張春濤， 范文亮， 李正良

(1 西南科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，四川 綿陽 621010；2 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045)

由于疲勞損傷的隨機(jī)性，傳統(tǒng)疲勞試驗(yàn)研究中需據(jù)大子樣試驗(yàn)數(shù)據(jù)推斷試件的疲勞統(tǒng)計(jì)特性。文獻(xiàn)[1]建議測(cè)定材料疲勞性能時(shí)用成組法及升降法，成組法測(cè)定P-S-N曲線時(shí)至少需測(cè)試3級(jí)疲勞應(yīng)力水平共計(jì)24個(gè)試件，測(cè)試疲勞極限或條件疲勞極限的升降法則需用30個(gè)試件。成組法不僅需試件數(shù)量多，且測(cè)量精度低，尤其在測(cè)定高可靠度、高置信水平的P-S-N曲線時(shí)耗時(shí)久、耗費(fèi)大，工程上難以接受。為減少試件、縮短時(shí)間，文獻(xiàn)[2-3]結(jié)合極大似然法推薦僅需14個(gè)試件即能測(cè)定S-N曲線的單點(diǎn)-成組法；Ling等[4]在三參數(shù)冪函數(shù)基礎(chǔ)上結(jié)合極大似然法提出更實(shí)用的測(cè)定P-S-N曲線的改進(jìn)單點(diǎn)-成組法；但單點(diǎn)-成組法所需試件仍較多，且僅少量試件用于測(cè)定曲線。為克服此不足，傅惠民[5-7]通過對(duì)a-N曲線及ε-N曲線三參數(shù)冪函數(shù)擬合方法研究，給出既節(jié)省試件又具較高精度的回歸分析法；熊俊江等[8-9]據(jù)定量方程隨機(jī)化方法建立只需單點(diǎn)試驗(yàn)而無需成組試驗(yàn)即能測(cè)定P-S-N曲線的單點(diǎn)-似然法；但該方法在確定系數(shù)數(shù)值求解過程中，每次迭代計(jì)算均需假定其它各參數(shù)值并參與計(jì)算，計(jì)算量大、過程繁瑣。由于試驗(yàn)條件及經(jīng)費(fèi)等限制，與試驗(yàn)理論快速發(fā)展相比，對(duì)構(gòu)件疲勞性能試驗(yàn)研究匱乏，而與材料疲勞性能相比，構(gòu)件疲勞性能受截面形式、應(yīng)力分布、邊界條件等影響存在較大差異。結(jié)構(gòu)體系中構(gòu)件長(zhǎng)期受環(huán)境、大氣等腐蝕介質(zhì)浸蝕致使構(gòu)件截面尺寸減小、疲勞性能退化，使構(gòu)件腐蝕疲勞性能研究更復(fù)雜。為此本文在引入相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法改進(jìn)單點(diǎn)-似然法基礎(chǔ)上建立腐蝕疲勞t-P-S-N曲面模型；通過三組不同腐蝕時(shí)間18根足尺試件研究Q345等邊角鋼構(gòu)件的腐蝕疲勞破壞特征，并由試驗(yàn)結(jié)果建立Q345等邊角鋼試件的t-P-S-N曲面模型。

1 腐蝕疲勞t-P-S-N曲面方程式建立

1.1 基于單點(diǎn)-似然法參數(shù)回歸分析

中長(zhǎng)壽命區(qū)S-N曲線常用三參數(shù)冪函數(shù)表示：

(S-S0)mN=C

(1)

式中：S0，m，C均為材料常數(shù)。相同腐蝕條件下材料疲勞性能隨腐蝕時(shí)間t出現(xiàn)退化，式(1)可表示為：

[S-S0]m(t)N=C(t)

(2)

由式(2)看出，材料常數(shù)S0(t)，m(t)，C(t)均隨腐蝕時(shí)間變化，但當(dāng)腐蝕時(shí)間為ti(i=1,2,…,n)時(shí)，參數(shù)S0(ti)，m(ti)，C(ti) 則均為常數(shù)。若各應(yīng)力水平Sj(j=1,2,…,n)僅做一個(gè)試件測(cè)試，可采用單點(diǎn)-似然法[8]確定式(2)中各參數(shù)。令：

(3)

式(2)可表示為：

y=βi,0+βi,1x

(4)

據(jù)一元線性回歸數(shù)學(xué)模型[11]，式(4)可表示為：

y=βi,0+βi,1x+ε(S)

(5)

式中：βi,0+βi,1x為y隨x線性變化部分；ε(S)為隨機(jī)誤差項(xiàng)，某一特定腐蝕環(huán)境下設(shè)其為僅依賴于應(yīng)力水平Sj(j=1,2,…,n)的隨機(jī)變量，且ε(S)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為ε(S)。不難發(fā)現(xiàn)，n對(duì)測(cè)點(diǎn)(xj,yj)，y可視為兩部分疊加：x的線性函數(shù)βi,0+βi,1x及由應(yīng)力水平Sj產(chǎn)生的隨機(jī)因素影響。因此，式(5)可認(rèn)為xi，yi之間存在關(guān)系：

yj=βi,0+βi,1xj+ε(Sj)

(6)

式中：ε(Sj)～N[0，ε2(Sj)]，且各ε(Sj)相互獨(dú)立。yj～N[βi,0+βi,1x，ε2(Sj)]，通常假定ε(Sj)與lnSj成線性關(guān)系[4]，若假定x0=∑(lnSj)/n對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為σ0(ti)，則σ(Sj)可表示為：

σ(Sj)=σ0(ti)(1+βi,2(lnSj-x0))=σ0(ti)I(Sj,βi,2)

(7)

因此，yj的概率密度函數(shù)可表示為：

(8)

據(jù)最大似然性原理[10]，對(duì)yj的似然性函數(shù)取自然對(duì)數(shù)，并令F=lnL，有：

(9)

由極大似然性原理，分別對(duì)F求變量βi,0，βi,1，βi,2，σ0，S0(ti)的偏導(dǎo)，并令其為0，有：

(10)

由式(10)得：

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：

式(11)～式(14)均為S0(ti)，βi,2的二元函數(shù)。為精確求得βi,0，βi,1，σ0(ti)值，由相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法[10]，可使相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值|r|最大，即：

(15)

(16)

式中：

據(jù)文獻(xiàn)[9]，由式(10)數(shù)值解即可獲得各系數(shù)，但該方法每次迭代求解過程中均需將假定的S0(ti)，βi,2值代入式中計(jì)算βi,0，βi,1，σ0(ti)的假定值，再將各系數(shù)值代入式(10)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)數(shù)值計(jì)算，確定各系數(shù)取值。每次假設(shè)S0(ti)，βi,2值后，再重新計(jì)算βi,0，βi,1，σ0(ti)值，不僅計(jì)算量大、計(jì)算過程繁瑣，在迭代循環(huán)計(jì)算過程中亦會(huì)引入βi,0，βi,1，σ0(ti)的不確定因素。為此，本文基于回歸分析方法[7]，將單點(diǎn)-極大似然法與相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法結(jié)合，提出計(jì)算步驟為：

(3) 將各系數(shù)值代入式(10)、式(14),驗(yàn)證各系數(shù)取值的精確性。若式(10)計(jì)算值不為0或與0相差較大則調(diào)整步驟(1)中S0(ti)，βi,2的取值，再重復(fù)上述步驟，但S0(ti)，βi,2的取值需使式(14)絕對(duì)值接近1。

1.2 腐蝕疲勞t-P-S-N曲面估計(jì)式

用上述計(jì)算步驟，據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別計(jì)算出腐蝕時(shí)間ti(i=1,2,…,n)系數(shù)βi,0，βi,1，βi,2，σ0(ti)，S0(ti)。由各數(shù)據(jù)隨腐蝕時(shí)間t的變化規(guī)律，獲得S0(t)，m(t)，C(t)，σ0(t) 表達(dá)式。由于Y～N[β+βx1，σ2(Sj)]，故當(dāng)可靠度為p時(shí)，有：

?lnNp=lnN+upσ0(t)×

(17)

將式(2)代入式(17)，即可確定任意腐蝕時(shí)間t時(shí)P-S-N曲線三參數(shù)冪函數(shù)估計(jì)式為：

(18)

2 腐蝕疲勞試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)概況

本試驗(yàn)通過MTS電液伺服加載系統(tǒng)對(duì)70×5 mm的Q345等邊角鋼進(jìn)行腐蝕疲勞試驗(yàn)，加載頻率4 Hz,見圖1。據(jù)角鋼構(gòu)件在輸電塔體中的連接構(gòu)造要求對(duì)試件加工開孔，孔直徑20 mm；為避免腐蝕削弱試件連接部位材料性能及真實(shí)反映試件中部構(gòu)造部位疲勞性能，試驗(yàn)中對(duì)試件端部進(jìn)行防腐處理，試件最終加工狀態(tài)見圖2。

利用濃硫酸、硝酸、鹽酸及蒸餾水按一定比例配置成PH=2的酸性溶液[12]。并用“浸泡-晾置”腐蝕方式對(duì)試件進(jìn)行腐蝕，即將試件在酸性溶液中浸泡2 h，取出后在空氣中晾置2 h，如此往復(fù)循環(huán)3次，共12 h為一次完整腐蝕。腐蝕疲勞試驗(yàn)中采用“腐蝕-疲勞”交替循環(huán)加載方式，即將試件腐蝕12 h后再進(jìn)行疲勞振動(dòng)。為研究Q345等邊角鋼疲勞性能隨腐蝕時(shí)間變化規(guī)律，分別對(duì)三組試件進(jìn)行“腐蝕-疲勞”交替循環(huán)2次、3次、4次，腐蝕時(shí)間t1，t2，t3分別為24 h，36 h，48 h。各組試件等幅疲勞荷載水平相同，共6級(jí)。每級(jí)荷載水平均采用一個(gè)角鋼構(gòu)件進(jìn)行單點(diǎn)試驗(yàn)。

圖1 MTS電液伺服加載系統(tǒng)

2.2 試驗(yàn)現(xiàn)象

試件浸泡于酸性溶液中會(huì)緩慢產(chǎn)生大量氣泡附著容器壁，浸泡2 h后試件表面及容器底壁均有灰黑色反應(yīng)產(chǎn)物，見圖3(a)。試件浸泡后置于空氣中，表面的腐蝕液與氧氣接觸致腐蝕速率加快，隨腐蝕液蒸發(fā)腐蝕速度逐漸減慢，因在空氣中晾置時(shí)間較短，且無風(fēng)自然蒸發(fā)，致試件表面產(chǎn)生一層較厚的紅褐色鐵銹，見圖3(b)。不同腐蝕時(shí)間內(nèi)，同一荷載水平作用下試件疲勞破壞模式見圖4。三組試件破壞模式基本相同，斷口較整齊，均呈現(xiàn)脆性破壞典型特征。但試驗(yàn)過程中三組試件存在差異，振動(dòng)荷載較大時(shí)試件受腐蝕時(shí)間影響不明顯，有塑性破壞特征；隨振動(dòng)荷載減小，試件腐蝕時(shí)間越長(zhǎng)，振動(dòng)疲勞次數(shù)越少，腐蝕致疲勞性能退化越顯著。

圖3 試件“浸泡-晾置”后狀態(tài)

2.3 試驗(yàn)結(jié)果

2.3.1 不同腐蝕時(shí)間內(nèi)P-S-N曲線估計(jì)式建立

各級(jí)荷載水平作用下，三組試件經(jīng)不同“腐蝕-疲勞”循環(huán)次數(shù)后疲勞壽命見表1。對(duì)比分析知，各級(jí)荷載水平作用下試件疲勞壽命隨腐蝕時(shí)間增加而減小；荷載水平較高時(shí)，試件疲勞壽命受腐蝕時(shí)間影響較小，但隨荷載水平降低，腐蝕時(shí)間對(duì)試件疲勞壽命影響逐漸顯著。如，Smax為156.22 MPa時(shí)，試件由2次“腐蝕-疲勞”循環(huán)增加到3、4次時(shí)，腐蝕時(shí)間均增加12 h，但疲勞壽命卻依次降低18%，10%。據(jù)表1，用1.1節(jié)系數(shù)求解步驟分別確定三組Q345等邊角鋼構(gòu)件經(jīng)不同腐蝕時(shí)間后S-N曲線各系數(shù)見表2。

表1 不同腐蝕時(shí)間疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果

表2 不同腐蝕時(shí)間內(nèi)S-N曲線參數(shù)

由統(tǒng)計(jì)表[11]查得可靠度為50%、99%時(shí)up分別為0，-2.326，將up值與表2參數(shù)值代入式(3)、式(18)計(jì)算可靠度為50%、99%時(shí)不同腐蝕時(shí)間對(duì)應(yīng)的P-S-N曲線方程各參數(shù)見表3；將表3參數(shù)代入式(18)確定三組腐蝕時(shí)間對(duì)應(yīng)的P-S-N曲線方程；據(jù)表1試驗(yàn)結(jié)果及腐蝕時(shí)間P-S-N曲線方程繪制試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布與P-S-N曲線變化，見圖5，從而可直觀形象驗(yàn)證方程參數(shù)的精確程度。

表3P=50%，99%時(shí)腐蝕疲勞P-S-N曲線參數(shù)隨時(shí)間變化規(guī)律

Tab.3Thevariationtrendofmaterialparameterswiththereliabilitylevelsof50%and99%withindifferentcorrosiontime

ti/hm(ti)S0(ti)P=50%P=99%C′0.5(ti)C′0.99(ti)m′(ti)244.33561.5314.732 10132.024 1013-0.126364.30257.8653.677 10131.889 1013-0.100484.22654.3812.719 10131.511 1013-0.085

2.3.2 不同腐蝕時(shí)間P-S-N曲面估計(jì)式建立

本文的可靠度P為50%、99%時(shí)各參數(shù)隨腐蝕時(shí)間變化關(guān)系式為：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

圖5 P=50%、99%時(shí)不同腐蝕時(shí)間P-S-N曲線

圖6 各參數(shù)隨腐蝕時(shí)間變化規(guī)律

將式(19)～式(24)代入式(18)，確定P為50%、99%時(shí)70×5 mm的Q345等邊角鋼腐蝕疲勞壽命隨腐蝕時(shí)間變化曲面方程為：

Np=f(Smax,t)

(25)

式中：若t=0～50 h，Smax=100～500 MPa及P= 99%時(shí)疲勞壽命變化曲面見圖7。曲面隨t，Smax的變化趨勢(shì)形象反映出角鋼構(gòu)件疲勞壽命變化規(guī)律。相同Smax作用下曲面翻卷最大高度隨t急劇下降反映出相同Smax作用下試件疲勞振動(dòng)次數(shù)隨t增加而顯著減少；相同腐蝕時(shí)間內(nèi)疲勞壽命隨t的變化規(guī)律與圖5相似，隨Smax值的增加腐蝕時(shí)間對(duì)疲勞壽命影響逐漸減弱，曲面趨于平坦。

圖7 P=99%時(shí)不同腐蝕時(shí)間S-N曲面

3 結(jié) 論

(1) 通過將單點(diǎn)-似然法與相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法結(jié)合，提出確定某腐蝕時(shí)間內(nèi)S-N曲線表達(dá)式各參數(shù)的改進(jìn)回歸分析方法，并給出實(shí)現(xiàn)算法。

(2) 通過回歸分析方法結(jié)合概率分析建立隨腐蝕時(shí)間變化的t-P-S-N曲面表達(dá)式。通過三組不同腐蝕時(shí)間的18根足尺Q345等邊角鋼試件疲勞試驗(yàn)結(jié)果，分析P-S-N曲面方程中各參數(shù)隨腐蝕時(shí)間的變化規(guī)律，并給出相應(yīng)表達(dá)式。

(3) 綜合各參數(shù)隨腐蝕時(shí)間變化規(guī)律，建立反映Q345等邊角鋼試件t-P-S-N曲面模型。通過該模型計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相同疲勞荷載水平作用下試件疲勞壽命隨腐蝕時(shí)間急劇減??；同一腐蝕時(shí)間內(nèi)疲勞壽命受腐蝕因素影響程度隨荷載減小而增加。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]ASTM E468-76, American society for testing and materials[R]. Philadelphia, 1976.

[2]Nakazawa H, Kodama S S.StatisticalS-Ntesting method with 14 specimens: JSME standard method for determination ofS-Ncurves[C]. In: Statistical research on fatigue and fracture. New York: Elsevier Applied Science, 1987: 59-69.

[3]Nishijima S. Statistical analysis of small sample fatigue data [C]. In: Statistical research on fatigue and fracture. New York: Elsevier Applied Science, 1987:1-19.

[4]Ling J, Pan J. A maximum likelihood method for estimatingP-S-Ncurves[J]. International Journal of Fatigue, 1997, 19(5): 59-69.

[5]傅惠民.a-N(a-t)曲線三參數(shù)冪函數(shù)擬合法[J]. 航空學(xué)報(bào), 1989, 10(12): 666-670.

FU Hui-min. A method of three-parameter power function for fittinga-N(a-t) curve[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 1989, 10(12): 666-670.

[6]傅惠民.ε-N曲線三參數(shù)冪函數(shù)公式[J]. 航空學(xué)報(bào), 1993,14(3):173-176.

FU Hui-min. A formula of three-parameter power function forε-Ncurves[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 1993, 14(3): 173-176.

[7]傅惠民. 三參數(shù)冪函數(shù)回歸分析[J]. 航空學(xué)報(bào), 1994, 9(2):186-190.

FU Hui-min. Regression analysis of three-parameter power functions [J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 1994, 9(2):186-190.

[8]熊俊江, 黃新宇, 高鎮(zhèn)同. 極大似然法對(duì)比試驗(yàn)研究及其試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理[J]. 航空學(xué)報(bào),1996,17(5):539-542.

XIONG Jun-jiang, HUANG Xin-yu,GAO Zhen-tong. Comparative test study for the maximum likelihood principle and the treatment of its fatigue test data [J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,1996,17(5): 539 -542.

[9]熊俊江. 疲勞斷裂可靠性工程學(xué)[M]. 北京：國防工業(yè)出版社, 2008.

[10]高鎮(zhèn)同, 熊俊江. 疲勞應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)[M]. 北京：國防工業(yè)出版社,1986.

[11]張春濤. 腐蝕環(huán)境和風(fēng)振疲勞耦合作用下輸電塔線體系疲勞性能研究[D]. 重慶:重慶大學(xué), 2012.

[12]陳曉龍, 施慶生, 鄧曉衛(wèi). 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 南京:東南大學(xué)出版社,2011.