn)=1、2、3時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為2.2、3.3、4.5，峰值頻率在ω=0.9～1之間；由圖11看出，μ=0.3，F(xiàn)=1、2、3時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為1.86、2.84、3.81，峰值頻率均在ω=1.1處。由此可見，隨外載荷的增大位移響應(yīng)曲線幅值增大，輪齒變形量增大。考慮摩擦較不考慮摩擦?xí)r位移響應(yīng)幅值降低，峰值頻率出現(xiàn)漂移。

2.6 傳遞誤差因子γ

定義參數(shù)ξ=0.1，α=0.01，ρ=0.1，F(xiàn)=3，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦?xí)r傳遞誤差因子γ對(duì)嚙合點(diǎn)振動(dòng)位移影響曲線見圖12、圖13。由圖12看出，μ=0，γ=0.2、0.4、0.6時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為4.5、4.85、5.7，峰值頻率在ω=0.9～1之間；由圖13看出，μ=0.3，γ=0.2、0.4、0.6時(shí)振動(dòng)位移響應(yīng)曲線幅值分別為3.81、3.88、4.63，峰值頻率在ω=1～1.1之間。由此可見，隨傳遞誤差增大位移響應(yīng)曲線幅值增大，輪齒變形量增大，從而加劇輪齒振動(dòng)，不利于齒輪平穩(wěn)傳動(dòng)?？紤]摩擦較不考慮摩擦?xí)r位移響應(yīng)幅值降低，峰值頻率出現(xiàn)漂移。

圖10 μ=0時(shí) F 影響位移均方根曲線

圖13 μ=0.3時(shí) γ 影響位移均方根曲線

2.7 激勵(lì)頻率ω

定義參數(shù)ξ=0.03，α=0.01，ρ=0.01，F(xiàn)=1，γ=0.1，φc=0，φk=-4π/5，φe=π/2。不考慮、考慮摩擦?xí)r激勵(lì)頻率ω對(duì)嚙合點(diǎn)振動(dòng)時(shí)間-位移曲線及時(shí)間-速度曲線見圖14、圖15。由圖14看出，不同激勵(lì)頻率引起的位移響應(yīng)不同。不考慮摩擦?xí)r，以ω=0.1、1.0、1.5為例，ω=0.1時(shí)位移響應(yīng)迅速衰減，在t=250后步入穩(wěn)態(tài)，振幅在x=2附近上下波動(dòng)；ω=1.0時(shí)位移曲線呈現(xiàn)周期變化；ω=1.5時(shí)位移曲線漸近衰減，經(jīng)t=150后保持一定幅值水平。考慮摩擦?xí)r時(shí)間歷程曲線均經(jīng)一段時(shí)間后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，且幅值水平較不考慮摩擦?xí)r低。由圖15看出，振蕩幅值衰減速度考慮摩擦較不考慮摩擦?xí)r快。

不考慮摩擦?xí)r激勵(lì)頻率ω=1.0、2.0、3.0對(duì)應(yīng)的嚙合點(diǎn)軌跡相圖序列見圖16。由圖16看出，不同激勵(lì)頻率下運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)差異，但軌跡均為倍周期運(yùn)動(dòng)?？紤]摩擦μ=0.3時(shí)，激勵(lì)頻率ω=1.0、2.0、3.0對(duì)應(yīng)的嚙合點(diǎn)軌跡相圖序列見圖17。由圖17看出，不同激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)不同運(yùn)動(dòng)軌跡，ω=1.0時(shí)系統(tǒng)為倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；ω=2.0、3.0時(shí)由倍周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。無摩擦?xí)r系統(tǒng)為有序運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；考慮摩擦?xí)r系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由有序進(jìn)入無序。由此可見，激勵(lì)頻率與摩擦均會(huì)改變系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，增加系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性。

圖14 不同 μ 時(shí)ω 影響時(shí)間-位移曲線

圖15 不同 μ 時(shí)ω 影響時(shí)間-速度曲線

圖16 μ=0時(shí)不同ω下相圖序列

圖17 μ=0.3時(shí)不同ω下相圖序列

3 結(jié) 論

本文考慮摩擦及參數(shù)激勵(lì)影響建立擺線錐齒輪副嚙合模型，并推導(dǎo)、求解動(dòng)力學(xué)方程，給出齒輪副振動(dòng)響應(yīng)關(guān)系曲線。通過分析結(jié)論如下：

(1) 常數(shù)阻尼可單方向降低振動(dòng)幅值，減小輪齒變形，增強(qiáng)齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性；諧波阻尼在主峰值點(diǎn)可降低幅值，在次峰值點(diǎn)趨勢(shì)相反。

(2) 剛度、外載荷及傳遞誤差升高均可增大位移響應(yīng)幅值及輪齒變形，不利于輪齒平穩(wěn)嚙合。

(3) 摩擦可有效降低位移響應(yīng)幅值。有摩擦較無摩擦?xí)r阻尼、剛度、外載荷及傳遞誤差等變參量所致幅值響應(yīng)明顯降低；峰值頻率出現(xiàn)漂移。本文仿真結(jié)果最大響應(yīng)幅值降幅比為49.7%，最小響應(yīng)幅值降幅比為13.9%；峰值頻率漂移0.1～0.3個(gè)單位。

(4) 不同激勵(lì)頻率會(huì)使系統(tǒng)呈現(xiàn)不同穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，且步入穩(wěn)態(tài)過程收斂速度與步調(diào)有差異。

(5) 摩擦及激勵(lì)頻率均可能改變系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，增加系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性。

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