王相兵, 童水光

(浙江大學(xué) 能源工程學(xué)系, 杭州 310027)

液壓柔性機(jī)械臂系統(tǒng)是機(jī)械系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)與控制系統(tǒng)的耦合系統(tǒng),各種力學(xué)因素相互作用、相互影響,表現(xiàn)出強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)特性,臂架的柔性變形不容忽視。同時(shí),由于采用了輕質(zhì)結(jié)構(gòu),其過大的變形對(duì)動(dòng)態(tài)性能會(huì)造成極大影響。為了對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)精密控制,需要進(jìn)行精確的動(dòng)力學(xué)分析[1]。柔性機(jī)械臂的研究在建模、運(yùn)動(dòng)學(xué)與軌跡規(guī)劃、動(dòng)力學(xué)和控制上雖取得了大量的成果[2-3],然而已有的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究基本采用瞬時(shí)結(jié)構(gòu)假設(shè),及單獨(dú)考慮剛體運(yùn)動(dòng)與柔性變形,忽略剛?cè)狁詈袭a(chǎn)生的非線性動(dòng)力學(xué)效應(yīng)。目前,國內(nèi)外學(xué)者對(duì)液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂的研究大都局限于臂桿的剛性范圍內(nèi),沒有考慮到柔性變形對(duì)整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響[4-5]。對(duì)液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)特征值靈敏度分析大都通過試驗(yàn)獲取,未從理論上進(jìn)行推導(dǎo),對(duì)其結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究處于探索階段[6-8]。近年來,隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的不斷發(fā)展,對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行剛?cè)狁詈辖Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真正成為研究的熱點(diǎn)。

本文將以液壓挖掘機(jī)的臂架系統(tǒng)為研究對(duì)象,將臂桿模擬成柔性機(jī)械臂,不考慮各臂桿鉸接處和液壓缸連接處的摩擦,充分考慮剛體運(yùn)動(dòng)與柔性變形,建立剛?cè)狁詈系膭?dòng)力學(xué)模型,通過數(shù)值求解的方法對(duì)其典型工況運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行計(jì)算, 利用ADAMS和NASTRAN軟件建立液壓挖掘機(jī)工作裝置剛?cè)狁詈夏Ｐ筒⑦M(jìn)行仿真分析,對(duì)比分析二者結(jié)果以驗(yàn)證本文建模方法的正確性。最后利用數(shù)值分析的方法對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究,研究結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)其結(jié)構(gòu)靈敏度影響,為進(jìn)一步研究臂架的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和運(yùn)動(dòng)精確控制提供依據(jù)。

1 基于多柔體理論的虛擬樣機(jī)動(dòng)力學(xué)建模

在液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)過程中,剛性運(yùn)動(dòng)與柔性變形相互作用形成剛?cè)狁詈系亩嗳狍w系統(tǒng),表現(xiàn)出非線性動(dòng)力學(xué)特性。充分考慮剛體運(yùn)動(dòng)與柔性變形的影響, 運(yùn)用彈性力學(xué)、分析力學(xué)知識(shí),采用Lagrange定理、假設(shè)模態(tài)法和虛功原理建立液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 坐標(biāo)系和廣義坐標(biāo)的建立

圖1所示為液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖,臂桿采用液壓缸驅(qū)動(dòng)。液壓挖掘機(jī)的工作裝置由動(dòng)臂、斗桿、末端鏟斗、液壓驅(qū)動(dòng)缸1、液壓驅(qū)動(dòng)缸2、液壓驅(qū)動(dòng)缸3組成。

1.2 臂架系統(tǒng)的動(dòng)能

采用假設(shè)模態(tài)法建立臂桿的彈性變形方程。臂桿的變形u為時(shí)間t和x的函數(shù)即u(x,y),將k臂桿上k點(diǎn)的變形u用模態(tài)基函數(shù)φkl的線性組合[11]表示為：

(1)

式中qkl為對(duì)應(yīng)φkl的與時(shí)間t相關(guān)的廣義坐標(biāo),φkl為與局部坐標(biāo)x相關(guān)的k臂桿的l階模態(tài)振型基函數(shù),nk為模態(tài)階數(shù)。在工程結(jié)構(gòu)中一階模態(tài)在彈性振動(dòng)中占據(jù)了絕大部分的比重[12],所以取nk=1,即一階彈性模態(tài),研究其性能完全可以滿足工程結(jié)構(gòu)需要,其模態(tài)基函數(shù)為:

(2)

圖1 液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 系統(tǒng)坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)

圖3 臂桿的l1坐標(biāo)示意圖

r01=A1r1=A1(ux1+uy2)

(3)

式中,r01為臂桿l1上點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系Oxy中的位置矢量,uy1=[0φ1q1]T,A1為局部坐標(biāo)系O1x1y1到總體坐標(biāo)系Oxy的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,即;

(4)

(5)

由此可得P1點(diǎn)速度:

(6)

(7)

A1y=A1[0φ1]T,D11=BA1[x1φ1q1]T

對(duì)動(dòng)臂的l2段:

其動(dòng)能為:

(8)

其中

同理,r02為臂桿l2上任意點(diǎn)P在慣性坐標(biāo)系Oxy中的位置矢量,r2為點(diǎn)P2在動(dòng)坐標(biāo)系O2x2y2中的位置矢量

設(shè)A2為局部坐標(biāo)系O2x2y2到總體坐標(biāo)系Oxy的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,

(9)

動(dòng)點(diǎn)P2表達(dá)式為:

(10)

則其動(dòng)能表達(dá)式為：

(11)

式中:

A3y=A2[0φ3]T,D33=BA2[x2φ3q2]T

對(duì)于末端鏟斗,首先簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型,將鏟斗和重物載荷視為集中質(zhì)量mp,忽略連桿彈性變形對(duì)端點(diǎn)載荷的動(dòng)能和勢(shì)能的影響,末端位置矢量為：

(12)

末端鏟斗集中質(zhì)量動(dòng)能為：

(13)

則臂架系統(tǒng)的總動(dòng)能為:

(14)

其中質(zhì)量矩陣M由各質(zhì)量陣裝配得到：

(16)

(17)

1.3 臂架系統(tǒng)的勢(shì)能

液壓挖掘機(jī)運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)發(fā)生彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能的變化,臂架的彈性變形勢(shì)能為：

(18)

式中E表示材料的彈性模量,E1、E2、E3、E4分別表示臂桿l1、l2、l3截面的平均慣性矩。將模態(tài)基函數(shù)代入(18),用矩陣表示其廣義坐標(biāo)形式的彈性變形勢(shì)能為:

(19)

式中K表示剛度矩陣,其中：

(21)

忽略臂架變形引起的勢(shì)能變化,則其重力勢(shì)能可表示為：

1.4 液壓驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型

挖掘機(jī)機(jī)械臂采用液壓缸驅(qū)動(dòng)裝置,機(jī)械臂與液壓缸鉸接于臂架上一點(diǎn),臂桿和液壓缸鉸接的結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示 ,Ai、Bi表示液壓缸與相鄰臂桿的鉸接點(diǎn),a32+a41=L1,a21=0,a12=l1,a22=l2。則三個(gè)液壓缸的位移矢量分別為:

(23)

圖4 臂桿和液壓缸鉸接示意圖

R2=rOB2-rOA2=

(24)

(25)

則液壓缸的驅(qū)動(dòng)力、動(dòng)力矩為:

(26)

T1=F1ya12cos(θ1+θa)+F1xa12sin(θ1+θa)

(27)

T2=F2ya12cos(θ1-θb)+F2xa12sin(θ1-θb)

(28)

T3=F3ya32cos(θc-θ2)+F3xa32sin(θc-θ2)

(29)

1.5 液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂柔性多體動(dòng)力學(xué)模型

在液壓挖掘機(jī)的柔性機(jī)械臂的廣義坐標(biāo)系η=[θ1q1θ2q2]T中,設(shè)Lagrange函數(shù)L=T-U-V,將動(dòng)能T、彈性變形勢(shì)能V及重力勢(shì)能U代入第二類拉格朗日方程:

(30)

得到:

(31)

式中Qk表示廣義坐標(biāo)力, 根據(jù)虛功原理,廣義驅(qū)動(dòng)力所做的功:

(32)

式中：u1、u2、u3分別表示機(jī)械臂各段模態(tài)函數(shù)。Qk取液壓缸驅(qū)動(dòng)力為主動(dòng)力,以力矩形式表示,則其廣義力列陣為:

則整理后的臂架柔性多體動(dòng)力學(xué)方程為：

(34)

(35)

式中:mθθ、mθq、mqq組成質(zhì)量矩陣M,Kqq為剛度矩陣,v與D分別為速度的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)矩陣。由于上述建模基于小變形假設(shè),彈性運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)q很小,忽略方程中的相關(guān)項(xiàng),則動(dòng)力學(xué)方程中的相應(yīng)系數(shù)可表示為:

(36)

(37)

(38)

(39)

方程(34)、(35)也明顯表現(xiàn)出剛性運(yùn)動(dòng)和彈性運(yùn)動(dòng)相互耦合即柔性多體動(dòng)力學(xué)的基本特征。如果不考慮廣義坐標(biāo)q,即把式(34)、(35)中與廣義坐標(biāo)q的相關(guān)項(xiàng)省略,就得到了臂架的剛性模型。

2 動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值求解與仿真分析

表1 液壓挖掘機(jī)工作裝置參數(shù)表

圖5 液壓缸的控制信號(hào)

同樣,采用仿真的方法對(duì)液壓挖掘機(jī)柔性機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真可得相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)仿真曲線。首先需建立液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂剛?cè)狁詈系奶摂M樣機(jī)模型。液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂剛?cè)狁詈夏Ｐ偷慕⒓胺抡孢^程如下:首先利用有限元分析軟件NASTRAN建立動(dòng)臂和斗桿的有限元模型。在模型的每個(gè)鉸孔中利用RBE2單元建立蜘蛛網(wǎng)剛性區(qū)域,利用ROD單元模擬剛性銷軸,得到動(dòng)臂和斗桿的柔性體。對(duì)柔性體進(jìn)行模態(tài)分析,生成模態(tài)中性文件.mnf ,將模態(tài)中性文件導(dǎo)入ADAMS中替換相應(yīng)的剛性體,建立液壓挖掘機(jī)剛?cè)狁詈夏Ｐ?。選擇典型挖掘工況進(jìn)行仿真,圖8表示液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真,圖9和圖10表示動(dòng)臂、斗桿末端剛?cè)徇\(yùn)動(dòng)位移和速度仿真曲線。

圖8 液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真

通過對(duì)比數(shù)值求解和仿真結(jié)果可知,液壓挖掘機(jī)柔性機(jī)械臂在標(biāo)準(zhǔn)挖掘過程中各動(dòng)臂和斗桿的位移和速度的響應(yīng)的變化趨勢(shì)基本一致,二者的誤差值在0.1之內(nèi),說明建模和求解的過程和方法是正確的。

圖9 動(dòng)臂末端的運(yùn)動(dòng)位移和速度仿真曲線

圖10 斗桿末端的運(yùn)動(dòng)位移和速度仿真曲線

3 基于數(shù)值求解的動(dòng)態(tài)特性分析

研究液壓挖掘機(jī)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)鍵問題之一就是確定設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響程度。進(jìn)行結(jié)構(gòu)特征靈敏度分析可以求出結(jié)構(gòu)各部分質(zhì)量、剛度及阻尼的微小變化對(duì)結(jié)構(gòu)特征值與特征向量改變的敏感程度,從而指導(dǎo)結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的修改[13]。質(zhì)量和剛度的靈敏度矩陣由中心差分法得到[14]：

(40)

(41)

進(jìn)一步可得動(dòng)特性能參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度矩陣表達(dá)式[15-17]：

(42)

式中ωj代表相關(guān)部件第j階固有頻率,φj代表相應(yīng)的第j階固有振型。可知模態(tài)頻率對(duì)性能參數(shù)的靈敏度靈敏度與質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的靈敏度以及振動(dòng)速度、激勵(lì)頻率以及結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)相關(guān)。

對(duì)式(35)-(42)所建立的動(dòng)力學(xué)模型利用MATLAB編程進(jìn)行計(jì)算得到相關(guān)幾何參數(shù)的一階固有頻率靈敏度及各部位的模態(tài)響應(yīng)。

圖11為固有頻率對(duì)動(dòng)臂鉸點(diǎn)位置變化的靈敏度曲線,圖中1、2、3、4分別表示工作裝置固有頻率對(duì)動(dòng)臂鉸點(diǎn)距離L、動(dòng)臂彎度、動(dòng)臂長(zhǎng)度l1和l2等鉸點(diǎn)位置參數(shù)的靈敏度值隨動(dòng)臂擺角變化的分布；圖12為工作裝置固有頻率對(duì)動(dòng)臂轉(zhuǎn)角和斗桿姿態(tài)角的靈敏度值隨斗桿擺角變化分布曲線；1、2 分別代表固有頻率對(duì)動(dòng)臂和斗桿姿態(tài)角的靈敏度曲線；圖13為固有頻率隨斗桿轉(zhuǎn)角變化的曲線,圖14為動(dòng)臂與斗桿連接孔處豎直方向位移模態(tài)響應(yīng),圖15為動(dòng)臂與斗桿連接孔處豎直方向位移模態(tài)響應(yīng)頻譜圖。

圖11 固有頻率對(duì)鉸點(diǎn)位置參數(shù)靈敏度隨動(dòng)臂轉(zhuǎn)角變化曲線

分析圖11表明:鉸點(diǎn)位置分布的靈敏度對(duì)工作裝置的工作模態(tài)影響較大,對(duì)動(dòng)臂而言,鉸點(diǎn)距離L的靈敏度相對(duì)其他參數(shù)影響更為明顯。圖12表明:姿態(tài)角的靈敏度曲線大部分位于0刻度曲線以下,說明在液壓缸的伸長(zhǎng)過程中,固有頻率呈下降趨勢(shì);工作裝置的固有頻率隨動(dòng)臂姿態(tài)角的靈敏度的變化穩(wěn)定,隨斗桿姿態(tài)角的變化比較明顯。圖13表明:斗桿擺角對(duì)工作裝置的固有頻率影響較大。分析圖14、圖15表明:挖掘機(jī)在液壓缸力矩驅(qū)動(dòng)下的模態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)出明顯的非線性,其模態(tài)振級(jí)為10-2m,是在剛性響應(yīng)的基礎(chǔ)上的小幅振動(dòng);其豎向振動(dòng)最為強(qiáng)烈,一階固有頻率對(duì)機(jī)械臂的振動(dòng)影響最大。

圖14 動(dòng)臂與斗桿連接孔處豎直方向位移模態(tài)響應(yīng)

圖15 動(dòng)臂與斗桿連接孔處豎直方向位移模態(tài)響應(yīng)頻譜圖

4 結(jié) 論

論文基于多柔體理論對(duì)液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析推導(dǎo),建立了液壓挖掘機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程,通過數(shù)值求解與仿真分析的方法驗(yàn)證了建模方法的正確性。根據(jù)建立的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行結(jié)構(gòu)靈敏度及其模態(tài)響應(yīng)分析,研究了影響挖掘機(jī)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)特性的主要因素,主要為鉸分布及相關(guān)結(jié)構(gòu)尺寸。本文所采用的建模和數(shù)值求解分析方法為液壓挖掘機(jī)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)改進(jìn)、提高工作平穩(wěn)性、實(shí)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)精確控制等提供依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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