鄭澤棟，陳偉歡，呂中榮，劉濟(jì)科

(中山大學(xué) 工學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣州 510006)

基于振動結(jié)構(gòu)損傷檢測方法具有非破壞性、快速、方便等優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估與損傷識別[1]。其中基于靈敏度分析的損傷識別算法被認(rèn)為較有效。通過建立模態(tài)頻率及振型[2-3]、附加質(zhì)量[4]、自回歸系數(shù)[5]、頻響函數(shù)[6]或結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)[7-8]等可對結(jié)構(gòu)單元剛度靈敏度矩陣求解結(jié)構(gòu)損傷位置及損傷程度。然而此類算法[2-5]大多停留在少量參數(shù)(如模態(tài)頻率)對結(jié)構(gòu)參數(shù)靈敏度分析，必會丟失諸多有效信息，較難適應(yīng)于高自由度多參數(shù)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)?；陬l響函數(shù)靈敏度分析方法需同時已知激勵及響應(yīng)信息，而實際中激勵卻未知。基于響應(yīng)靈敏度分析的時域損傷識別算法[7-8]能有效避開以上缺點；但時域響應(yīng)具有偶然性，對隨機環(huán)境振動激勵下土木工程結(jié)構(gòu)應(yīng)用較困難。

本文研究基于功率譜靈敏度分析的損傷識別算法，先將激勵譜參數(shù)化，利用隨機振動虛擬激勵法獲得平穩(wěn)隨機激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)對結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)及激勵譜參數(shù)的靈敏度，采用有限元模型修正實現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷識別與激勵譜識別。經(jīng)剪切結(jié)構(gòu)損傷識別數(shù)值結(jié)果表明，該方法僅用有限個傳感器頻域數(shù)據(jù)，亦能較好識別結(jié)構(gòu)損傷及激勵譜。

1 隨機振動虛擬激勵法

虛擬激勵法[9]為隨機振動領(lǐng)域突破性發(fā)展，對推進(jìn)隨機振動成果實用性具有重要意義，已廣泛用于求解大型土木結(jié)構(gòu)的隨機地震響應(yīng)、風(fēng)激隨機響應(yīng)及車輛結(jié)構(gòu)優(yōu)化[10]等。本文討論的隨機激勵主要為多點完全相干平穩(wěn)激勵，暫不考慮其它復(fù)雜情況。

1.1 結(jié)構(gòu)單點平穩(wěn)激勵

線性系統(tǒng)受自譜密度Sff(ω)單點平穩(wěn)隨機激勵f(t)時，響應(yīng)x自功率譜Sxx(ω)為

Sxx=|H|2Sff

(1)

式中：H為頻率響應(yīng)函數(shù)，表示為

x=Heiωt

(2)

(3)

由式(3)應(yīng)有

(4)

式中：*表示共軛。

由此獲得結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)功率譜。響應(yīng)與激勵間關(guān)系為線性，虛擬激勵法即能應(yīng)用。上式未對輸入、輸出量進(jìn)行限制，即激勵可以是位移、速度、加速度或外力、扭矩等，響應(yīng)則可任意為位移、內(nèi)力或應(yīng)變等。

1.2 結(jié)構(gòu)多點完全相干平穩(wěn)激勵

結(jié)構(gòu)隨機地震響應(yīng)、風(fēng)激隨機響應(yīng)等均屬結(jié)構(gòu)受多點完全相干平穩(wěn)激勵情形，此可視為廣義單激勵問題，將以上方法稍加推廣即可簡單解決。

在頻域中求解線性結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機響應(yīng)的傳統(tǒng)公式為

Sxx=H*SffHT

(5)

式中：Sff為已知激勵譜矩陣；H為傳遞函數(shù)矩陣；Sxx為待求響應(yīng)譜矩陣；上標(biāo)*，T分別表示矩陣共軛及轉(zhuǎn)置。

Sff可分解為

Sff=a*aTS0

(6)

構(gòu)造虛擬簡諧激勵為

(7)

求出簡諧響應(yīng)x,即

x=beiωt

(8)

則

Sxx=x*xT=b*bT

(9)

(10)

所以

(11)

從而

b*bT=H*a*aTS0HT=H*SffHT

(12)

比較式(5)、(12)即可證明式(9)。

2 基于功率譜靈敏度分析的損傷識別方法

多自由度結(jié)構(gòu)受迫振動有限元方程為

(13)

式中：M，K，C分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣。阻尼矩陣采用Rayleigh阻尼模型[11]，即

C=a1M+a2K

(14)

2.1 響應(yīng)功率譜對損傷參數(shù)靈敏度

(15)

式(5)為結(jié)構(gòu)受簡諧激勵受迫振動，結(jié)構(gòu)簡諧響應(yīng)可由式(8)、(11)求得。為求得結(jié)構(gòu)簡諧響應(yīng)對結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)αi的靈敏度，式(15)兩邊對損傷參數(shù)求偏導(dǎo),即

(16)

式(16)右邊可寫成簡諧激勵形式為

(17)

結(jié)構(gòu)響應(yīng)可寫為

x=(c+d)eiωt

(18)

(19)

(20)

結(jié)構(gòu)簡諧響應(yīng)對損傷參數(shù)的靈敏度可寫為

(21)

(22)

(23)

響應(yīng)功率譜可寫為

Sxx=x*xT=c2+d2

(24)

(25)

(26)

響應(yīng)功率譜對結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)靈敏度為

(27)

(28)

(29)

2.3 損傷參數(shù)識別

為尋找損傷參數(shù)αi使計算的響應(yīng)功率譜與測量的響應(yīng)功率譜匹配最好，即

δR=Sαδα

(30)

(31)

損傷參數(shù)增量向量δα可直接用最小二乘法求得：

(32)

實際損傷檢測中，直接用最小二乘法一般不能獲得有界解，因而得不到有效解，但采用阻尼最小平方法可獲得有效、有界解[12]為

(33)

式中：λ為正則化參數(shù)，本文用L曲線方法[13]獲得該參數(shù)最優(yōu)。

修正后損傷參數(shù)向量為

α=α0+δα

(34)

式中：α0為無損傷時結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)向量。

2.4 損傷參數(shù)與激勵譜參數(shù)識別迭代算法

對激勵譜、結(jié)構(gòu)未損模型及結(jié)構(gòu)損傷后測量響應(yīng)功率譜(以加速度響應(yīng)功率譜為例)已知時，識別結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)可通過迭代步驟獲得：

(1) 由式(26)計算給定激勵譜下初始結(jié)構(gòu)(無損傷結(jié)構(gòu))的響應(yīng)功率譜，由式(29)計算響應(yīng)功率譜對損傷參數(shù)的靈敏度，形成靈敏度矩陣；

(2) 用式(30)獲得測量響應(yīng)功率譜與計算響應(yīng)功率譜差值δR；

(3) 由式(33)計算損傷參數(shù)增量δα并利用式(34)計算修正后的損傷參數(shù)α；

(4) 重復(fù)(1)～(3)，直至前后兩步增量δα達(dá)到較小誤差容許值：

(35)

3 數(shù)值算例

考慮15自由度集中質(zhì)量剪切模型見圖1，每層集中質(zhì)量2×104kg，每層剪切剛度3.23×104kN/m，前兩階阻尼比取0.02。損傷模擬設(shè)為每層剛度折減，即

Ei=(1+αi)E

(36)

式中：Ei，αi，E分別為損傷模型第i個單元剪切剛度、損傷參數(shù)及完好模型剪切剛度。單元損傷參數(shù)代表單元損傷程度。

設(shè)結(jié)構(gòu)受平穩(wěn)地面加速度地震激勵，激勵譜設(shè)為過濾白譜，其自譜為

(37)

式中：ωg=15.708 s-1為土壤參數(shù)；ζg=0.6；S0=0.001 574 m2s-3。

結(jié)構(gòu)未損與損傷后前10階固有頻率見表1。由表1看出，結(jié)構(gòu)固有頻率在損傷后有所降低，但不明顯。本章僅利用第1、7、15三個節(jié)點加速度響應(yīng)功率譜進(jìn)行損傷檢測。由于實測中往往只能較準(zhǔn)確測量到結(jié)構(gòu)前幾階固有頻率，故加速度響應(yīng)功率譜頻域僅取5 Hz以下進(jìn)行檢測，分辨率為0.02 Hz，即100個頻點，表1中只覆蓋前4階固有頻率。本文暫不考慮從實測時程信號到響應(yīng)功率譜變換過程中噪音、誤差。此處Tolerance取10-10。

圖1 剪切模型

表1 有無損傷時系統(tǒng)前10階固有頻率(Hz)比較

3.1.1 單一損傷檢測

設(shè)結(jié)構(gòu)第10個單元剛度出現(xiàn)20%折減。經(jīng)29次迭代結(jié)果見圖2。圖2表明結(jié)構(gòu)的單一局部損傷已成功檢測到，且未出現(xiàn)誤判現(xiàn)象，檢測誤差為0%。該算例表明激勵譜已知時，本文方法能成功檢測出結(jié)構(gòu)單一局部損傷。

圖2 單一損傷檢測

3.1.2 多損傷檢測

設(shè)結(jié)構(gòu)第4、10、11個單元剛度分別出現(xiàn)10%、20%、15%折減。經(jīng)24次迭代結(jié)果見圖3。圖3表明結(jié)構(gòu)的局部損傷已成功檢測到，且未誤判，檢測的最大誤差為0.3%，其它無損單位最大誤差為0.4%。該算例表明在激勵譜已知情況下本文方法能成功檢測出結(jié)構(gòu)多個位置的局部損傷。

圖3 多損傷檢測

4 結(jié) 論

本文研究基于功率譜靈敏度分析的損傷識別算法，數(shù)值算例結(jié)果表明，僅用較少傳感器響應(yīng)功率譜，在激勵譜已知時能準(zhǔn)確檢測結(jié)構(gòu)單一、多個位置局部損傷。表明本文所提方法具有一定應(yīng)用前景。對未討論的噪音及由時域信號所得結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜過程誤差對識別結(jié)果影響，有待深入研究。

[1] Messina A, Williams E J, Contursi T. Structural damage detection by a sensitivity and statistical-based method[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 216(5):791-808.

[2] Zhao J, DeWolf J T. Sensitivity study for vibrational parameters used in damage detection[J]. Journal of Structural Engineering, ASCE, 1999, 125(4):410-416.

[3] 劉濟(jì)科,李雪艷.基于靈敏度分析的機械系統(tǒng)損傷識別方法[J].機械科學(xué)與技術(shù),2002,21(3):456-459.

LIU Ji-ke, LI Xue-yan. A sensitivity based method for damage identification of mechanical structures[J]. Mechanical Science and Technology,2002,21(3):456-459.

[4] Thyagarajan S K, Schulz M J, Pai P F. Detecting structural damage using frequency response functions[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 210(1):162-170.

[5] 楊秋偉. 結(jié)構(gòu)損傷識別的附加質(zhì)量方法[J]. 工程力學(xué), 2009, 26(5):159-163.

YANG Qiu-wei. Structural damage identification by adding given masses[J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(5):159-163.

[6] 王真, 程遠(yuǎn)勝. 基于時間序列模型自回歸系數(shù)靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷識別方法[J]. 工程力學(xué), 2008, 25(10): 38-43.

WANG Zhen, CHENG Yuan-sheng. Structural damage identification based on sensitivity analysis of autoregressive coefficients of time series models[J]. Engineering Mechanics, 2008, 25(10): 38-43.

[7] Lu Z R, Law S S. Identification of system parameters and input force from output only [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(5): 2099-2111.

[8] Zhang K, Law S S, Duan Z D. Condition assessment of structures under unknown support excitation[J]. Earthquake Engineering and Engineering,2009,8(1):103-114.

[9] 林家浩, 張亞輝. 隨機振動的虛擬激勵法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2004.

[10] 徐文濤, 張亞輝, 林家浩. 基于虛擬激勵法的車輛振動靈敏度分析及優(yōu)化[J].機械強度,2010,32 (3):347-352.

XU Wen-tao. ZHANG Ya-hui. LIN Jia-hao. PEM based sensitivity analysis for vehicle ride comfort and optimization[J]. Journal of Mechanical Strength, 2010,32 (3): 347-352.

[11] Bathe K J. Finite element procedures in engineering analysis [M]. Prentice Hall,New Jersey, 1982.

[12] Tikhonov A M. On the solution of ill-posed problems and the method of regularization[J]. Soviet Mathematics, 1963, 4:1035-1038.

[13] Hansen P C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve[J]. SIAM Review,1992,34(4):561-580.