(四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽(yáng) 618000)

平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副是20世紀(jì)70年代由我國(guó)首創(chuàng)的一種優(yōu)良傳動(dòng)副[1]。作為一種可靠的重載傳動(dòng)副，它具有承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)效率高、使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于冶金礦山機(jī)械、化工硫化機(jī)械、軍艦和船舶甲板機(jī)械[2]。雖然平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副是我國(guó)的原創(chuàng)技術(shù)，但是加工高精度蝸桿副比較困難；所以，國(guó)內(nèi)平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)與國(guó)外的類似蝸桿傳動(dòng)產(chǎn)品相比還是存在較大差距[3-10]。在機(jī)械加工中，機(jī)床加工精度最終是由刀具與工件間的相對(duì)位移決定的，刀具與工件間的誤差可用誤差數(shù)學(xué)模型來(lái)表示。本文根據(jù)多體系統(tǒng)理論及運(yùn)動(dòng)副的誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)原理對(duì)包含2個(gè)移動(dòng)副和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副并考慮幾何誤差和熱誤差等共計(jì)37個(gè)誤差元素的四軸數(shù)控蝸桿加工機(jī)床建立空間幾何誤差模型[3]。

1 理論基礎(chǔ)

第1次包絡(luò)過(guò)程的坐標(biāo)設(shè)置如圖1所示。Sj為蝸桿的靜坐標(biāo)系。S1為與蝸桿固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系。S0為工作臺(tái)的固定坐標(biāo)系，也即蝸輪的靜坐標(biāo)系。S2為與工作臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系即蝸輪的動(dòng)坐標(biāo)系[4]。

圖1 包絡(luò)坐標(biāo)系的建立

利用空間嚙合原理和旋轉(zhuǎn)變換矩陣法可推導(dǎo)出蝸桿理論廓面方程為:

(1)

由蝸桿齒面方程[1]可知，式(1)為關(guān)于u和φ2(φ1)的函數(shù)，且其齒面接觸線為直線。φ2、φ1分別為第2次和第1次包絡(luò)轉(zhuǎn)角。當(dāng)確定某一φ2(φ1)值時(shí)，即得到某一時(shí)刻蝸桿齒面上的一條接觸線，此時(shí)變換u值即可得此接觸線上沿齒高方向的不同點(diǎn)。φ2和u值范圍可由以下幾何關(guān)系[5]求得：

(2)

式中：φi為蝸桿工作起始角；φh為蝸桿工作半角；rf2、ra2分別為與蝸桿配對(duì)的蝸輪的齒根圓弧半徑和齒頂圓弧半徑。

構(gòu)造蝸桿齒面時(shí)，首先將工作角φ2以一定的步長(zhǎng)進(jìn)行離散，然后在每一確定的φ2處取u的最大值和最小值分別代入蝸桿齒面方程式即可得到接觸線兩端點(diǎn)，最后將所有點(diǎn)擬合即可得蝸桿齒面。

2 機(jī)床幾何空間誤差建模理論

本節(jié)詳細(xì)介紹蝸桿加工數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)、低序陣列圖以及低序體陣列表。下面根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)給出各軸運(yùn)動(dòng)誤差。圖2中四軸加工機(jī)床在實(shí)際加工中每根運(yùn)動(dòng)軸將包含6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差：TMX、TMY、TMZ、RMX、RMY、RMZ。其中，RMX、RMY、RMZ是轉(zhuǎn)動(dòng)誤差，TMX、TMY、TMZ是移動(dòng)誤差。機(jī)床在加工工件過(guò)程中所有的誤差都是在變化的，所以移動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)量也是變化的；因此，機(jī)床就產(chǎn)生了24(4×6)項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差。同時(shí)，主軸產(chǎn)生3項(xiàng)熱漂移誤差，X、Y、A、B軸又會(huì)產(chǎn)生4項(xiàng)垂直誤差，分別是Sxz、Sax、Say、Syx、Sab，一共37項(xiàng)誤差。T、R、S分別表示移動(dòng)誤差、轉(zhuǎn)動(dòng)誤差、垂直度誤差[6]。求出的各特征矩陣如下。

圖2 蝸桿加工機(jī)床示意圖

1)主軸與Y軸的轉(zhuǎn)換矩陣

(3)

2)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣

VXY=[VXY]pe[VXY]s[VXY]se=

(4)

其中，Y為其角位移。

3)X軸的移動(dòng)變換矩陣

VZX=[VZX]pe[VZX]s[VZX]se=

(5)

其中，X為其角位移。

4)Z軸的移動(dòng)變換矩陣

VOZ=[VOZ]s[VOZ]se=

(6)

其中，Z為其移動(dòng)位移。

5)A軸的轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣

VOA=[VZX]pe[VZX]s[VZX]se=

(7)

其中，A表示其角位移。

6)B軸的轉(zhuǎn)動(dòng)變換矩陣

VTB=[VTB]pe[VTB]s[VTB]se=

(8)

其中，B表示其角位移。

設(shè)刀尖點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系的位置矢量t=[0 0 0]T，理論切削點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中的位置矢量w=[xWyWzW]T，那么刀尖點(diǎn)和理論切削點(diǎn)在機(jī)床床身坐標(biāo)系中的位置矢量tO、wO分別為：

(9)

式中：VOZVZXVXYVYT表示從刀具到床身的刀具分支坐標(biāo)變換矩陣；VOA表示從工件到床身的工件分支坐標(biāo)變換矩陣。

令e=[ΔxΔyΔz]T表示機(jī)床加工的誤差矢量，則有

(10)

用牛頓迭代法[5]求解和φc的值，將其代入理論工作廓面方程即可得蝸桿理論廓面上點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x,y,z)。平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面的法向誤差為

(11)

式中：P1是誤差點(diǎn)；P2是蝸桿理論廓面上的點(diǎn)。

將式(3)—(10)的變換矩陣帶入式(11)，計(jì)算得機(jī)床加工蝸桿廓面誤差

Re=R·VOZVZXVXYVYTVTB-C

(12)

式中C為蝸桿毛坯的轉(zhuǎn)動(dòng)中心在第1次包絡(luò)坐標(biāo)系的位矢量。

3 計(jì)算結(jié)果與實(shí)例分析

3.1 蝸桿法向誤差計(jì)算

本文以一蝸桿計(jì)算為例進(jìn)行分析。蝸桿的具體參數(shù)：中心距a=200 mm，基圓半徑rb=65 mm，蝸桿分度圓直徑d1=70 mm，母平面傾角β=10°35′,蝸桿頭數(shù)=1，傳動(dòng)比i=40，蝸桿工作起始角φi=7°14′,蝸桿工作半角φh=15°5′，rf2=157.575 mm,ra2=170.775 mm。

由式(1)、(2)可得φ2、u的范圍分別是：7°14′≤φ2≤39°10′；143.544 mm≤u≤157.920 mm。誤差計(jì)算時(shí)蝸桿坐標(biāo)系X2=h的步長(zhǎng)取為1 mm，S2動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角φ2的步長(zhǎng)取為4°進(jìn)行計(jì)算。

設(shè)各軸誤差偏移量為1×10-3mm，角誤差轉(zhuǎn)動(dòng)量為0.5×10-6rad，誤差數(shù)據(jù)如圖3—8。

圖3 X軸誤差對(duì)法向誤差的影響

圖4 Y軸誤差對(duì)法向誤差的影響

圖5 Z軸誤差對(duì)法向誤差的影響

圖6 A軸誤差對(duì)法向誤差的影響

圖7 綜合誤差對(duì)法向誤差的影響

3.2 結(jié)果分析

如圖3—8所示，在蝸桿副數(shù)控機(jī)床切削加工中，根據(jù)輸出的蝸桿副誤差輸出數(shù)據(jù)，取機(jī)床原始誤差對(duì)蝸桿法向誤差的影響平均值進(jìn)行排序，從大到小為Z軸、主軸、A軸、X軸。

X軸對(duì)法向誤差的影響在7°～23°區(qū)間遞減，在23°～39°區(qū)間上升，沿著u方向誤差增加，如圖3所示。Y軸對(duì)法向誤差的影響在7°～19°區(qū)間遞減，在19°～39°區(qū)間沿著u方向增加0.002 mm，如圖4所示。Z軸對(duì)法向誤差的影響在7°～23°區(qū)間線性遞減，在23°～39°區(qū)間變化不大，且沿u坐標(biāo)方向誤差很小，可以認(rèn)為u對(duì)Z軸的誤差幾乎沒(méi)影響，如圖5所示。A軸對(duì)法向誤差的影響在7°～19°區(qū)間遞減，在23°～39°區(qū)間變化不大，且沿u方向的誤差遞增，Δe≤0.001 mm。綜合誤差對(duì)法向誤差的影響在7°～23°區(qū)間遞減，在23°～39°區(qū)間遞增呈U型分布，在23°取得最小，e=0.003 mm。

4 結(jié)論

1)引入數(shù)控機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)誤差到平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面誤差分析中，推導(dǎo)出包含機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)誤差的平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿誤差廓面方程，給出了平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面法向誤差的計(jì)算方法。

2)通過(guò)實(shí)例計(jì)算分析，其結(jié)果表明，機(jī)床綜合誤差對(duì)平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面精度影響較大，所以在平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿實(shí)際加工過(guò)程中必須嚴(yán)格控制這些綜合誤差。

3)本文的研究成果對(duì)于數(shù)控機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償和平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面精度的預(yù)測(cè)以及高精度平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿的制造提供了理論參考。

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