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(哈爾濱工業(yè)大學機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

基于滾輪導軌接觸模型的高速重載運動機構振動與疲勞分析

王銳，劉延杰，楊立冬

(哈爾濱工業(yè)大學機器人技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

通過赫茲接觸理論對滾輪導軌系統(tǒng)建立接觸力學模型，推導接觸剛度、強度的計算公式，并分析滾輪、軸承的總接觸剛度。根據(jù)接觸剛度模型、應用拉格朗日方程建立高速重載運動機構動力學模型，得到機構的自由振動微分方程，從而計算出機構的各階固有頻率。

滾輪導軌；接觸力學；拉格朗日方程

0 引言

高速重載運動機構是Z箍縮驅動的混合堆快速換靶機構的重要環(huán)節(jié)，其作用是當運輸小車運動到靶室正上方時，帶動RTL組件，將其送入靶室。機構做豎直方向的一維運動，行程達15 m，機構與負載總重約為25 t，由于換靶頻率要保證0.1Hz，機構運動速度也非常高，最高速度將達到15 m/s。在高速重載工況下，滑動導軌摩擦力大，發(fā)熱大故無法適應連續(xù)、精度要求高的工作條件。而在滾動導軌中，以滾輪導軌的承載能力最為出眾，因此，選擇許用速度達15 m/s的滾輪導軌作為導向結構。針對滾輪導軌這一導向部件，需要滿足高速重載運動機構的強度與動態(tài)性能要求，作出以下分析。

1 建立接觸模型

由于導軌和滾輪的相互接觸是誘發(fā)系統(tǒng)振動和導軌疲勞破壞的根源，因此，建立簡單有效的導軌一滾輪接觸模型是分析系統(tǒng)振動的基礎。假定導軌與滾輪間只考慮法向力，采用經典的赫茲彈性接觸理論進行計算。

當圓柱體受到單位長度上的壓力為p時，圓柱體間就會發(fā)生接觸變形。在接觸長度為L，寬度為 2a的接觸區(qū)[1-3]，根據(jù)Hertz接觸理論可得：

(1)

最大壓力為：

(2)

對于圓柱體與平面接觸，可以看作是曲率半徑為R和曲率半徑為無窮大的2個軸線平行圓柱之間的接觸。

當圓柱為有限長時，圓柱與平面的趨近量不適合用Hertz理論求解。工程應用時，由于受力情況復雜，主要采用Palmgren通過實驗得出的經驗公式[4]，對于鋼材料的接觸，彈性模量E=206 GPa，泊松比u=0.3，即

(3)

F為法向力；l為接觸長度。因此，可以得到法向力與趨近量的關系為：

F=a·δ10/9

(4)

a為與l有關的參數(shù)。可見，法向力與趨近量之間呈現(xiàn)非線性關系，然而非線性程度并不高，在趨近量小的時候是可以用線性關系近似的。

對于滾輪導軌副，當導軌、滾輪位移都比較小，滾輪上作用有預加力，滾輪產生的預加變形為δ0時，并且預加位移相比導軌、滾輪的位移較大，式(4)可以用泰勒級數(shù)展開，得到：

(5)

用f0表示上式中第1項，并以Kg表示第2項系數(shù)，則式(5)中接觸力計算公式可以寫為：

f=f0+Kgdδ

(6)

f0為預加力；Kg為近似線性化接觸剛度，dδ為滾輪和導軌間的相對位移。公式轉化為線性化的接觸力表達式。預緊量為0.1mm時，預緊力f0=1.73×104N，徑向剛度Kg=1.92×105N/mm。

滾輪為V型結構，夾角為90°。當徑向力F作用于滾輪時，滾輪與導軌之間產生的徑向位移為dx，那么對于接觸面上產生的趨近量則為：

dδ=dxsinφ

(7)

由此可得，滾輪與導軌間單個接觸表面間增加的法向接觸力和接觸力在dx方向上的分量為：

fx=Kgdδsinφ=Kgdxsin2φ

(8)

由力平衡關系可得：

F=2fx=Kgdx

(9)

同理可以得到，滾輪導軌的徑向剛度和軸向剛度均為Kg。滾輪接觸模型如圖1所示。

滾輪與導軌的接觸可以認為是線接觸，而對于滾輪軸承來說，其中的鋼珠與軸承框架則為點接觸，根據(jù)Hertz接觸理論，當2個接觸的外凸形狀的固體相互擠壓時，接觸點擴展為1個區(qū)域，在接觸區(qū)域內會產生應力和變形。接觸斑的大小取決于接觸體的力學屬性和外部載荷。

圖1 滾輪接觸模型

對于彈性圓球點接觸，接觸半徑和接觸應力分布可由下式給出[1，5-7]，即

(10)

最大壓力為：

(11)

由于接觸部位附近的變形，接觸體將會相互趨近。Hertz接觸載荷與趨近量的關系為：

(12)

工程實際應用中常保持預緊量為60μm，當變形量較小時，F(xiàn)-δ關系近似為線性關系，鋼珠直徑為12mm，復合彈性模E=1.03×1011Pa，線性擬合后近似線性剛度為KB=1.51×105N/mm，經線性擬合的F-δ關系和原曲線如圖2所示。從圖2可以看出，線性擬合剛度和實際剛度的差別很小，最大誤差為3.65%。

圖2 滾珠剛度線性擬合曲線

如此滾珠接觸等效為彈簧，當滾珠兩端同時有接觸力作用時，就是一對彈簧的串聯(lián)問題。若每根彈簧的剛度為KB，則每個接觸面的剛度為KB/2。軸承內圈固定，當外圈受軸向力F時，豎直下降位移為δ。接觸點由A點移動到A1點，D點移動到D1點。軸承接觸模型如圖3所示。

圖3 軸承接觸模型

從圖3可知，AC接觸對之間的接觸變形改變量δAC=AA1。因此，接觸變形量為：

δAC=δsinα，δBD=-δsinα

(13)

對軸承外圈進行受力分析得：

F/Z=FACsinα-FBDsinα=Kbδ

(14)

Z為鋼珠數(shù)量，軸承共兩排鋼珠，每排12個，共24個，所以軸承的軸向剛度為Kba=24Kb=18.12×105N/mm。

當軸承受到徑向力F作用時，受力情況如圖4所示。因預緊作用，各鋼珠均受力，而受力情況各不相同，越靠近受力點的鋼珠接觸力越大。各鋼柱法向接觸力為Fj。由受力分析得：

(15)

當產生位移量δ時，每個滾珠的接觸變形變量為δj，δj=δcosαcosβj，法向接觸力FAC=FBD=Kb(δ0+δjcosα)，因此，有：

Fj=FAC+FBD=2KB(δ0+δcos2αcosβj)

(16)

由此可得：

(17)

所以軸承徑向剛度Kbr=9.06×105N/mm。

圖4 軸承徑向受力分布

2 振動特性分析

機構做豎直方向的一維運動，兩邊各有2組導軌，每組導軌有4對滾輪。據(jù)上述計算結果簡化模型[8-10]，將接觸作用等效為彈簧單元，滾輪所在位置的滾輪-導軌接觸和軸承接觸可以等效為2個彈簧單元串聯(lián)之后的結果。坐標系建立方式如圖5所示。設x軸方向彈簧剛度為kx，y方向彈簧剛度為ky。

(18)

圖5 動力學模型

采用拉格朗日法建立動力學方程[10-11]，設系統(tǒng)繞x軸，y軸，z軸的坐標分別為φ，θ，Φ，則系統(tǒng)沿x軸，y軸和繞x軸，y軸，z軸的振動方程可表示為：

(19)

qi為系統(tǒng)的廣義坐標；T為系統(tǒng)動能；V為系統(tǒng)勢能。系統(tǒng)動能為：

(20)

m為機構運動部分總質量；Jx，Jy，Jz分別為機構繞x軸，y軸，z軸的轉動慣量。由系統(tǒng)的動能可以得到慣性力方程為：

(21)

系統(tǒng)的勢能為：

(22)

Kx為x方向彈簧剛度；Ky為y方向彈簧剛度；Δxi，Δyi分別為x方向，y方向第i個彈簧的伸長量。由系統(tǒng)勢能可以得到彈性力方程為：

(23)

根據(jù)慣性力方程、彈性力方程得到系統(tǒng)的無阻尼振動方程，方程改成矩陣形式為：

(24)

X為系統(tǒng)的坐標位移矩陣，即

X=[x，y，φ，θ，φ]T

(25)

M為系統(tǒng)質量矩陣；K為剛度矩陣。

(26)

(27)

求解系統(tǒng)特征方程可得系統(tǒng)固有頻率。對比ANSYS仿真結果發(fā)現(xiàn)，計算誤差相差無幾。系統(tǒng)基頻超過了10Hz，滿足工作需要。結果如表1所示。

表1 固有頻率計算結果 Hz

3 疲勞特性分析

因高速重載運動機構的尺寸很大，難免產生偏心距。設質心偏離幾何中心線距離為ε，取向右方向為正方向，力矩順時針為正。根據(jù)運動軌跡，計算傾覆力矩。下降階段重力產生的傾覆力矩始終為(m1+m2)gε，上升過程為m1gε，其中，m1為滑塊等組件質量，m2為RTL組件質量。過程中慣性力產生的傾覆力矩為(m1+m2)aε，上升過程電機作用力產生的傾覆力矩為(m1)aε。根據(jù)運動軌跡可計算出傾覆力矩循環(huán)，如圖6所示。

圖6 傾覆力矩循環(huán)

機構傾覆力矩將由導軌支持力平衡，這樣將對滾輪導軌產生壓力，根據(jù)平衡條件可計算滾輪所受壓力，最外側的一組滾輪受力最大為：

(28)

Li為第i組滾輪距離滾輪組對稱軸的距離，i=1，2，3，4。由Hertz理論可知，滾輪中輪徑小處的接觸力大于輪徑大處的接觸力，所以只需計算輪徑最小處在工作過程中的應力-時間數(shù)據(jù)。

滾輪采用GCr15材料，疲勞極限250MPa，屈服極限518 MPa，構件承受的應力幅水平與發(fā)生疲勞破斷時所經歷的應力循環(huán)次數(shù)之間的關系，多用如冪函數(shù)的形式表示[12-13]，即

(29)

S為應力幅；m，C為與材料有關的常數(shù)。循環(huán)次數(shù)N=1時，S為屈服強度Sq，對于金屬材料，疲勞極限Sh所對應的壽命一般為N=107次，這樣已知Sq和Sh的情況下，就可以聯(lián)立求解出常數(shù)m=22.12和C=1.13×1060，從而近似得到材料的S-N曲線，如圖7所示。

由Hertz接觸理論可以計算滾輪所受的接觸力-時間數(shù)據(jù)，對應力譜的處理采用雨流計數(shù)法，這樣就可以得到各級應力的均值與幅值。

圖7 導軌材料S-N曲線

由于應力均值對疲勞累積損傷的影響，必須對雨流計數(shù)的結果進行應力均值修正，將非零應力均值的應力范圍轉化為零應力均值的應力范圍[14-17]。利用Sederberg直線將變幅疲勞應力修正為平均應力為零(即應力比為-1)的疲勞應力譜，即對稱循環(huán)載荷譜。

Sederberg直線的表達式為：

Si=Sai/(1-Sni/SJ)

(30)

Si為第i級應力循環(huán)的等效應力；Sai為第i級應力循環(huán)的應力幅值；Sni為第i級應力循環(huán)的應力均值；SJ為材料的屈服強度。將雨流計數(shù)法得到的Sai和Sai代入即可求得對稱循環(huán)應力。

圖8為用雨流計數(shù)法計算得到的等效應力，經計算各級應力均遠小于疲勞極限，其中最大級應力為S=94.19 MPa。也即各級應力對疲勞壽命沒有影響，可認為滾輪工作循環(huán)數(shù)為107。

圖8 接觸力分布

4 結束語

基于赫茲接觸理論對滾輪導軌系統(tǒng)建立了接觸力學模型，得到滾輪、軸承的總接觸剛度。根據(jù)接觸剛度模型、拉格朗日方程法建立了高速重載運動機構動力學模型，得到機構的自由振動微分方程，從而計算出機構的各階固有頻率，其一階固有頻率為13.4Hz。借助有限元分析軟件ANSYS對機構進行模態(tài)分析，與理論計算結果進行對比，驗證了方法的正確性。對滾輪導軌進行了接觸疲勞強度分析。采用雨流計數(shù)法和Sederberg直線處理接觸應力載荷譜，計算出滾輪導軌的最大級循環(huán)應力為95 MPa。

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Vibration and Fatigue Analysis of High-speed Heavy Mechanism Basedon Roller Contact Model

WANGRui，LIUYanjie，YANGLidong

(State Key Laboratory of Robotics and System，Harbin Institude of Technology，Harbin 150001，China)

Established the mechanism’s roller guide contact mechanics model by Hertz contact theory，derived contact stiffness，strength calculation and analyze the total contact stiffness of the wheels and the bearing. According to the contact stiffness model of high-speed heavy motion mechanism，established dynamic mode by using Lagrange equations of motion mechanism，Thus，established freedom vibration differential equation to calculate the natural frequencies of mechanism.

roller guide；contact mechanics；Lagrange equation

2014-05-05

黑龍江省科研機構創(chuàng)新能力提升專項計劃項目(YC13D004);國家高技術研究發(fā)展計劃(八六三)資助項目(2013AA040901)

TH112

A

1001-2257(2014)09-0047-05

王銳(1989-)，男，黑龍江佳木斯人，碩士研究生，研究方向為機械電子工程；劉延杰(1975-)，男，黑龍江哈爾濱人，教授，研究方向為機器人技術。