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(南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京210016)

基于擴展卡爾曼濾波的磁懸浮軸承剛度阻尼辨識

鄒玥，周瑾

(南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京210016)

提出一種磁懸浮軸承剛度阻尼的測量方法，通過對轉(zhuǎn)子施加不平衡質(zhì)量激勵，利用擴展卡爾曼濾波算法識別出磁懸浮軸承的剛度和阻尼。仿真研究表明，此方法可有效測量磁懸浮軸承剛度阻尼。經(jīng)過試驗辨識出使用的磁懸浮試驗臺的支承參數(shù)，并將辨識結(jié)果帶回到仿真文件中進行驗證對比，結(jié)果表明，可有效辨識出磁懸浮軸承的剛度阻尼參數(shù)。

擴展卡爾曼濾波；剛度；阻尼

0 引言

磁懸浮軸承的剛度和阻尼系數(shù)影響著控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化、臨界轉(zhuǎn)速預估和不平衡響應計算等。因此,磁懸浮軸承的剛度和阻尼系數(shù)的辨識非常重要。針對五自由度、高速運轉(zhuǎn)情況的下磁懸浮軸承剛度、阻尼測試與辨識還需完善。采用擴展卡爾曼濾波方法辨識磁懸浮軸承的剛度阻尼，使用不平衡量產(chǎn)生的簡諧力作為激振力，基于有限元模型的仿真和實驗，對磁懸浮軸承的支承參數(shù)進行辨識。

1 擴展卡爾曼濾波算法基本理論

磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗臺如圖1所示。l1，l2為左右兩側(cè)磁懸浮軸承分別離轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離；d1,d2為左右不平衡質(zhì)量分別離質(zhì)心的距離；m1，m2分別為添加在左右兩邊圓盤上的不平衡質(zhì)量大?。籸1，r2為不平衡質(zhì)量施加在2個圓盤的半徑；p1,p2為位移傳感器距轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離；用彈簧阻尼系統(tǒng)模擬磁懸浮軸承的支承情況。

對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，考慮運動方程為：

(1)

圖1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗臺

圖2 轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量在轉(zhuǎn)子施加位置

z為轉(zhuǎn)子的振動位移信號，z={zx1,zy1,zx2,zy2}T，因耦合參數(shù)對系統(tǒng)影響較小，且為了計算的簡化，忽略耦合參數(shù)，則剛度阻尼矩陣為：

(2)

(3)

kxxi,cxxi(i=1,2)為徑向軸承X方向的剛度阻尼；kyyi，cyyi(i=1,2)為徑向軸承Y方向的剛度。

轉(zhuǎn)子受不平衡質(zhì)量激勵如圖2所示，與參考軸夾角分別為φ1和φ2的位置，則運動方程右側(cè)的F0可表示為：

(4)

ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率；Ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度，Ω=2πω；轉(zhuǎn)子軸承處的位移為zxi,zyi(i=1,2)。

在系統(tǒng)與控制理論中，常常用狀態(tài)變量的形式來描述一個系統(tǒng)的運動。因此，可以用它來描述轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動。擴展卡爾曼濾波算法是非線性狀態(tài)濾波的遞推算法，可以將系統(tǒng)的狀態(tài)和未知參數(shù)同時辨識出來[1-3]，需將軸承參數(shù)作為狀態(tài)變量的一部分。在擴展卡爾曼濾波算法中就是把轉(zhuǎn)子的支承參數(shù)也看作狀態(tài)向量，對于時不變的系統(tǒng)，該向量就是一個常數(shù)向量。將其與系統(tǒng)的真實狀態(tài)向量s組合，構(gòu)成增廣狀態(tài)變量，然后利用擴展卡爾曼濾波器對這個增廣狀態(tài)進行最優(yōu)或者次優(yōu)估計[4]。那么，可以設全局狀態(tài)變量為：

(5)

r={kxx1,kyy1,kxx2,kyy2,cxx1,cyy1,cxx2,cyy2}T。

由于剛度阻尼參數(shù)未知，可將它們看成系統(tǒng)的另外8個狀態(tài)，這樣全部16個狀態(tài)如下：

si為第i個自由度相對于基礎(chǔ)的位移；

si+4為第i個自由度相對于基礎(chǔ)的速度；

si+8為第i個自由度剛度系數(shù)

si+12為第i個自由度阻尼系數(shù)

i=1,2,3,4，系統(tǒng)的一階微分方程組為：

=f(s,F,t)+w

(6)

f(s,F,t)中不為0的元素可以通過運動方程(1)轉(zhuǎn)化得到。 由位移傳感器測得并轉(zhuǎn)換至磁懸浮軸承處的位移向量，即系統(tǒng)的輸出量為Yk，Yk向量中也包含了測量誤差，那么Yk與位移的實際值szk之間存在一個線性關(guān)系，即

Yk=Hszk+vk

(7)

Yk中的變量與各軸承處的位移有以下關(guān)系，則有觀測方程為：

(8)

狀態(tài)方程和觀測方程都用離散時間的形式為：

s(k+1)=f[s(k),F0,t]·τ+s(k)+w

(9)

Y(k)=h[s(k),F0,t]+v(k)

(10)

s(k)為16維狀態(tài)向量；Y(k)為4維軸承處位移；w(k),v(k)為零均值的正態(tài)白噪聲序列;w(k)表示系統(tǒng)的描述誤差;v(k)是測量中的噪聲[5]。

預測階段為[6]：

u(tk),tk]·τ

(11)

(12)

增益陣的計算為：

(13)

濾波階段為：

(14)

P(tk+1|tk+1)=(I-Kk+1Hk+1)·P(tk+1|tk)

(15)

τ為采樣時間間隔；Φ為轉(zhuǎn)移矩陣。

(16)

Hk+1=H

(17)

(18)

(19)

估計準則是使狀態(tài)向量的誤差方差最小[7]。根據(jù)式(11)～式(19)，只要給出系統(tǒng)參數(shù)及狀態(tài)初始值的估計及初始誤差的協(xié)方差陣，就可以對量測數(shù)據(jù)進行遞推處理和計算。實際表明，對初始值的要求是非常低的，只要給出大約的量級就可以。這對實際應用是十分有利的，采用全局迭代的離線遞推辨識算法，可以在有限數(shù)據(jù)量測的條件下能得到較高的參數(shù)估計精度，將預測階段與濾波階段反復進行后，狀態(tài)變量中的支承參數(shù)會逐漸逼近真實值。

2 磁懸浮軸承剛度和阻尼的仿真研究

建立試驗所用磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，附加不平衡質(zhì)量，計算出磁懸浮軸承處的位移響應。根據(jù)上述理論，可辨識出磁懸浮軸承的剛度和阻尼系數(shù)。有限元仿真時，先假定左側(cè)磁懸浮軸承的剛度阻尼系數(shù)分別為：

K1=5×106N/m，C1=5 000N·s/m

右側(cè)磁懸浮軸承的剛度阻尼系數(shù)分別為：

K2=6×106N/m，C2=6 000N·s/m

辨識出磁懸浮軸承的剛度和阻尼系數(shù)隨旋轉(zhuǎn)頻率變化的曲線如圖3和圖4所示。

圖3 20～200Hz剛度變化仿真值曲線

圖4 20～200Hz阻尼變化仿真值曲線

由圖可見參數(shù)識別精度較高，辨識結(jié)果在200Hz以內(nèi)與原值誤差較低，與初始給定值極為相符，辨識結(jié)果較為可靠。隨著轉(zhuǎn)速的升高，辨識值與真實值之間的誤差也越來越大，主要考慮為隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的升高，轉(zhuǎn)子的柔性逐漸顯現(xiàn)出來，采用的動力學方程不能完全表達其運動規(guī)律。但在辨識范圍內(nèi)，即20～200Hz之間，仿真計算的誤差基本處于10%以下，辨識結(jié)果較為可靠，該辨識方法用于辨識磁懸浮軸承的剛度阻尼參數(shù)具有一定的可行性。

3 磁懸浮軸承剛度和阻尼的實驗研究

與仿真的算法相同，得到兩側(cè)磁懸浮軸承處的位移后，帶入編制好的Matlab程序進行計算。對磁懸浮軸承的徑向剛度阻尼值進行求解。各路方向各轉(zhuǎn)速下磁懸浮軸承的剛度與阻尼曲線如圖5所示。磁懸浮軸承在轉(zhuǎn)子頻率較低時剛度相對較小，隨著轉(zhuǎn)速的增加，剛度逐漸上升，阻尼在低速時也相對較小，隨著轉(zhuǎn)速的增加，阻尼逐漸上升。

將辨識所得的參數(shù)記錄成txt文件，用Matlab編制好的程序?qū)⑵渲械谋孀R出的磁懸浮軸承的剛度阻尼系數(shù)，代入上一節(jié)的仿真文件中，替換掉其中轉(zhuǎn)子的支承參數(shù)，計算對應不同頻率，磁懸浮軸承處轉(zhuǎn)子的位移響應，最后將此位移響應與實驗采集的位移響應進行對比，以驗證辨識結(jié)果的可靠性，EKF方法辨識效果驗證如圖6所示。

圖5 各路方向各轉(zhuǎn)速下磁懸浮軸承的剛度與阻尼系數(shù)

由驗證結(jié)果圖來看，在200Hz以下，將辨識出的數(shù)值反帶回仿真文件中的計算出的幅值，與試驗值基本吻合，相差較小，辨識結(jié)果可信。而200Hz轉(zhuǎn)速以上，兩者差值比較大，并在260Hz左右達到最大，說明在200Hz以上的辨識結(jié)果誤差逐漸增大，辨識結(jié)果可靠程度降低。所以，在200Hz以下的范圍，辨識結(jié)果相對可靠。

圖6 EKF方法辨識效果驗證

4 結(jié)束語

提出了一種磁懸浮軸承剛度和阻尼系數(shù)的測試方法。進行了不平衡質(zhì)量試驗仿真，根據(jù)擴展卡爾曼濾波算法建立迭代方程，對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支撐參數(shù)進行了辨識。對比設定值表明，識別方法對磁懸浮軸承參數(shù)辨識的有效性。并進行不平衡響應實驗，對磁懸浮轉(zhuǎn)子實驗臺進行辨識支承參數(shù)，辨識結(jié)果帶回仿真文件的結(jié)果表明，辨識結(jié)果比較可靠。

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Identification of the Magnetic Bearings Support Parameters Using an Extend Kalman Filter

ZOUYue,ZHOUJin

(College of Mechanical and Electrical Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

An identify measurement of stiffness and damping to AMB system is introduced.By applying unbalance excitation to the rotor,stiffness and damping can be identified use extended Kalman filter(EKF) algorithm.The simulation result shows that it is efficient for this method to measure the stiffness and damping of AMB.Then used the method to identify the supporting parameters in experiment and brought the identified results to simulate files to compare the displacement response.The results indicated that the EKF method can efficiently identify the stiffness and damping.

extend Kalman filter;stiffness;damping；Magnetic bearing

2014-02-24

國家自然科學基金資助項目(51075200);江蘇省自然科學基金資助項目(BK2011070)

TH999

A

1001-2257(2014)11-0012-04

鄒玥(1989-),女，安徽蕪湖人，碩士研究生，研究方向為磁懸浮軸承技術(shù)；周瑾(1972-)，女，江蘇徐州人，博士,教授，研究方向為磁懸浮技術(shù)、轉(zhuǎn)子動力學和機電系統(tǒng)控制。