岳欠杯，賈春雨，劉巨保，李治淼

（1.東北石油大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318；大慶石化公司，黑龍江 大慶163714）①

由于水泥漿膠凝過(guò)程中各種復(fù)雜的物理化學(xué)變化［1－4］，使得作用在套管的溫度及壓力載荷發(fā)生很大的變化，繼而影響其受力和形變。為了防止套管損壞，人們的注意力主要集中在機(jī)械和化學(xué)作用2個(gè)方面，而很少考慮水泥漿膠凝過(guò)程中套管狀態(tài)的變化。因此，研究套管柱在水泥漿膠凝失重過(guò)程中的受力和形變規(guī)律是很有必要的。目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于套管在水泥漿候凝期間的力學(xué)分析比較少。李子豐首次采用室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)水泥漿凝固過(guò)程中套管柱的軸向受力變化規(guī)律進(jìn)行初步研究［5］；呂苗榮［6］利用數(shù)值計(jì)算方法得到了水泥膠凝過(guò)程中溫度變化的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，對(duì)油田實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得出了水泥漿失重時(shí)的壓力計(jì)算公式，采用有限元分析方法對(duì)水泥漿膠凝期間套管柱進(jìn)行力學(xué)分析。在這些研究中，沒有考慮水泥漿凝固過(guò)程中的相變對(duì)套管溫度的影響，也沒有考慮水泥漿體積膨脹或收縮對(duì)套管作用力的影響。為此，本文選取井口到井底的整體套管柱為研究對(duì)象，采用有限元的分析方法，綜合考慮候凝期間水泥漿候凝期間相變熱傳導(dǎo)及體積變化現(xiàn)象、套管內(nèi)外介質(zhì)密度、以及封固長(zhǎng)度變化等因素，建立水泥漿候凝期間的套管柱進(jìn)行力學(xué)分析方法，為套管柱設(shè)計(jì)、優(yōu)化封固段長(zhǎng)度、合理釋放固井候凝過(guò)程中管柱的應(yīng)力提供理論方法和技術(shù)手段，也必將成為完井套管柱設(shè)計(jì)的新方向。

1 水泥漿候凝期間相變熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型

水泥漿的凝固過(guò)程是指液態(tài)泥漿由液相向固相的轉(zhuǎn)變過(guò)程。其凝固過(guò)程涉及復(fù)雜的物理和化學(xué)變化，其中包括熱量、動(dòng)量、質(zhì)量傳輸和相變等。本文根據(jù)水泥漿凝固期間發(fā)生一系列復(fù)雜的物理化學(xué)變化［7］，建立了考慮水泥漿相變熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，并采用3個(gè)方面假設(shè)：

1） 液體水泥漿的初始溫度即為注入溫度。

2） 套管材料的熱物性值取為常數(shù)。

3） 水泥漿的凝固過(guò)程可以看成是一個(gè)不穩(wěn)定導(dǎo)熱過(guò)程，考慮了相變及潛熱的釋放對(duì)系統(tǒng)的影響，其控制方程為：

式中：ρ 為水泥漿的密度，kg／m3；k 為導(dǎo)熱系數(shù)，W／（m·℃）；Cp為比熱容，J／kg·℃；Q為內(nèi)熱源，J；T為溫度，℃；t為時(shí)間，s；x、y、z為任意點(diǎn)的坐標(biāo)，m。

水泥漿、套管及地層系統(tǒng)中，其初始條件和邊界條件如表1所示。

表1 水泥漿候凝期間相變熱傳導(dǎo)的初始條件和邊界條件

表1中，Tp為水泥漿注入溫度，℃；x，y，z為任意點(diǎn)的坐標(biāo)，m；T0為地層溫度，℃；k1、k2為相互接觸的二種固相的導(dǎo)熱系數(shù)，W／（m·℃）；T∞為hc流體介質(zhì)的溫度，℃ ；hc為對(duì)流換熱系數(shù)，W／（m2·℃），T∞和hc可以是常數(shù)，也可以是隨時(shí)間和位置而變化的函數(shù)。

在水泥漿凝固的過(guò)程中，同時(shí)將伴隨著凝固潛熱（也稱熔化潛熱或結(jié)晶潛熱）的釋放［7］。對(duì)于式（1）第2項(xiàng)潛熱項(xiàng)可以表示成：

式中：L為水泥漿的井深；gs為固相體積分?jǐn)?shù)。

這樣三維不穩(wěn)定導(dǎo)熱偏微分方程變?yōu)椋?/p>

凝固潛熱項(xiàng)亦可變換為如下形式：

式中：L為凝固潛熱，J／kg；fs為固相質(zhì)量分?jǐn)?shù)；gs為固相體積分?jǐn)?shù)。

令C′＝Cρ－，則水泥漿膠凝期間整個(gè)系統(tǒng)的不穩(wěn)定熱傳導(dǎo)方程為：

對(duì)式（5）進(jìn)行求解可得出水泥漿及套管柱沿任意井深的溫度分布。

2 水泥漿候凝期間套管柱力學(xué)模型

選取井口到井底的套管柱為研究對(duì)象，如圖1所示。套管柱軸線為1條不同曲率的空間螺旋線。井口為軸向等效剛度邊界（根據(jù)套管頭和連接套管結(jié)構(gòu)等效）；在封固段內(nèi)，當(dāng)水泥漿呈液態(tài)和塑態(tài)時(shí)，套管與井壁之間沿井深和圓周方向產(chǎn)生隨機(jī)接觸摩擦，屬自由接觸摩擦邊界；一旦水泥漿完全凝固，套管的形變便被固結(jié)在水泥石中，對(duì)套管施加已知位移邊界。

圖1 套管柱候凝期間力學(xué)模型

在外載荷方面主要有套管的自重力、管內(nèi)外液體的壓力、溫度載荷，在套管柱與井壁接觸處有接觸力和摩阻力，尤其是考慮了水泥漿凝固過(guò)程中對(duì)套管產(chǎn)生的有效漿柱壓力及粘滯阻力等。

3 水泥漿候凝期間套管柱的有限元分析理論

用一般有限元法把從井口到井底整體套管柱沿軸線離散為若干個(gè)空間梁?jiǎn)卧?，根?jù)間隙元的基本理論［6－8］在套管的每個(gè)節(jié)點(diǎn)處設(shè)置多向接觸摩擦間隙元來(lái)模擬套管與井壁的接觸狀態(tài)，間隙元的位置如圖2所示，在套管柱的封固段還構(gòu)造了水泥漿由流體轉(zhuǎn)變?yōu)楣腆w的單元，如圖3所示。

圖2 間隙元位置示意

圖3 水泥漿由流體轉(zhuǎn)變?yōu)楣腆w單元示意

對(duì)候凝期間的套管柱進(jìn)行準(zhǔn)動(dòng)態(tài)力學(xué)分析，根據(jù)水泥漿的凝固方式為由下向上逐漸凝固，設(shè)在整個(gè)固井過(guò)程中水泥漿的凝固時(shí)間為tz，將整個(gè)凝固過(guò)程分成若干個(gè)時(shí)間段，得出時(shí)間步長(zhǎng)dt。

利用有限元分析理論建立套管柱在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)中的平衡方程為：

式中：K0K、KG（d）k為第k 步套管柱的剛度、間隙元?jiǎng)偠染仃?；q為套管柱的自重力；RG（d）k、Tk為第k 步套管與井壁的接觸反力、套管柱的溫度；Pk為水泥漿候凝期間由于體系的變化對(duì)套管產(chǎn)生的作用力，Pk＝Pkn＋Pkτ，其中，Pkn為水泥漿體積膨脹或收縮對(duì)套管外壁的擠壓力，計(jì)算公式見式（11）；Pkτ為水泥漿膠凝懸掛效應(yīng)對(duì)套管外壁產(chǎn)生粘滯阻力，計(jì)算公式見式（12）。

式中：B、Dep、ΔεT為水泥漿的應(yīng)變矩陣、彈塑性矩陣、應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)對(duì)式（10）求解，即可得出套管柱的內(nèi)力、應(yīng)力及位移，在整個(gè)候凝期間，套管柱的力學(xué)計(jì)算迭代過(guò)程如圖4所示。

圖4 水泥漿候凝期間套管串力學(xué)計(jì)算框圖

4 工程應(yīng)用

4.1 徐深44井套管井口載荷計(jì)算結(jié)果分析

基于上述模型及理論方法對(duì)大慶油田徐深44井（井型為直井，其井深示意圖如圖5所示）套管柱在候凝期間的井口載荷變化規(guī)律進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，為了驗(yàn)證其結(jié)果的正確性，利用TS3828型動(dòng)態(tài)電子應(yīng)變儀對(duì)徐深44井固井過(guò)程中的套管井口應(yīng)變進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試（測(cè)試裝置如圖6），將測(cè)得的應(yīng)變值轉(zhuǎn)換成軸向力，得出理論和實(shí)測(cè)井口載荷隨候凝時(shí)間的變化曲線如圖7所示。

由圖7可知，理論計(jì)算與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)得到的套管井口載荷隨著候凝時(shí)間的變化趨勢(shì)大致相同，由計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)可知徐深44井在候凝過(guò)程中，在候凝時(shí)間為0.00h～45.00h的57個(gè)計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)中，理論計(jì)算和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試井口載荷的符合率為98%，因此可驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性。

圖5 徐深44井井深示意

由圖7可看出，在候凝時(shí)間為0～10h，此時(shí)水泥漿處于膠凝期，由于膠凝失重與體積膨脹效應(yīng)的綜合影響，使其載荷波動(dòng)比較大，在候凝時(shí)間為10～28h，處于凝結(jié)期，水化體積收縮失重導(dǎo)致水泥漿有效漿柱壓力降低，因此，套管井口載荷隨著候凝時(shí)間的推移，其數(shù)值逐漸增大。在候凝時(shí)間為28～45 h，由于套管最底端水泥漿已完全凝固，套管形變已被固結(jié)在水泥石中，這時(shí)套管井口載荷仍呈現(xiàn)明顯的遞增變化。由理論計(jì)算結(jié)果還可得出，徐深44井井深為4 190m，封固段長(zhǎng)度為1 190m，候凝時(shí)間為45h，候凝開始時(shí)，套管井口為1 033.1kN。當(dāng)封固段完全凝固時(shí)，井口載荷變?yōu)? 135.4kN。因此可得出，徐深44井在水泥漿候凝期間，套管井口附加載荷值為102.3kN。

圖6 測(cè)試裝置示意

圖7 水泥漿候凝期間井口載荷隨候凝時(shí)間的變化曲線

4.2 固井過(guò)程中封固段長(zhǎng)度對(duì)套管井口載荷影響規(guī)律分析

在固井過(guò)程中，為了分析封固段長(zhǎng)度對(duì)套管井口載荷的影響規(guī)律，仍以徐深44井為例，采用相同的水泥漿體系，對(duì)封固段長(zhǎng)度分別為1 190、1 500、2 000、2 500、3 000、3 500、4 190m（全封）的套管柱進(jìn)行了計(jì)算，得到水泥漿完全凝固后套管井口載荷及附加載荷值如表2所示，其變化曲線如圖8。

表2 水泥漿完全凝固后套管井口載荷及附加載荷隨封固段長(zhǎng)度的變化數(shù)據(jù)

圖8 水泥漿完全凝固后套管井口載荷及附加載荷隨封固段長(zhǎng)度的變化曲線

由表2和圖8可得出，在固井過(guò)程中，由于封固段長(zhǎng)度不同，當(dāng)水泥漿完全凝固后，由于水泥漿結(jié)構(gòu)體系的復(fù)雜變化使套管井口載荷及附加載荷數(shù)值也不相同，呈現(xiàn)非線性變化。由鉆井手冊(cè)可知，套管采用P110材料的最大抗拉強(qiáng)度為2 900kN，抗拉強(qiáng)度許用安全系數(shù)為1.45，可計(jì)算出套管的許用拉伸載荷為2 000kN。由計(jì)算結(jié)果可知，徐深44井封固段長(zhǎng)度為4 190m（全封）時(shí)，套管的井口載荷已達(dá)到2 304.1kN，大于套管的許用載荷。因此，綜合考慮各種因素，徐深44井在固井過(guò)程中，應(yīng)選擇合理的封固段長(zhǎng)度約為3 500m，即為井深的3／4長(zhǎng)度。

5 結(jié)論

1） 建立的水泥漿候凝期間的力學(xué)模型，能夠綜合考慮水泥漿凝固期間復(fù)雜體系變化對(duì)套管柱受力的影響，同時(shí)還考慮了套管柱在固井過(guò)程中復(fù)雜的邊界條件及各種外載荷，使套管柱在水泥漿候凝期間的受力狀態(tài)得到合理描述。

2） 構(gòu)造的水泥漿由流體轉(zhuǎn)化成固體單元，能夠合理描述水泥漿由液體變成固體狀態(tài)時(shí)對(duì)套管柱邊界條件及受力的影響。

3） 采用本文中的理論方法對(duì)大慶徐深44井固井過(guò)程中的套管柱的進(jìn)行了力學(xué)分析，得出套管柱井口載荷隨候凝時(shí)間的變化曲線。利用TS3828型動(dòng)態(tài)電子應(yīng)變儀得出實(shí)測(cè)井口載荷隨候凝時(shí)間的變化曲線。把現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試與軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值符合率為98%，由此可驗(yàn)證采用該方法來(lái)預(yù)測(cè)在水泥漿候凝過(guò)程中套管受力狀態(tài)是正確的。

4） 通過(guò)分析計(jì)算結(jié)果，可得出徐深44井井深為4 190m，封固段長(zhǎng)度為1 190m，候凝時(shí)間為45h，套管柱井口載荷由1033.1kN增加到1135.4 kN。因此可得出，徐深44井在水泥漿候凝期間，套管井口附加載荷為102.3kN。

5） 通過(guò)對(duì)不同封固段長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算可得出徐深44井在固井過(guò)程中應(yīng)選擇合理的封固段長(zhǎng)度約為3 500m，即為井深的3／4長(zhǎng)度。

6） 本文的研究方法將為套管柱設(shè)計(jì)、優(yōu)化封固段長(zhǎng)度、合理釋放固井候凝過(guò)程中管柱的應(yīng)力提供理論方法和技術(shù)手段。

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