周文杰, 王樂勤, 邢桂坤, 翟璐璐 , 魏雪松 , 吳大轉(zhuǎn)

(1.浙江大學(xué) 化工機(jī)械研究所，杭州 310027； 2.中國寰球工程公司，北京 100029)

轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)常見于農(nóng)業(yè)灌溉的離心泵中。隨著轉(zhuǎn)速的不斷提高，離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)將出現(xiàn)非線性特征，轉(zhuǎn)子密封處的自激力將對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生很大影響，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的強(qiáng)烈振動(dòng)甚至失穩(wěn)[1]。

對(duì)于轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的非線性和穩(wěn)定性研究，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了許多相關(guān)研究工作，Muszynska等[2-4]在大量實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上引入了流體環(huán)向平均流速比，建立了非線性密封Muszynska模型，該模型已成為研究非線性密封的經(jīng)典模型；Noah等[5]分析了線性密封模型的局限性并指出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)考慮非線性密封模型的重要性；Ding等[6]采用Muszynska模型和Poore定性進(jìn)行了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，但是只是針對(duì)完美平衡的對(duì)稱轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)，具有一定的局限性；李松濤等[7-10]對(duì)迷宮密封等多種密封形式的轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)進(jìn)行了非線性動(dòng)力穩(wěn)定性和分岔研究，拓展了非線性轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的密封結(jié)構(gòu)，研究結(jié)果表明迷宮密封的參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的振動(dòng)和穩(wěn)定性有著十分重要的影響；薛麗輝等[11]得到了油膜力、氣流力和密封力三種非線性力作用下的高參數(shù)渦輪轉(zhuǎn)子復(fù)雜系統(tǒng)響應(yīng)，但研究只是針對(duì)單跨對(duì)稱渦輪轉(zhuǎn)子的特別情況，而并非實(shí)際渦輪轉(zhuǎn)子；何立東等[12]建立了三維轉(zhuǎn)子密封流固耦合模型，通過直接對(duì)密封流場(chǎng)的非線性氣動(dòng)力進(jìn)行數(shù)值求解，得到了流固耦合效應(yīng)的轉(zhuǎn)子密封氣流激振問題的分析方法，但對(duì)象只是簡單的轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)，對(duì)于復(fù)雜的情況還需進(jìn)一步研究；羅躍綱等[13]則建立了帶有裂紋故障的雙跨彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了非線性油膜力下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性及失穩(wěn)規(guī)律，結(jié)果表明在亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)和超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)具有不同形式的倍頻及峰值。

本文通過將打靶法和Floquet理論相結(jié)合，對(duì)離心泵轉(zhuǎn)子-環(huán)形密封系統(tǒng)的非線性穩(wěn)定性及其分岔問題進(jìn)行了研究，同時(shí)利用四階Runge-Kutta法對(duì)不同密封幾何參數(shù)情況下的離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解，得到了密封參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律和離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)在不同密封參數(shù)下的分岔圖、軸心軌跡、相圖和龐加萊映射，計(jì)算結(jié)果為離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的設(shè)計(jì)以及定性的控制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了理論依據(jù)。

1 轉(zhuǎn)子環(huán)形密封動(dòng)力學(xué)模型

圖1左邊所示為離心泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，考慮環(huán)形密封后轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)可以簡化為右圖所示，轉(zhuǎn)子兩端簡支，環(huán)形密封位于圓盤軸向外側(cè)，其密封力等效作用于圓盤處，由于圓盤存在不平衡偏心量將產(chǎn)生渦動(dòng)(圖中密封處為夸張表示)，圓盤質(zhì)量為md，偏心距為e，圓盤轉(zhuǎn)子處的阻尼為Cd，剛度為Kd，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為ω，密封力為Fx、Fy，g為重力加速度，x、y為與轉(zhuǎn)軸軸向垂直的橫向振動(dòng)坐標(biāo)，t為時(shí)間，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以寫為：

圖1 轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

(1)

式(1)中密封力Fx、Fy采用非線性的Muszynska模型[3-4]，模型的特點(diǎn)是密封激振力對(duì)轉(zhuǎn)子的擾動(dòng)反力以某固定角速度繞軸頸旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)效應(yīng)是誘發(fā)轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的主要因素，該反力可以表述為：

(2)

實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究結(jié)果證明式(2)中Ks、γ、Cs分別是密封剛度、密封流體周向平均速度與轉(zhuǎn)速的比值和密封阻尼，并且三者均是位移x、y的非線性函數(shù)，即

Ks=K0(1-ε2)-n1,

Cs=C0(1-ε2)-n1,n1=0.5～3

γ=γ0(1-ε2)n2,n2=0～1，γ0<0.5

式中:ε=(x2+y2)1/2/ξ為轉(zhuǎn)子相對(duì)偏心，ξ為密封間隙，K0、C0和ms三個(gè)動(dòng)特性系數(shù)可以用Childs的環(huán)壓密封動(dòng)力系數(shù)公式計(jì)算。

引入無量綱變換：

X=x/ξ,Y=y/ξ,t′=ωt

則等式(1)變?yōu)?/p>

(3)

式中：

G=-mdg/(mω2ξ),ρ2=mde/(mξ)

將式(3)的二階方程轉(zhuǎn)化成一階方程，然后采用四階Runge-Kutta法對(duì)一階方程進(jìn)行數(shù)值求解，即可得到轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)瞬時(shí)響應(yīng)。

2 Floquet理論

Floquet理論[14]是研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性周期解分岔問題的一種方法。

對(duì)于一個(gè)給定的參數(shù)ω=Ω和對(duì)應(yīng)的周期穩(wěn)態(tài)解X(t,Ω)=X(t+T,Ω)，其攝動(dòng)方程可寫為：

(4)

這里A(t)=A(t+T)是一個(gè)周期為T的n×n矩陣函數(shù)，其具體形式為：

(5)

右邊非線性函數(shù)的Jacobi矩陣在周期穩(wěn)態(tài)解處的值，即：

(6)

由線性方程疊加原理，式(4)的任意n個(gè)線性獨(dú)立解為列的矩陣函數(shù)為其解矩陣：

Y(t)=[V1(t),V2(t),…,Vn(t)]∈Rn×Rn

(7)

式(4)的任意解都可以表示成：

V(t)=Y(t)BB={b1,b2,…,bn}T∈Rn

(8)

式中B是根據(jù)初始條件決定的常矢量。

由于Y(t)是式(4)的一個(gè)基解矩陣，則存在一個(gè)非奇異的T周期矩陣Φ(t)=Φ(t+T)和常數(shù)陣D，使：

Y(t)=Φ(t)exp(tD)

(9)

根據(jù)式(4)中A(t)的周期性特點(diǎn)，若Y(t)是式(4)的一個(gè)基解矩陣，則有：

A(t)Y(t+T)

(10)

由式(9)可得：

Y(t+T)=Φ(t+T)exp[(t+T)·D]=

Φ(t)exp(tD)exp(TD)=

Y(t)exp(TD)=Y(t)·C

式中C=exp(TD)為一常數(shù)陣。常數(shù)陣C與D的具體形式取決于Y(0)的選取，當(dāng)然也與A(t)有關(guān)，定義矩陣C的特征值λ為Floquet乘子。

根據(jù)Floquet理論，當(dāng)所有Floquet乘子的模都小于1時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)一個(gè)Floquet乘子通過(-1,0)穿出單位圓，而其它乘子的模都小于1時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生倍周期分岔；當(dāng)一個(gè)Floquet乘子通過(+1,0)穿出單位圓，而其它乘子的模都小于1時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生鞍結(jié)分岔；當(dāng)一對(duì)共軛復(fù)Floquet乘子穿出單位圓，而其它乘子的模都小于1時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔。

3 打靶法

打靶法是求解非線性振動(dòng)周期解問題的常用方法[15]，對(duì)于非線性周期解，實(shí)質(zhì)上就是求解如下形式微分方程：

(11)

為求解式(11)，r為x函數(shù)的初值和終值的差值，引入待定參數(shù)矢量s，使其滿足邊界條件：

r(s)=x(0,s)-x(T,s)=0

x∈Rm,f∶R·Rm→Rn

(12)

此時(shí)式(11)可以寫成：

(13)

式中:x0、xT分別為t=0和t=T時(shí)解矢量的初值和終值，g(x)為方程與s有關(guān)的部分。

其次，要控制情緒，保持樂觀向上、不急不躁的心態(tài)。因?yàn)榍榫w激動(dòng)可使腎上腺素分泌增加，內(nèi)耳小動(dòng)脈血管發(fā)生痙攣，內(nèi)耳供氧不足導(dǎo)致突發(fā)性耳聾。

利用牛頓迭代法，將式(12)在第i次近似值si附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，取其線性部分：

(14)

式中:Δsi=si-s(i+1)為參數(shù)矢量si的第i次修正量，而

(15)

(16)

(17)

(18)

4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

初始密封基本參數(shù)和圓盤質(zhì)量等其余參數(shù)如表1所示，分岔圖如圖2(a)所示，轉(zhuǎn)速為6 800左右時(shí)轉(zhuǎn)子—密封系統(tǒng)將產(chǎn)生Hopf分岔，系統(tǒng)將從穩(wěn)定狀態(tài)變成失穩(wěn)狀態(tài)。

表1 計(jì)算初始參數(shù)表

圖2 不同密封參數(shù)分岔圖

圖3(a)是轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，從軸心軌跡可以看出，此時(shí)的轉(zhuǎn)子的渦動(dòng)軌跡呈現(xiàn)橢圓形，在原點(diǎn)周圍穩(wěn)定運(yùn)行，渦動(dòng)量很小，并且龐加萊映射只存在一個(gè)獨(dú)立點(diǎn)，說明系統(tǒng)具有特定的周期，在圖4(a)的頻譜圖只有一個(gè)頻率；當(dāng)轉(zhuǎn)速上升到8 000 r/min時(shí)，軸心軌跡將不再是橢圓，而變得十分復(fù)雜，渦動(dòng)值與轉(zhuǎn)速較低時(shí)相比也增大了許多，并且開始變得發(fā)散，龐加萊映射由多個(gè)點(diǎn)集形成一個(gè)閉合曲線，說明此時(shí)轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)已經(jīng)由周期性穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)變成了準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，在圖4(b)的頻譜圖中也不再是單一頻率，出現(xiàn)了低頻的分頻，說明系統(tǒng)存在多個(gè)周期，也證明了此時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

圖3 初始參數(shù)下不同轉(zhuǎn)速系統(tǒng)響應(yīng)圖

圖4 初始參數(shù)下不同轉(zhuǎn)速系統(tǒng)頻譜圖

改變環(huán)形密封兩邊壓差，將原先0.75 MPa增大至1.2 MPa，其余密封參數(shù)保持不變。由圖2(b)可知，壓差增大，轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速略有提高，說明適當(dāng)增大壓差有利于離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖5可以看出，轉(zhuǎn)速為7 300 r/min時(shí)，系統(tǒng)由穩(wěn)定渦動(dòng)運(yùn)行逐漸變得不再穩(wěn)定，渦動(dòng)幅值將逐漸變大，軸心軌跡呈現(xiàn)發(fā)散跡象，此時(shí)的龐加萊映射不是獨(dú)立的一點(diǎn)，而是多個(gè)點(diǎn)，并且有形成一閉合曲線的趨勢(shì)，說明轉(zhuǎn)速增大系統(tǒng)將進(jìn)入準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

圖2(c)和圖2(d)分別為保持其余參數(shù)不變，增大密封間隙至0.001 2 m和增加密封長度至0.12 m時(shí)的分岔圖，由圖2(a)比較可知，增大密封間隙和密封長度將使失穩(wěn)轉(zhuǎn)速略有降低，降低轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但相對(duì)增加壓差和增加密封長度而言，增大密封間隙對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響相對(duì)較小。圖6和圖7為增大密封間隙和增加密封長度的系統(tǒng)響應(yīng)圖，在轉(zhuǎn)速為9 000 r/min時(shí)，由于轉(zhuǎn)速較快，系統(tǒng)失穩(wěn)呈現(xiàn)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，軸心軌跡以及相圖均是發(fā)散狀態(tài)，龐加萊映射為一閉合曲線。與初始狀態(tài)相比，此時(shí)的渦動(dòng)幅值更大，若繼續(xù)提高轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)將會(huì)與離心泵殼體發(fā)生碰摩事故。

圖5 壓差1.2 MPa轉(zhuǎn)速7 300 r/min系統(tǒng)響應(yīng)圖

圖6 間隙0.001 2 m轉(zhuǎn)速9 000 r/min系統(tǒng)響應(yīng)圖

圖7 長度0.12 m轉(zhuǎn)速9 000 r/min系統(tǒng)響應(yīng)圖

表2為利用打靶法和Floquet理論計(jì)算得到的系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速時(shí)的Floquet乘子，在初始密封參數(shù)情況下系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速為6 680 r/min，增大密封壓差，增大密封間隙及增加密封長度時(shí)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速將分別達(dá)到7 180 r/min,6 640 r/min和6 540 r/min，這與圖2利用四階Runge-Kutta法計(jì)算得到分岔圖中失穩(wěn)轉(zhuǎn)速基本是一致的。

表2 失穩(wěn)轉(zhuǎn)速時(shí)的Floquet乘子

5 結(jié) 論

(1) 環(huán)形密封中的流體激勵(lì)力是離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)失穩(wěn)的重要因素。在轉(zhuǎn)速較低時(shí)，轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期渦動(dòng)，隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)將出現(xiàn)Hopf分岔而失穩(wěn)。

(2) 采用非線性密封Muszynska模型建立了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)利用四階Runge-Kutta法對(duì)離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解，并將打靶法和Floquet理論相結(jié)合，較準(zhǔn)確的求解得到了不同密封參數(shù)下系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速。

(3) 適當(dāng)增大壓差、減小密封間隙和減小密封長度均會(huì)提高離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分岔的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，在離心泵轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和失穩(wěn)控制中可以采用以上措施提高系統(tǒng)的可靠性和穩(wěn)定性。

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