南 基 洙， 王 春 月,2， 張 慶 成

( 1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116024；2.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130052；3.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130024 )

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Hom-結(jié)合超代數(shù)的表示和上同調(diào)

南 基 洙1， 王 春 月1,2， 張 慶 成*3

( 1.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116024；2.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130052；3.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130024 )

Hom-結(jié)合超代數(shù)；表示；上同調(diào)

0 引 言

結(jié)合超代數(shù)對(duì)很多代數(shù)結(jié)構(gòu)研究都具有重要的作用．研究者對(duì)結(jié)合超代數(shù)的研究越來(lái)越感興趣．Ayadi等研究了具有非退化、超對(duì)稱(chēng)、不變雙線性型結(jié)合超代數(shù)的結(jié)構(gòu)和雙擴(kuò)張[1]．Montaner給出了結(jié)合超代數(shù)的理想與Lie超代數(shù)的理想之間的關(guān)系[2]．Laliena等研究了具有超對(duì)合的結(jié)合超代數(shù)結(jié)構(gòu)與具有反對(duì)稱(chēng)元素的Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系[3]．

Hom-代數(shù)結(jié)構(gòu)首先出現(xiàn)在Lie代數(shù)擬形變中．近年來(lái)，關(guān)于Hom-代數(shù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)涌現(xiàn)了很多研究結(jié)果[4-7]．Ammar等給出了Hom-結(jié)合代數(shù)的上同調(diào)群[8]．Makhlouf等研究了Hom-結(jié)合代數(shù)的低階上同調(diào)群[9]．而Ammar等在研究Hom-Lie超代數(shù)和Hom-Lie可許超代數(shù)的結(jié)構(gòu)時(shí)提出了Hom-結(jié)合超代數(shù)的定義[10]，它對(duì)研究Hom-Lie超代數(shù)起著重要的作用．對(duì)于Hom-結(jié)合超代數(shù)還有許多問(wèn)題值得研究．本文將Hom-結(jié)合代數(shù)的上同調(diào)群推廣到Hom-結(jié)合超代數(shù)，主要研究Hom-結(jié)合超代數(shù)的表示和上同調(diào)．

1 基本概念

首先研究Hom-結(jié)合超代數(shù)的一些基本性質(zhì)，給出Hom-結(jié)合超代數(shù)表示的定義．

本文中所有的超線性空間和超代數(shù)都是復(fù)數(shù)域上的超線性空間和超代數(shù)，齊次元素x的次數(shù)記為|x|．

定義1[2]設(shè)A是一個(gè)超線性空間，°:A×A→A是一個(gè)偶雙線性映射，φ:A→A是一個(gè)偶線性映射．對(duì)任意的x，y，z∈A，滿足

(x°y)°φ(z)=φ(x)°(y°z)

則稱(chēng)(A，°，φ)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)．

設(shè)(A1，°1，φ1)和(A2，°2，φ2)是兩個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，f:A1→A2是一個(gè)偶線性映射．若f滿足

f(x°1y)=f(x)°2f(y)，fφ1=φ2f

稱(chēng)偶線性映射f是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)的同態(tài)．

注當(dāng)φ=id時(shí)，Hom-結(jié)合超代數(shù)是結(jié)合超代數(shù)．若偶線性映射φ:A→A滿足φ(x°y)=φ(x)°φ(y)，則稱(chēng)(A，°，φ)是一個(gè)保運(yùn)算的Hom-結(jié)合超代數(shù)．

下面定理給出了由一個(gè)結(jié)合超代數(shù)和一個(gè)偶的結(jié)合超代數(shù)自同態(tài)構(gòu)造一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)的方法．

定理1設(shè)(A，°)是一個(gè)結(jié)合超代數(shù)，φ:A→A是一個(gè)偶的結(jié)合超代數(shù)自同態(tài)，任取x，y∈A，定義運(yùn)算x°φy=φ(x°y)，則(A，°φ，φ)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)．

證明任取x，y，z∈A，則

(x°φy)°φφ(z)=φ2((x°y)°z)=φ2(x°(y°z))=φ(x)°φ(y°φz)

因此(A，°φ，φ)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)．

e0°e0=k1e0，e0°e1=k1e1，

e1°e0=k1e1，e1°e1=k2e0；k1，k2≠0

然而(A，°φ)不是一個(gè)結(jié)合超代數(shù)．事實(shí)上，當(dāng)a≠±1時(shí)，

(e0°φe1)°φe1=k1k2e0≠e0°φ(e1°φe1)=a2k1k2e0；

(e1°φe1)°φe0=a2k1k2e0≠e1°φ(e1°φe0)=k1k2e0

命題1設(shè)(A1，°1，φ1)和(A2，°2，φ2)是兩個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，對(duì)任意a1，a2∈A1，b1，b2∈A2，定義一個(gè)偶雙線性映射：

°：(A⊕B)×(A⊕B)→(A⊕B)

(a1+b1)°(a2+b2)=a1°1a2+b1°2b2

對(duì)任意a∈A1，b∈A2，定義一個(gè)偶映射

(φ1+φ2)：A1⊕A2→A1⊕A2

(φ1+φ2)(a+b)=φ1(a)+φ2(b)

則(A1⊕A2，°，φ1+φ2)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)．

證明顯然A1⊕A2是一個(gè)超線性空間，φ1+φ2是一個(gè)偶線性映射．任取a1，a2，a3∈A1，b1，b2，b3∈A2，由(A1，°1，φ1)和(A2，°2，φ2)是兩個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，則有

((a1+b1)°(a2+b2))°((φ1+φ2)(a3+b3))=(a1°1a2)°1φ1(a3)+(b1°2b2)°2φ2(b3)=φ1(a1)°1(a2°1a3)+φ2(b1)°2(b2°2b3)=((φ1+φ2)(a1+b1))°((a2+b2)°(a3+b3))

因此(A1⊕A2，°，φ1+φ2)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)．

定義2設(shè)(A，°，φA)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，V是一個(gè)超線性空間，φV：V→V是V的一個(gè)偶線性映射．在V上定義線性運(yùn)算·：A×V→V，(x，v)x·v，使得下列條件成立：任取x，y∈A，v∈V，

(1)x·v∈Vθ+μ， ?x∈Aθ，?v∈Vμ；

(2)φV(x·v)=φA(x)·φV(v)；

(3)(x°y)·φV(v)=φA(x)·(y·v)稱(chēng)(V，·，φV) 是一個(gè)Hom-左A-模．

同樣可以定義Hom-右A-模．

定義3設(shè)(A，°，φA)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，V是一個(gè)超線性空間，φV：V→V是V的一個(gè)偶線性映射．在V上定義線性運(yùn)算·：V×A→V，(v，x)v·x，使得下列條件成立：任取x，y∈A，v∈V，

(1)v·x∈Vθ+μ，?x∈Aθ，?v∈Vμ；

(2)φV(v·x)=φV(v)·φA(x)；

稱(chēng)(V，·，φV)是一個(gè)Hom-右A-模．

若(V，·，φV)既是一個(gè)Hom-左A-模又是一個(gè)Hom-右A-模，且滿足

φA(x)·(v·y)=(x·v)·φA(y)

則稱(chēng)(V，·，φV)是一個(gè)Hom-A-雙模．

例2(A，°，φA)是一個(gè)Hom-A-雙模．

例3設(shè)A是一個(gè)結(jié)合超代數(shù)，(V，·)是一個(gè)A-雙模，則(V，·)也是一個(gè)Hom-A-雙模．事實(shí)上，相當(dāng)于φV=idV．

定義4設(shè)(A，°，φA)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，V是一個(gè)超線性空間，φV：V→V是一個(gè)偶線性映射．如果偶線性映射ρφV：A→gl(V)滿足下列條件：

(1)ρφV(φA(x))φV=φVρφV(x);

本次研究中接受放療治療的71例腫瘤患者應(yīng)用CT模擬定位掃描技術(shù)均實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確定位靶區(qū)，且病灶區(qū)域、靶區(qū)及毗鄰組織的界限清晰，療程結(jié)束后復(fù)查CT，并判定療效，結(jié)果顯示符合完全緩解的有26例，占36.62%，符合部分緩解的有42例，占59.15%，總有效率達(dá)到了95.77%，但仍有2例穩(wěn)定，1例進(jìn)展?；颊叻暖熎陂g均未見(jiàn)嚴(yán)重不良反應(yīng)及并發(fā)癥。

(2)ρφV(x°y)φV=ρφV(φA(x))ρφV(y)

則稱(chēng)ρφV是關(guān)于φV的(A，°，φA)在V上的一個(gè)表示．

如果定義ρφV(x)(v)=x·v(或ρφV(x)(v)=(-1)|x||v|v·x)，則Hom-左(右)A-模(V，φV)與表示ρφV一一對(duì)應(yīng)．

命題2設(shè)(A1，°1，φ1)和(A2，°2，φ2)是兩個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，φ：A2→A1是一個(gè)偶的Hom-結(jié)合超代數(shù)的同態(tài)，(V，·，φV)是任意一個(gè)Hom-A1-雙模．任取a2∈A2，v∈V，定義

a2·′v=φ(a2)·v，v·′a2=v·φ(a2)

則(V，·′，φV)是一個(gè)Hom-A2-雙模．

證明任取v∈V，a2，b2∈A2，則有

φV(a2·′v)=φV(φ(a2)·v)=φ1(φ(a2))·φV(v)=φ(φ2(a2))·φV(v)=φ2(a2)·′φV(v)；

(a2°2b2)·′φV(v)=φ(a2°2b2)·φV(v)=(φ(a2)°1φ(b2))·φV(v)=φ2(a2)·′(b2·′v)

因此(V，·′，φV)是一個(gè)Hom-左A2-模．

同理可證(V，·′，φV)是一個(gè)Hom-右A2-模．

又因?yàn)?/p>

φ2(a2)·′(v·′b2)=φ(φ2(a2))·(v·φ(b2))=φ1(φ(a2))·(v·φ(b2))=(φ(a2)·v)·φ1(φ(b2))=(φ(a2)·v)·φ(φ2(b2))=(a2·′v)·′φ2(b2)

所以(V，·′，φV)是一個(gè)Hom-A2-雙模．

2 Hom-結(jié)合超代數(shù)的上同調(diào)

下面將給出Hom-結(jié)合超代數(shù)上同調(diào)的定義．本章中所有的Hom-結(jié)合超代數(shù)都是保運(yùn)算的Hom-結(jié)合超代數(shù)．對(duì)所有齊次元素(a1，a2，…，an)∈An，記

|(a1，a2，…，an)|=|a1|+|a2|+…+|an|

定義5設(shè)(A，°，φA)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，(V，·，φV)是一個(gè)Hom-A-雙模．如果齊次n-線性映射f：?nA→V滿足

(1)f(a1，a2，…，an)∈Vα，其中|f|+|a1|+|a2|+…+|an|=α；

(2)f(a1，a2，…，ai，ai+1，…，an)=-(-1)|ai||ai+1|f(a1，a2，…，ai+1，ai，…，an)；

(3)φV(f(a1，a2，…，an))=f(φA(a1)，φA(a2)，…，φA(an))

定義6設(shè)(A，°，φA)是一個(gè)Hom-結(jié)合超代數(shù)，(V，·，φV)是一個(gè)Hom-A-雙模．定義一個(gè)偶線性映射

為

定義7

3 結(jié) 語(yǔ)

本文給出了Hom-結(jié)合超代數(shù)的表示和雙模的定義，并以此研究了Hom-結(jié)合超代數(shù)的上同調(diào)．

[1] Ayadi I, Benayadi S. Associative superalgebras with homogeneous symmetric structures [J].CommunicationinAlgebra, 2012,40(4):1234-1259.

[2] Montaner F. On the Lie structure of associative superalgebras [J].CommunicationinAlgebra, 1998,26(7):2337-2349.

[3] Laliena J, Sacristan S. On certain semiprime associative superalgebras [J].CommunicationinAlgebra, 2009,37(10):3548-3552.

[4] Makhlouf A, Silvestrov S. Hom-algebra structure [J].JournalofGeneralizedLieTheoryandApplications, 2008,2(2):51-64.

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[8] Ammar F, Ejbehi Z, Makhlouf A. Cohomology and deformations of Hom-algebras [J].JournalofLieTheory, 2011,21(4):813-836.

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[10] Ammar F, Makhlouf A. Hom-Lie superalgebras and Hom-Lie admissible superalgebras [J].JournalofAlgebra, 2010,324(7):1513-1528.

RepresentationandcohomologyofHom-associativesuperalgebras

NAN Ji-zhu1， WANG Chun-yue1,2， ZHANG Qing-cheng*3

( 1.School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.School of Applied Sciences, Jilin Teachers′ Institute of Engineering and Technology, Changchun 130052, China；3.School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China )

Hom-associative superalgebras; representation; cohomology

1000-8608(2014)06-0702-05

2014-01-04；

: 2014-08-04．

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(201101647)；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20130101068).

南基洙(1965-)，男，教授，E-mail:jznan@163.com；王春月(1979-)，女，博士生，E-mail:wang1chun2yue3@163.com；張慶成*(1960-)，男，教授，E-mail:zhangqc569@nenu.edu.cn.

O152.5

：Adoi:10.7511/dllgxb201406016