石魯寧，閆維明，何浩祥，陳彥江

(北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

結(jié)構(gòu)動力特性的重要指標(biāo)為頻率、振型，對其進(jìn)行數(shù)值求解或求得解析表達(dá)具有重要工程意義。現(xiàn)有求解方法主要有兩類，即離散方法與連續(xù)方法。前者將結(jié)構(gòu)視為多自由度離散體系，其計(jì)算精度取決于結(jié)構(gòu)離散自由度數(shù)量；后者將結(jié)構(gòu)視為分布參數(shù)體系，建立無限自由度體系運(yùn)動方程，將模態(tài)參數(shù)求解歸結(jié)為超越方程問題求解。對簡支梁等簡單結(jié)構(gòu)，連續(xù)方法可求得解析解[1-2]，但連續(xù)梁等復(fù)雜結(jié)構(gòu)解析解較難求得；連續(xù)梁有預(yù)應(yīng)力作用時，預(yù)應(yīng)力與模態(tài)參數(shù)關(guān)系較難確定，僅依靠有限元方法對具體結(jié)構(gòu)求解無法獲得規(guī)律性結(jié)果。因此需研究多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁模態(tài)解析解。Ayaho等[2]研究體外預(yù)應(yīng)力加固組合梁的動力特性，推導(dǎo)出雙折線形式體外預(yù)應(yīng)力簡支梁振動方程，并分析預(yù)應(yīng)力及預(yù)應(yīng)力鋼筋轉(zhuǎn)角等參數(shù)對組合梁自振頻率影響。Hamed等[3]通過試驗(yàn)研究有、無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力對簡支梁自振頻率影響。Hamed等[4-5]研究帶裂縫預(yù)應(yīng)力梁的動力特性，分析軸向力對頻率振型影響。宗周紅等[6]通過試驗(yàn)研究預(yù)應(yīng)力對混凝土簡支梁動力特性影響。方德平等[7]用能量法分析體外預(yù)應(yīng)力對簡支梁動力特性影響。Li[8]基于漸進(jìn)Timoshenko梁理論研究軸向荷載作用下彈性支承及梁段集中質(zhì)量剪切梁的振動特性。以上研究均未考慮預(yù)應(yīng)力對連續(xù)梁動力特性影響。Luo[9]研究軸向力作用下無限長等間距支承梁的橫向振動問題，分析不同軸向載荷對梁振動特性影響。王小崗等[10-11]利用狄拉克函數(shù)建立的多跨連續(xù)梁振動方程求解異常復(fù)雜，工程實(shí)踐中較難普及。熊學(xué)玉等[12]研究兩等跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁動力特性，引入狄拉克函數(shù)建立兩跨連續(xù)梁振動方程，而求解三跨及三跨以上連續(xù)梁振動方程較困難，且未給出具有普遍意義多跨體外預(yù)應(yīng)力多跨連續(xù)梁的頻率方程解析解。

關(guān)于三跨及三跨以上預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動特性研究多限于數(shù)值模擬，理論研究尚不成熟。本文基于Ayaho等[2,12]理論研究方法，據(jù)多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及力法基本原理建立體外預(yù)應(yīng)力變化量與位移的函數(shù)關(guān)系，將連續(xù)梁視為滿足邊界條件的多個單跨梁，采用分段聯(lián)立方法建立多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動方程組，簡化預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動方程求解，求得多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程與多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自振頻率及振型。

1 多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動方程

1.1 預(yù)應(yīng)力簡支梁振動方程

圖1 受動力荷載體外預(yù)應(yīng)力簡支梁

非均勻預(yù)應(yīng)力簡支梁見圖1，沿梁長x方向變化的等效抗彎剛度為EI(x)，單位長度質(zhì)量為m(x)，作用于梁上預(yù)應(yīng)力為N。梁橫向荷載P(x,t)及橫向位移μ(x,t)隨位置、時間任意變化。設(shè)梁的運(yùn)動為平面彎曲，預(yù)應(yīng)力N沿x向無損失，簡支梁在預(yù)應(yīng)力作用下彎曲振動方程[2,12-13]為

(1)

式中：Nx為預(yù)應(yīng)力N水平分量；ΔN為隨振動位移變化所致預(yù)應(yīng)力改變量；H為預(yù)應(yīng)力鋼筋等效偏心距，預(yù)應(yīng)力鋼筋在不同梁橫截面位置上偏心距不相同，需按彎矩圖面積相等原則計(jì)算。

1.2 多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動方程

n(n≥2)跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁材料為均勻、連續(xù)各向同性且變形滿足平面假，見圖2。設(shè)第i跨等效抗彎剛度為EIi(x)，單位長度質(zhì)量為mi(x)，作用于第i跨上預(yù)應(yīng)力為Ni，橫向荷載為Pi(x,t)，梁的橫向位移為μi(x,t)。

圖2 受動力荷載多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁

圖3 受動力荷載第i跨梁段

以第i跨梁段為研究對象，見圖3。設(shè)第i跨梁段起點(diǎn)i的轉(zhuǎn)角為θi,i+1，彎矩為Mi,i+1，終點(diǎn)i+1處轉(zhuǎn)角為θi+1,i，彎矩為Mi+1,i。第i跨振動方程為

(2)

多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁第i(1≤i≤n)跨自由振動方程為

(3)

第i(2≤i≤n-1 )跨梁段與相鄰跨彎矩、轉(zhuǎn)角需滿足：

(4)

首跨及末跨與其相鄰跨彎矩、轉(zhuǎn)角需滿足：

(5)

等截面多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁第i(1≤i≤n)跨自由振動方程可簡化為

(6)

顯然，n跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動方程為滿足彎矩、轉(zhuǎn)角條件的n個單跨振動方程組成的方程組。本文公式推導(dǎo)以等截面多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁為例。為求解多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自由振動方程組需先求得振動過程中預(yù)應(yīng)力變化量ΔN與梁體振動位移μ(x,t)之關(guān)系。

1.3 預(yù)應(yīng)力變化量與梁位移關(guān)系

多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁在自由振動過程中預(yù)應(yīng)力變化量ΔN隨梁體振動位移μ(x,t)變化而變化，梁體自由振動處于小變形狀態(tài)，幾何變形上可近似認(rèn)為預(yù)應(yīng)力變化量ΔN與梁體豎向振動位移μ(x,t)成正比[2,12]。設(shè)跨中作用集中力F，先求F與ΔN關(guān)系，再求F與μ(x,t)關(guān)系，由代換求ΔN與μ(x,t)關(guān)系。

圖4 連續(xù)梁邊跨簡化模型及內(nèi)力圖

多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁邊跨(i=1、n)近似簡化結(jié)構(gòu)見圖4。設(shè)梁跨中作用集中力F，將預(yù)應(yīng)力變化量與中間支座彎矩作為多余未知力X1，X2，去掉多余聯(lián)系獲得基本體系，求單位力X1=1，X2=1及集中力F作用下彎矩圖(圖4)。建立變形協(xié)調(diào)方程為

(7)

由式(7)解得：

(8)

邊跨梁段在跨中集中力F作用下，跨中豎向位移μF為

(9)

整理式(8)、(9)得ΔN與μF關(guān)系為

(10)

梁體內(nèi)預(yù)應(yīng)力鋼筋產(chǎn)生的次內(nèi)力作用使預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生改變量ΔN，而次內(nèi)力作用使梁段產(chǎn)生與μF方向相反的豎向位移μΔN。求出邊跨次內(nèi)力產(chǎn)生的豎向位移μΔN為

(11)

邊跨梁段在F作用下產(chǎn)生的豎向位移μ為

μ=μF-μΔN

(12)

將式(10)、(11)代入式(12)整理得：

ΔN=φμ

(13)

(14)

圖5 連續(xù)梁中間跨簡化模型及內(nèi)力圖

多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁中間跨(2≤i≤n-1)可近似簡化為圖5結(jié)構(gòu)。設(shè)梁段跨中作用集中力F，將預(yù)應(yīng)力變化量與支座彎矩作為多余未知力X1，X2，X3，求得單位力X1=X2=X3=1及集中力F作用下彎矩圖(圖5)，建立變形協(xié)調(diào)方程為

(15)

式中：δij，ΔiF按式(7)計(jì)算。由式(15)解得：

(16)

式中：

中間跨梁段在F作用下豎向位移μF為

(17)

中間跨梁段在F作用下由次內(nèi)力產(chǎn)生的豎向位移μΔN為

(18)

中間跨梁段在F作用下產(chǎn)生的豎向位移μ與預(yù)應(yīng)力變化量ΔN的函數(shù)關(guān)系式同式(12)。同理求得：

(19)

1.4 等效偏心距求解

H為等效偏心距，將預(yù)應(yīng)力作用彎矩按面積相等原則等效為沿梁長均布求得H[2,12]。由圖5可求得中間跨預(yù)應(yīng)力效應(yīng)引起的彎矩MN為

(20)

MN彎矩圖面積為

(21)

由式(21)得：

(22)

同理，由圖4可求得邊跨等效偏心距H為

(23)

將式(14)、(19)代入式(6)可得多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自由振動方程組為

(24)

2 多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率及振型

2.1 振動方程求解

文獻(xiàn)[7,12,14]利用狄拉克函數(shù)建立的連續(xù)梁振動方程不易求得三跨及以上連續(xù)梁頻率方程，因此本文將多跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動方程求解轉(zhuǎn)化為滿足彎矩、轉(zhuǎn)角條件的多個單跨振動方程求解，且可方便獲得頻率方程。據(jù)式(24)多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁第i跨振動方程可化簡為

(25)

該方程采用分離變量法求解[13,15]，設(shè)定解形式為

ui(x，t)=φi(x)Y(t)

(26)

將解的形式代入式(32)得：

φ″″i(x)+g2φ″i(x)-a4φi(x)=0

(27)

Y″(t)+ω2Y(t)=0

(28)

式(27)為四階常系數(shù)微分方程，設(shè)解的形式為Φi(x)=Gesx，代入方程得：

s1，2=±ihi,s3，4=±ini

(29)

式中：

代入Φi(x)=Gesx得方程通解為

φi(x)=G1eihix+G2e-ihix+G3enix+G4e-nix

(30)

式中：G1，G2，G3，G4為復(fù)常數(shù)。

用三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等價替換指數(shù)函數(shù)，并令式(30)中虛部為零，得：

φi(x)=Asin(hix)+Bcos(hix)+

Csinh(nix)+Dcosh(nix)

(31)

式中：A，B，C，D為實(shí)常數(shù)，可由梁端邊界條件(位移、轉(zhuǎn)角、彎矩等)求出，從而獲得預(yù)應(yīng)力梁自振頻率及振型。

2.2 振型方程求解

圖3中第i(1≤i≤n)跨梁段兩端位移、彎矩需滿足：

(32)

利用式(31)及對x二階偏導(dǎo)數(shù)，由式(32)求得：

(33)

將系數(shù)A，B，C，D代入式(31)可得第i(1≤i≤n)跨振型函數(shù)表達(dá)式。

2.3 頻率方程求解

第i(1≤i≤n)跨梁段由振型函數(shù)式(33)微分一次得轉(zhuǎn)角方程：

θi(x)=[Mi+1，i-Mi，i+1cos(hiLi)]cos(hix)-

[Mi+1，i-cosh(niLi)Mi，i+1]cosh(nix)-

Mi，i+1sin(hiLi)sin(hix)-

Mi，i+1sinh(niLi)sinh(nix)

(34)

式中：

因Mi=Mi,i+1=Mi,i-1，支座i(2≤i≤n)兩側(cè)轉(zhuǎn)角為

θi，i+1=[ψicosh(hiLi)-

ηicos(hiLi)]Mi-(ψi-ηi)Mi+1

(35)

θi，i-1=(ψi-1-ηi-1)Mi-1-[ψi-1cosh(ni-1Li-1)-

ηi-1cos(hi-1Li-1)]Mi

(36)

n跨連續(xù)梁相鄰兩跨轉(zhuǎn)角需滿足θi,i-1=θi,i+1，其中2≤i≤n，由式(35)、(36)得：

Xi-1Mi-1+(Yi-1+Yi)Mi+XiMi+1=0

(37)

式中：Xi=ψi-ηi;Yi=ηicos(hiLi)-ψicosh(niLi)。

以上方程組共有n-1個方程、n+1個未知數(shù)，整理成矩陣形式為

CM=0

(38)

式中：M=[M1,M2,…,Mn+1]T

n跨連續(xù)梁需滿足M1=Mn+1=0，整理式(38)得：

C0M0=0

(39)

式中：M0=[M2,M3,…,Mn]T

式(39)系數(shù)矩陣為稀疏帶狀矩陣；n跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁在任意激勵下式(39)必存在非零解，且恒成立：

(40)

式(40)即n跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程。通過計(jì)算可得該方程前n個正根，即該n跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁豎向前n階頻率。n跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁橫向振動頻率按本文方法可同樣求得，參數(shù)φ，H為考慮預(yù)應(yīng)力鋼筋橫向作用效應(yīng)時求得。由式(40)可得兩跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)頻率方程為

η1cos(h1L1)-ψ1cosh(n1L1)+

η2cos(h2L2)-ψ2cosh(n2L2)

(41)

三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程為

[η1cos(h1L1)-ψ1cosh(n1L1)+

η2cos(h2L2)-ψ2cosh(n2L2)]×

[η2cos(h2L2)-ψ2cosh(n2L2)+η3cos(h3L3)-

ψ3cosh(n3L3)]-[ψ2-η2]2=0

(42)

3 公式、試驗(yàn)與有限元分析

3.1 兩跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程驗(yàn)證

文獻(xiàn)[16]對一矩形截面體外預(yù)應(yīng)力兩跨連續(xù)梁進(jìn)行試驗(yàn)，并測得自振頻率。試驗(yàn)梁高0.36 m，寬0.17 m，材料彈性模量用實(shí)測值2.68×104MPa，預(yù)應(yīng)力鋼筋彈性模量為1.98×105MPa，預(yù)應(yīng)力鋼筋用2根1860級φ15.2鋼絞線，每根預(yù)應(yīng)力鋼絞線有效預(yù)應(yīng)力為140 kN，計(jì)算跨度(4.3+4.3) m。由式(41)所得自振頻率及試驗(yàn)梁自振頻率、實(shí)測頻率及有限元結(jié)果[12]見表1。

由表1知，本文公式計(jì)算所得兩跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁基頻與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好；與有限元及文獻(xiàn)[12]計(jì)算連續(xù)梁基頻及有限元結(jié)果相對誤差分別在2.62%，2.9%以內(nèi)，從而驗(yàn)證本文利用分段聯(lián)立方法建立多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁動力方程及所得的頻率方程的正確性；利用本文方法所求兩跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自振頻率具有足夠精度。本文方法亦可求解多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自振頻率。

表1 兩跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自振頻率公式、試驗(yàn)及有限元結(jié)果

3.2 三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程驗(yàn)證

利用推導(dǎo)的三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程式(42)求解三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自振頻率及振型，并與有限元分析結(jié)果對比。三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁見圖6，高1.0 m，寬0.7 m，計(jì)算跨度(10+ 16+10)m；混凝土等級C35；預(yù)應(yīng)力鋼筋為4根1860級φ15.2鋼絞線，每根預(yù)應(yīng)力鋼絞線有效預(yù)應(yīng)力140 kN，預(yù)應(yīng)力鋼筋布置簡化為多折線形式。

圖6 三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁示意圖

求解式(42)，頻率方程根分布情況見圖7，三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁前四階振型見圖8，三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁自振頻率、有限元結(jié)果見表2。

圖7 三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程根分布

圖8 三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振型圖

表2 三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁分析結(jié)果

由表2知，本文方法所求三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁基頻與有限元結(jié)果相對誤差為1.22%，連續(xù)梁前四階頻率與有限元分析結(jié)果平均誤差在3%內(nèi)，滿足工程需要。利用本文推導(dǎo)方程可準(zhǔn)確求得結(jié)構(gòu)動力參數(shù)、有效指導(dǎo)工程實(shí)踐。

4 結(jié) 論

(1) 詳細(xì)推導(dǎo)多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁的振動方程，給出多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程解析解。

(2) 給出多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁振動過程中預(yù)應(yīng)力變化量ΔN與位移μ(x,t)關(guān)系計(jì)算式及等效偏心距H計(jì)算式。

(3) 對兩、三跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁，本文公式計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]、實(shí)測及有限元結(jié)果吻合較好；驗(yàn)證本文推導(dǎo)的多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁頻率方程的正確性。本文公式也適用三跨以上體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁動力參數(shù)求解，將本文理論成果編寫程序予以推廣，可有效指導(dǎo)工程實(shí)踐，具有重要工程意義。

(4) 本文基于Bernoulli-Euler梁理論推導(dǎo)的多跨體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁的振動方程適用于梁撓度遠(yuǎn)小于梁長度情況，且計(jì)算精度足夠。

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