苗中華，周廣興，劉海寧，劉成良

(1.上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072；2. 上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

重大裝備的安全服役與智能維護是我國裝備制造業(yè)面臨的重要課題。相比定期維護及事后維修，基于狀態(tài)的設(shè)備維護(Condition-Based Maintenance, CBM)被認為是目前最有效的維護策略[1]。然而，基于狀態(tài)的設(shè)備維護需要采集多路傳感信息，尤其在低轉(zhuǎn)速條件下連續(xù)長時間采樣，將造成海量冗余數(shù)據(jù)。如何在海量冗余數(shù)據(jù)中進行信號有效特征提取是智能維護領(lǐng)域亟需探索的基礎(chǔ)理論和關(guān)鍵技術(shù)難題。

在鐵路系統(tǒng)的常規(guī)維護中，工人用鐵錘敲擊機車車輪，根據(jù)敲擊聲音來判斷車輪是否有裂紋；工程領(lǐng)域中經(jīng)驗豐富的維護人員根據(jù)機器工作時發(fā)出的聲音就能夠判斷機器是否運行正常。上述現(xiàn)象潛在的物理原理是由于零部件損傷改變了其特征頻率，進而改變了聲音的音色。然而，工程應用領(lǐng)域?qū)@種僅憑聽力系統(tǒng)所實現(xiàn)的生物本能診斷能力的運作原理，包括耳朵對聲音信號的處理及大腦中診斷知識的建立，卻鮮有解釋。

Barlow[2]開創(chuàng)性地提出了視神經(jīng)系統(tǒng)信息處理的一個基本原則是：冗余度壓縮(Redundancy Reduction)。進一步地，F(xiàn)?ldiák[3]將稀疏編碼(Sparse Coding)的概念與冗余度壓縮建立了聯(lián)系?；谏鲜黾僭O(shè)性研究，Olshausen等[4-5]首先在《Nature》雜志上發(fā)表論文指出：從自然圖像中學習出了與哺乳動物初級視覺皮層神經(jīng)元具有相同特性的基函數(shù)，并進一步將稀疏編碼解釋為諸多生物傳感系統(tǒng)信息處理的基本策略。Smith等[6]也在《Nature》上發(fā)表論文驗證了移不變稀疏編碼(Shift-Invariant Sparse Coding)是生物聽覺系統(tǒng)的有效建模手段，并提出了相應的基函數(shù)學習方法。上述研究表明：移不變稀疏編碼可以作為維護人員僅憑聽力系統(tǒng)所實現(xiàn)的生物本能診斷能力的一種有效解釋，其必然也應具有在機械旋轉(zhuǎn)設(shè)備故障診斷中應用的潛力。

本文借鑒神經(jīng)科學研究的相關(guān)進展，在前人探索研究的基礎(chǔ)上[7-8]，從模擬人耳對聲音信號處理原理的角度，研究利用稀疏編碼進行信號有效特征提取的若干問題，并進行實驗驗證。

1 稀疏編碼模型及求解

1.1 稀疏編碼模型

稀疏編碼的概念源于視神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究,是對只有小部分神經(jīng)元同時處于活躍狀態(tài)的多維數(shù)據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表示方法。就生物神經(jīng)學而言，稀疏編碼是指：生物感知系統(tǒng)進化極度高效的編碼策略來最大化傳遞到大腦的信息，同時最小化能量的消耗與對神經(jīng)資源的占用——感知信息由海量存在的神經(jīng)元中極少數(shù)激活神經(jīng)元所表示。從數(shù)學的角度講,稀疏編碼被假設(shè)為是對多維數(shù)據(jù)進行線性分解的一種表示方法。一個輸入信號X=[x1,x2,…,xM]T可以被表示成基函數(shù)的加權(quán)和，再加上附加噪聲：

(1)

式中，矩陣D∈RM×K被稱作字典(Dictionary)，其中列向量為基函數(shù)dk，又稱作原子(Atoms)，s=[s1,s2,…,sK]T是輸入信號x的稀疏表示(Sparse Representation)，ε通常假設(shè)為高斯噪聲。

稀疏編碼即是基于給定信號x與字典D求解稀疏表示s。在式(1)所示的模型中，基函數(shù)的個數(shù)可以大于輸入信號的維數(shù)，即：M

(2)

從本質(zhì)上講，稀疏性是上述兩個問題的共同優(yōu)化目標。對字典學習而言，稀疏性能夠促進基函數(shù)對數(shù)據(jù)特征模式的捕捉；對系數(shù)求解來說，稀疏性從模式識別的簡約原則(Parsimony Principle)[9]上能夠使得后續(xù)推理過程變得簡單。

1.2 系數(shù)求解與字典學習

基于給定字典精確求解信號的稀疏表示被證明是一個NP-Hard問題[10]，通常采用匹配追蹤算法[11-12]或者最大后驗概率估計(Maximum A Posterior, MAP)[13-14]近似求解。

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

同時，每一個樣本的似然可以被表示成：

(8)

根據(jù)式(4)中的似然函數(shù)，并假設(shè)系數(shù)的先驗概率分布為Laplace分布，則似然式(8)可被推導為：

(9)

(10)

式中第一項可以看作逼近誤差，第二項可以看作具有懲罰參數(shù)β=2σ2θ的稀疏約束，從而將字典的最大似然估計轉(zhuǎn)換成求解最優(yōu)化問題。根據(jù)式(10)和式(5)可以完成字典D的學習以及稀疏表示s的求解。

1.3 移不變稀疏編碼

在信號處理過程中經(jīng)常將一個較長信號分割成若干固定長度信號段。在分割過程中，時間序列中的特征模式會由于信號段長度的不同而被“移動”到信號段內(nèi)的不同時間位置。由于稀疏編碼將時間序列表示成基函數(shù)的加權(quán)和，而為了表示被移動的特征模式，就必須在字典中構(gòu)造同一基函數(shù)在不同時間位置的若干實例。然而，同一基函數(shù)在不同時間位置的實例仍然對應于同一信號事件。因此，需要引入移不變稀疏編碼算法來解決同一基函數(shù)在不同時間位置的實例仍對應相同事件的難題。

移不變稀疏編碼模型通過在原稀疏編碼模型中引入附加參數(shù)來滿足其“移不變”的特性：

(11)

式中:Tl為移位算子，將基函數(shù)在位置范圍l∈[-L,L]內(nèi)移動；sk,j是移動到位置l處的基函數(shù)dk的系數(shù)；向量ε仍舊假設(shè)為高斯噪聲。

移不變稀疏編碼的系數(shù)求解與字典學習算法可從標準稀疏編碼的對應算法得到。給定有限數(shù)據(jù)集X={x1,x2,…,xN}，并假設(shè)基函數(shù)服從均勻分布，基函數(shù)與其對應系數(shù)的最大后驗概率估計器為：

(12)

Subject to

C

(13)

式中，卷積算子 *是式(11)中移位算子Tl的一個特例；sk,j∈RM-K+1是基函數(shù)dk在信號xi中的稀疏激活；C定義了一個約束，防止求解的dk太大而sk,j太小。當設(shè)定變量d不變時，可以基于凸優(yōu)化方法求解s，同理，當設(shè)定變量s不變時，可基于凸優(yōu)化求解d。字典學習可通過迭代地交替求解這兩個問題來實現(xiàn)；當目標函數(shù)收斂后，基于學習的基函數(shù)可求得稀疏解[15]。

2 基于稀疏編碼的振動信號分析

從信號處理角度來講，稀疏編碼受益于字典學習來保證稀疏表示的稀疏性。通過字典學習，信號的特征模式被基函數(shù)捕捉；然后通過系數(shù)求解將信號中以一段時間序列表示的特征模式代之以一個非零系數(shù)表示，從而構(gòu)成原信號的稀疏表示。因此，從理論上講，稀疏編碼可以作為設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測中的一種有效特征提取方法。下面以軸承故障數(shù)據(jù)為例，驗證稀疏編碼在振動信號分析中的可行性。

2.1 軸承振動數(shù)據(jù)獲取

振動數(shù)據(jù)取自美國凱斯西儲大學(Case Western Reserve University, CWRU)的開放數(shù)據(jù)集[16]。該數(shù)據(jù)集被國內(nèi)外基于狀態(tài)維護的學者廣泛使用，被認為是測試和驗證設(shè)備狀態(tài)識別新方法的一個基準。軸承試驗裝置示意如圖1所示。左側(cè)是一個2 HP的三相感應電動機(型號：Reliance Electric 2HP IQPreAlert),右側(cè)是用于產(chǎn)生額定負載的測力計，二者通過扭矩傳感器自動對準配合，測試軸承安裝在電機驅(qū)動端，振動傳感器安裝在電機的驅(qū)動端上側(cè)。

圖1 軸承試驗裝置示意圖

為了模擬軸承故障，分別在軸承的內(nèi)圈、外圈(6∶00, 3∶00,12∶00方向)及滾動體上采用電火花加工的方式引入單點缺陷。缺陷尺寸分別為0.007、0.014、0.021、0.028 英寸，其中前三種尺寸采用SKF6205-2RS JEM型軸承，最后一種尺寸采用NTN 軸承。分別在0、1、2、3 hp 四種負載下獲取振動數(shù)據(jù)，采集頻率取12 kHz。

表1 軸承正常狀態(tài)振動數(shù)據(jù)列表

軸承正常狀態(tài)下采集的信號如表1所示，不同故障狀態(tài)下采集的振動數(shù)據(jù)如表2所示。為了便于信號分析，每種軸承狀態(tài)下的振動數(shù)據(jù)被分割成包含1 024個采樣點的數(shù)據(jù)樣本，并對數(shù)據(jù)樣本邊緣做光滑處理以減少信號分析中邊緣效應。經(jīng)過數(shù)據(jù)分割，表1中每種工況下的正常數(shù)據(jù)樣本為236個，表2中不同工況及故障類型下的數(shù)據(jù)樣本為128個，共計8024個數(shù)據(jù)樣本。不失一般性地，負載為0 hp的正常及不同故障類型下的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一半用于振動數(shù)據(jù)字典學習，所抽取數(shù)據(jù)樣本標號末尾以“?”符號標記，剩余數(shù)據(jù)樣本標號末尾以“”符號標記。

表2 故障狀態(tài)下的軸承振動數(shù)據(jù)列表

2.2 軸承振動信號字典學習

從機械診斷學角度講，瞬時振動脈沖波動攜帶了重要的診斷信息，是設(shè)備狀態(tài)識別的重要依據(jù)。因此，捕捉和分析瞬時振動脈沖是振動信號處理和特征提取的目的之一。如果能夠通過字典學習出振動信號中的瞬時脈沖作為基函數(shù)，無疑會促進稀疏編碼對振動信號的特征提取。分別對表1與表2所抽取的振動樣本數(shù)據(jù)(末尾以“?”符號標記)進行字典學習。指定基函數(shù)長度為80，每個字典中基函數(shù)個數(shù)為10。考慮到信號分割瞬時脈沖可能出現(xiàn)在信號段內(nèi)的任意位置，采用基于移不變稀疏編碼模型算法[14]進行字典學習，并進行稀疏求解。所學習出的振動信號字典如圖2所示，從每一類振動數(shù)據(jù)中學習出的10個函數(shù)被標記為子字典Di(i∈[1,15])

圖2 從每一類軸承振動數(shù)據(jù)中學習出的字典(圖中每一個子字典Di，從對應的數(shù)據(jù)樣本學習得到)

圖3 原始振動信號及其時域頻譜圖

從圖2可以看出：從軸承正常狀態(tài)振動數(shù)據(jù)中學習出的基函數(shù)明顯有別于從故障狀態(tài)振動數(shù)據(jù)中學習出的基函數(shù)，且沒有明顯的劇烈瞬時脈沖；從內(nèi)外圈故障振動數(shù)據(jù)學習到的基函數(shù)波形比球故障振動數(shù)據(jù)的基函數(shù)波形更集中一些。這些不同可以從脈沖產(chǎn)生的機理來解釋：

(1) 軸承在正常狀態(tài)下，滾動體在內(nèi)外圈包圍的滾道內(nèi)平穩(wěn)滾動，沒有沖擊產(chǎn)生。因而，軸承正常狀態(tài)下的振動信號無明顯的瞬時脈沖波動，但可能存在軸承剛性非線性、不同滾動體承載非線性或電機其他干擾源等因素，故會有均勻的微弱振動脈沖產(chǎn)生；

(2) 當內(nèi)圈或外圈出現(xiàn)損傷時，均勻排列的滾動體在滾道內(nèi)滾動過程中會依次循環(huán)撞擊損傷部位，因此，振動信號中會周期性地產(chǎn)生瞬時脈沖波動。

(3) 當損傷部位是在滾動體上時，每次損傷部位與內(nèi)外圈滾道的撞擊時間、撞擊角度都是隨機的，因此，振動信號雖然幅值較大，但無明顯規(guī)律。不同軸承狀態(tài)下的振動信號的波形特點決定了學習出的基函數(shù)具有不同的結(jié)構(gòu)特點。

2.3 振動信號的稀疏編碼分解與重構(gòu)

為了驗證所學習出的字典的有效性，我們采用這些字典來求解振動信號的稀疏表示。不失一般性地，從內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)樣本集I070中抽取一個信號樣本進行稀疏表示的求解。該信號樣本原始波形和時頻譜如圖3所示。采用從同類振動數(shù)據(jù)I070中學習出的字典Di求解該信號的稀疏表示，結(jié)果如圖4所示。字典Di中的10個基函數(shù)依次豎直排列在圖4中左側(cè)，與之水平對應的右側(cè)是各個基函數(shù)在原振動信號中的稀疏激活。稀疏激活中的每個尖峰表示對應的基函數(shù)在橫軸所示的位置被激活，尖峰的幅值大小表示基函數(shù)的強度。由圖4不難看到，稀疏表示中僅有少量的非零脈沖。

圖4 基函數(shù)及其稀疏激活

根據(jù)式(1)所示的稀疏編碼模型可知，一個原始振動信號可由基函數(shù)及其稀疏激活進行重構(gòu)，結(jié)果見圖5。對比圖3和圖5，不難看到：振動信號被很好的復原，時域波形上的瞬時脈沖更加突出，時頻譜上的高頻信號成分的周期性也更加明顯。這一結(jié)果與稀疏編碼模型中的高斯噪聲假設(shè)有關(guān)，由于信號重構(gòu)僅利用基函數(shù)與稀疏激活，假設(shè)噪聲的成分被剔除，這在一定程度上起到了噪聲抑制的作用。上述信號分析過程驗證了從振動信號中學習出的字典有效性。

圖5 重構(gòu)振動信號及其時頻譜圖

3 基于稀疏編碼的人工軸承故障診斷實驗研究

上述稀疏編碼算法以及針對振動信號的稀疏表示，可以直接用于基于狀態(tài)的設(shè)備狀態(tài)監(jiān)控以及故障診斷。以美國凱斯西儲大學公開的數(shù)據(jù)集為例，進行基于稀疏編碼的人工軸承故障診斷實驗分析研究。

將圖4中基函數(shù)的稀疏激活取絕對值并在沿縱軸方向進行疊加，從而得到所有基函數(shù)在振動信號時間段內(nèi)的激活統(tǒng)計，如圖6所示。從圖中下側(cè)可以看到，在橫軸方向上尖峰出現(xiàn)的位置對應于上側(cè)的原始信號中的瞬時脈沖，并且其周期性更加明顯。從稀疏激活的絕對值統(tǒng)計圖中可以很容易地估計出脈沖出現(xiàn)的周期，經(jīng)實際計算所得平均周期為0.006 2 s。這一周期對應著軸承內(nèi)圈損傷時的通過頻率162.2 Hz。

圖6 基函數(shù)稀疏激活絕對值之和(內(nèi)圈損傷)

圖7 基函數(shù)稀疏激活絕對值之和(外圈損傷)

圖8 基函數(shù)稀疏激活絕對值之和(滾動體損傷)

以上分析說明，稀疏編碼在振動信號分析中的應用與常規(guī)的人工機械設(shè)備診斷方法相一致，從而進一步驗證了稀疏編碼可以作為一種有效的振動信號分析工具。

4 結(jié) 論

受設(shè)備維護人員憑借聽覺系統(tǒng)所實現(xiàn)的生物本能診斷能力的啟發(fā)，本文借鑒生物感知系統(tǒng)“冗余度壓縮”的信息處理原則，引入神經(jīng)科學研究中的稀疏編碼算法，提出了連續(xù)長時間采樣時振動信號有效特征提取方法。詳細闡述了稀疏編碼的理論背景、算法和模型，特別對稀疏編碼相關(guān)的字典學習與稀疏表示求解進行了深入的分析總結(jié)。通過將稀疏編碼應用于軸承振動信號分析，驗證了其在挖掘振動信號中設(shè)備狀態(tài)信息的有效性。基于人工軸承故障數(shù)據(jù)集進行的實驗驗證表明：基于稀疏編碼的振動信號特征提取算法不僅能有效提取設(shè)備狀態(tài)特征，而且稀疏特征具有良好的可分性。該方法可用于設(shè)備故障診斷，為基于狀態(tài)的設(shè)備智能維護提供有效工具。

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