馮守良，劉慶金

(1.黑龍江工程學院 測繪工程學院，黑龍江 哈爾濱 150050；2.鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)工程測量隊，江蘇 鎮(zhèn)江 212028)

點線垂距及其方程在土地勘測定界中的應(yīng)用

馮守良1，劉慶金2

(1.黑龍江工程學院 測繪工程學院，黑龍江 哈爾濱 150050；2.鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)工程測量隊，江蘇 鎮(zhèn)江 212028)

首先把1塊已知的任意多邊形宗地沿其界址線平行向外(內(nèi))增加(減少)一定面積值時，推求平行距的解析方法；然后由推求出的平行距，應(yīng)用點到直線的垂距方程式解算新宗地界址點的坐標方法；最后給出計算實例及在Microsoft Excel表格中實施計算的全過程和方法。

多邊形；宗地；界址線；面積增量；點線垂距

土地管理部門測算用地面積工作時，經(jīng)常會遇到這樣兩種問題：一是沿已知宗地某條界址線向外(內(nèi))增加(減少)一定的面積值，以滿足對一定面積值的需求，而進行宗地新界址點的定位，屬于宗地分割；二是將已知宗地的整個界址線向外(內(nèi))成放射狀平行移動一定的距離，以滿足一定的面積要求而確定新宗地權(quán)屬界址點的位置。對于宗地形狀規(guī)則且界址點不多時，逐點解算尚屬簡單易行；但是對于宗地形狀為任意多邊形且界址點數(shù)量較多，解決上述兩個問題顯得十分麻煩。為尋求快捷、精確、方便且適合于任意多邊形宗地面積增加(減少)的推算新宗地界址點坐標(上述第二類問題)的方法，筆者應(yīng)用幾何原理推導出一組解析公式。本文給出了計算實例及在Microsoft Excel表格中實施計算的過程和方法，供從事土地勘測定界工作的讀者參考。

1 平行距h的計算思路和公式

解決上述第二類問題的關(guān)鍵是根據(jù)給定的面積增量△S推求出已知宗地界址線向外(內(nèi))放射狀平行移動的平行距h，進而才能根據(jù)平行距h解算增加(減少)后新宗地界址點的坐標。下面介紹根據(jù)欲增加(減少)的面積值△S推求宗地界址線放射狀平行移動的平行距h的方法和過程。

如圖1所示，已知值為：原宗地面積S、增加(減少)后的宗地面積S′，以及原宗地各界址點的坐標(xi，yi)，i=1，2，3，…，n。

過渡推求值：放射狀平行移動增加(減少)的面積值△S，原宗地各邊邊長Li，i+1，各邊長的方位角αi，i+1，多邊形宗地各界址點Ji處的內(nèi)角βi，i=1，2，3，…，n。

最終解算值：平行距h，增加(減少)后的宗地界址點坐標(Xi，Yi)，i=1，2，3，…，n。

圖1 任意多邊形宗地

1.1 公式的提出

推求平行距h，依次利用下列公式：

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 平行距h公式推導

如圖1所示，實線為已知的原宗地界址線，面積為S，虛線為放射狀平行移動增加(減少)后的宗地界址線，面積為S′；暈線部分為沿已知宗地界址線向外放射狀平行移動增加(減少)的面積ΔS。由此可得

ΔS=S′-S.

(5)

則ΔS>0為增加，ΔS<0為減少。

為方便推導，采用任意四邊形的宗地圖形。從J1開始，按逆時針方向依次編號，這樣編號的目的是方便多邊形內(nèi)角βi的計算。連結(jié)J1-j1′、J2-j2′、J3-j3′和J4-j4′，如圖2所示，則Ji-ji′就是多邊形內(nèi)角的角平分線。過ji分別作點Ji′處相鄰兩虛線邊的垂線，垂距為h，即平行距。兩垂線足到Ji′的平距為di，同樣有

(6)

式中:i=1,2,3,…,n。

圖2 宗地放射狀平行增加(減少)

L=(L1+d1+d2)+L2+

(L3+d3+d4)+L4=

(L1+L2+L3+L4)+

(d1+d2+d3+d4).

(7)

將式(6)代入式(7)，整理后得

(8)

圖3 增加(減少)面積ΔS

因為圖3的平行四邊形條帶狀面積為ΔS，且不顧及其正負，故得

(9)

令

C=-ΔS.

(10)

則式(9)為h的一元二次方程式

A·h2+B·h+C=0.

(11)

解式(11)的一元二次方程式，得h的解為

(12)

1.3 平行距h的取值規(guī)定

一元二次方程式(11)有兩個根,當B2-4AC>0時,即一個正實根,一個負實根。由實際情況看h為平移值,應(yīng)該總是取正實根，即取式(13)。

許多實際算例也證明只能取正實根。當取正實根時，h值雖然也有正負，但只表明是沿任意多邊形的邊界線向外平移，還是向內(nèi)平移。也即，宗地面積是增加還是減少。也就是說明平行移動的新界址點是在J1→J2→J3→J4→J1的左側(cè)還是右側(cè)。

這一點也可以從ΔS的值看出。當ΔS>0時，向外平移，面積增大，計算得h>0。當ΔS<0時，向內(nèi)平移，面積減小，計算得h<0。因此，式(12)變?yōu)槭?13)

(13)

此式是推求平行距h的最終計算式。

2 新宗地界址點坐標的推算

以上介紹了由宗地界址線放射狀平行移動增(減)量ΔS推算平行距h的方法和過程。下面將討論由平行距h推算新宗地界址點坐標的方法和過程。

為討論方便起見，抽取圖1中任意多邊形宗地某兩條相鄰邊，即Ji-1→Ji→Ji+1進行討論，如圖4所示。

圖4 點線距

已知ji-1(xi-1,yi-1)，ji(xi,yi)，ji+1(xi+1，yi+1)。推算ji-1→ji邊的方位角αi-1，i和ji→ji+1邊的方位角αi，i+1。對應(yīng)的新宗地界址點為Ji-1(Xi-1Yi-1)，Ji(Xi，Yi)，Ji+1(Xi+1，Yi+1)。如圖4所示，由直線外任意一點到直線的垂距公式得方程

(xi-Xi)sinαi-1,i-(yi-Yi)cosαi-1,i=h.

(14)

(xi-Xi)sinαi,i+1-(yi-Yi)cosαi,i+1=h.

(15)

式(15)為界址點ji(xi，yi)到直線Ji(Xi,Yi)→Ji+1(Xi+1,Yi+1)的垂距公式。界址點ji(xi，yi)在直線Ji，i+1→Ji的左側(cè)，所以h取“+”。

由圖4可以看出，新宗地界址邊與原宗地界址邊平行，邊長方位角方向一致。新界址點坐標是2條新宗地虛界址線相交所得，因此，歸納(14)和(15)兩式，展開并整理得二元一次方程組

(16)

解式(16)方程組得新界址點Ji′(Xi，Yi)公式為

(17)

由于解方程組(16)的過程較多且較復(fù)雜，本文只給出結(jié)果式(17)，推導全過程省略。讀者可以放心使用。

3 新界址點Ji(Xi，Yi)坐標計算幾點說明

1)原宗地界址點號按逆時針方向進行編號，經(jīng)放射狀平行移動增加(減少)所得新宗地，其新界址點編號順序與原宗地對應(yīng)一致，這樣可以確保計算的宗地面積恒為正。

2)用式(17)計算新宗地界址點坐標Ji(Xi，Yi)時，其中h直接用表1計算所得之值代入式(17)進行計算，無需另行判斷原宗地界址點ji(xi,yi)是否在新宗地界址線Ji-1→Ji→Ji+1的左側(cè)或右側(cè)。

3)如果測量工作只要求把已知宗地界址線放射狀向外(內(nèi))平行移動一個給定距離h(如上述一類問題)，推算以確定新宗地權(quán)屬界址點Ji(Xi，Yi)，則此時就可以直接利用式(17)。如果是向外平行移動，則h>0；如果是向內(nèi)平行移動，則h<0。因此，省略了根據(jù)ΔS計算h的過程。

4)由式(17)可以看出，當αi-1，i和αi，i+1相等時，方程式(17)不存在，2條界址線Ji-1→Ji和Ji→Ji+1成1條直線，因此，Ji(Xi，Yi)無解。

5)式(17)也適用于帶狀折線工程，如已知折線狀道路中心線，推求位于其左側(cè)或右側(cè)一定寬度h邊線拐點坐標的情形。這時，待定拐點Ji(Xi，Yi)位于道路中線ji-1→ji→ji+1的左側(cè)時，h取正值，反之右側(cè)時h取負值，但折線的方位角αi-1，i和αi，i+1仍須計算。本文將不再討論。對此感興趣的讀者可以嘗試其實際應(yīng)用。

4 算例及Excel計算表式

已知數(shù)據(jù)與h的推算值如表1所示。

4.1 平行距h的推算實例及編表說明

表1中各單元格輸入計算公式說明如下:D列和F列分別為原宗地界址點坐標x和y。C列為原宗地面積計算分量，式C5=(D4*F6-D6*F4)/2，填充到C15；C19單元格為原宗地面積終值，C19=SUM(C5:C15)。界址點依順時針方向編號，宗地面積值為正號，反之為負號。本文為依逆時針方向編號，為保證面積為正數(shù)，求和時添加了“-”號。

表1 平行距h的Excel推算

H3=SQRT(E3^2+G3^2),填充至H15單元格，為原宗地各界址邊之長Li。邊長Li值之和為H20=SUM(H5:H15)，H3不參與。I列為原宗地界址邊的方位角，公式輸入為I3=IF(G3=0，90-DEGREES(ASIN(E3/H3)，180-90*SIGN(G3)-DEGREES(ATAN(E3/G3)))，填充至I15。J列為原宗地相鄰界址邊的夾角，即宗地多邊形的內(nèi)角βi。

J4=IF(I5-I3+180<0,I5-I3+540,IF(I5-I3+180>360,I5-I3-180,I5-I3+180)),填充至J14單元格。J18=SUM(J4:J14),如果J4到J14計算無誤，J18=I17=(n-2)*180=(6-2)*180。

K列為宗地多邊形內(nèi)角之半的正切值的倒數(shù)1/tan(βi/2)；輸入公式K4=1/TAN((J4/2)*PI()/180)，填充到J14；K20=SUM(K4:K14),是A=∑1/tan(βi/2)的值。

H20=SUM(H5:H15)是求h值的參數(shù)B值。E20=-(C21-C19)，為宗地增(減)的定值，ΔS=S′-S，是求h的參數(shù)C值。

C22單元格為平行距h的最終計算值，輸入公式C22=(-H20+ SQRT(H20^2-4*K20*E20))/(2*K20)。至此平行距h已求得。

4.2 新宗地界址點坐標推算實例及編表說明

表2中，B列和C列為原宗地界址點的已知坐標x和y；D列為相鄰界址點邊長的方位角，從表1中的計算結(jié)果錄入，已被隱藏掉。E列與F列分別為新宗地界址點的推算坐標X和Y，h=2.091 m由表1推算出，如表2所示。

表2 由h推算新宗地界址點坐標和面積

表2中計算公式：E3=B3+(COS(D4*PI()/180)-COS(D2*PI()/180))*MYMFMYM18/SIN((D4-D2)*PI()/180),填充至E15單元格，E列為新宗地各界址點的Xi坐標；F3=C3+(SIN(D4*PI()/180)-SIN(D2*PI()/180))*MYMFMYM18/SIN((D4-D2)*PI()/180),填充至F15單元格，F(xiàn)列為新宗地各界址點的Yi坐標；G4到G14為新宗地面積計算分量，G4=(E3*F5-E5*F3)/2，即(Xi*Yi+1-XI+1*Yi)/2,填充至G14單元格，F(xiàn)17為新宗地最終面積值，則新宗地面積S′為：G17=SUM(G4:G14)。計算結(jié)果與要求的定值相等。由于本文新宗地界址點也是按逆時針方向編號，為確保面積值為正，故公式中同樣添加了“-”號。

B列為宗地多邊形界址邊的方位角αi，由于只參與計算，所以隱藏了；表2中4、6、8、10、12、14行，同樣隱藏了，表格顯得美觀。

5 結(jié)束語

本文根據(jù)點線垂距及其方程，將1塊任意多邊形宗地，按給定的面積要求，沿宗地界址線放射狀平行增加(減小)時，推算所得新宗地界址點坐標的方法和過程。這對于從事土地測量工作，在撥地定樁時具有一定應(yīng)用價值。

該方法的理論和實際以及推算過程并不復(fù)雜，都能容易被測量工作所接受和應(yīng)用。

本文給出的EXCEL計算實例，雖然適合本算例，但對于界址點較多的宗地，只要略通EXCEL表的技術(shù)人員稍加調(diào)整即可。

[1]徐時濤，夏英宣 ．實用測量學[M]．重慶：重慶大學出版社，1990.

[2]侯曉真，于瑞鵬.道路勘測階段控制測量方法的研究[J].測繪工程，2012，21(4)：70-73.

[3]侯樹兵，李偉.農(nóng)村集體土地使用權(quán)地籍調(diào)查探討[J].測繪工程，2014,23(5)：46-50.

[4]李金如 ．地形測量學[M]．北京：地質(zhì)出版社，1983.

[5]韋春竹，鄭文鋒，孟慶巖，等.基于元胞自動機的遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在土地利用變化模擬分析中的應(yīng)用[J].測繪工程，2014,23(1)：45-49.

[6]赫天沛.土地二調(diào)質(zhì)檢中有關(guān)“疑問圖斑”的探討[J].測繪工程，2013,22(2)：45-47.

[7]武漢測繪學院編寫組 ．測量學[M]．北京：測繪出版社，1987.

[責任編輯：郝麗英]

Applicationofoffsetofpointtolineanditsequationtolandsurveydelimitation

FENG Shou-liang1，LIU Qing-jin2

(1.College of Surveying and Mapping Engineering,Heilongjiang Institute of Technology,Harbin 150050,China;2.Zhenjiang Dantu District Engineering Surveying Team,Jingsu 212028,China)

It first introduces the analytical method of calculating the parallel distance,after the known cases of arbitrary polygon puts along its property line parallel to the outside (inside) increasing (decreasing) a certain area of value. Then,according to the parallel distance calculated,with point to linear offset equations the coordinates of the boundary point on the new parcel are calculated. Also a calculation example in Microsoft Excel table to implement the whole process and method of calculation is given.

polygon;parcel;property line;area;offset of point to line

2014-05-06

馮守良(1956-)，男，高級工程師，研究方向：工程測量.

P221

A

1671-4679(2014)05-0003-05