馮想++金海蘭

摘要：“微積分”模塊是高中數(shù)學的新增內(nèi)容，也是學習大學數(shù)學的基礎(chǔ)。它研究變量間的函數(shù)關(guān)系，是進一步學習數(shù)學和其他學科以及掌握現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)必須具備的專業(yè)知識。但長期以來“微積分”模塊在高中課程中沒有得到應有的體現(xiàn)，難以滿足社會的需要。本文回顧“微積分”模塊教學歷程以及新課標對高中數(shù)學中“微積分”模塊教學的要求，指出“微積分”模塊教學過程中存在的問題：對微積分知識的定位不準，常量思維的根深蒂固，應試教育的影響。同時針對幾種典型例題提出相應的教學策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；微積分；問題成因；教學策略

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0058-02

一、引言

“微積分”模塊是以函數(shù)為研究對象，研究生活中運動、變化以及變化著的量之間的關(guān)系?！拔⒎e分”模塊的學習，能夠培養(yǎng)學生的辯證觀點，提高分析問題解決問題的能力。對于解決生活中的最優(yōu)化問題有很大幫助。

1.我國“微積分”模塊教學回顧[1]。在1960年曾爭論過“微積分”模塊是否進入中學的問題，有的還寫入了試驗教材。但考慮到學習內(nèi)容已很多，師資也有困難，所以還是未正式列入課程。1980年前后，“微積分”模塊開始進入高中，要求學習微積分的所有內(nèi)容。由于操之過急，教學中無法實施，所以很快改為“選學”，實際上則不學（高考不考）。到1996年，“微積分”模塊再次納入高中課程，不過內(nèi)容和課時都減了。微積分先講極限，再講導數(shù)，從導數(shù)到原函數(shù)到不定積分再到定積分，這是出于數(shù)學的嚴謹性，但學生理解有困難，而且實際應用也不要求如此嚴格。在最新一輪課改中，改變了這一做法，以“瞬時變化率”描述導數(shù)，從導數(shù)的幾何意義和物理意義方面幫助學生直觀理解導數(shù)，把重點放在用導數(shù)研究函數(shù)和解決實際問題上。目前正朝“理解導數(shù)思想，強調(diào)導數(shù)實際應用”的方向努力。

2.新課標對高中“微積分”模塊教學目標的要求（所指教材均為人教版教材）。突出導數(shù)概念的本質(zhì)，感受和領(lǐng)悟“微積分”模塊的基本思想。不講極限概念，不是把導數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來處理，而是直接通過實際背景和具體實例反映導數(shù)思想和本質(zhì)。新課程希望學生在今后的學習和步入社會后，能留下對微積分的一些實際認識。同時也體現(xiàn)“課標”讓學生在經(jīng)歷中感受數(shù)學的思想，認識數(shù)學，主動參與數(shù)學教學活動的基本理念。強調(diào)導數(shù)在研究事物的變化率，函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問題中的應用，感受和體會導數(shù)在處理問題中的一般性和有效性。重視幾何直觀等思想方法的滲透和學習。反復通過圖形去認識和感受導數(shù)的幾何意義，以及用導數(shù)的幾何意義去解決問題。“課標”提高了對導數(shù)幾何意義的理解以及用導數(shù)的幾何意義去解決問題的要求，其目的一是加深對導數(shù)本質(zhì)的認識和理解，二是體現(xiàn)數(shù)學中幾何直觀這一重要數(shù)學思想方法對于數(shù)學學習的意義和作用。

二、高中數(shù)學“微積分”模塊在教學中存在的問題

“微積分”模塊是高中數(shù)學教材新增的內(nèi)容，無論對于學生還是教師都是“新”的。作為教師不僅要學習新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵和本質(zhì)。

1.對微積分知識的定位不準。微積分的運動變化的思維方式與之前所學函數(shù)靜態(tài)的思維方式有很大的不同，中學生開始接觸微積分的基本概念時不能一下子就領(lǐng)悟它也是很正常的。關(guān)鍵是教師不能照本宣科，而應作充分準備性說明，從幾何直觀逐步過渡到邏輯推理上去，但不能僅僅停留在幾何直觀上，只是在知識的廣度和深度方面要適可而止。既要考慮學生的接受能力，又不能低估學生的理解能力[2]。

2.常量思維的根深蒂固?！拔⒎e分”模塊教學研究的是變量間的函數(shù)關(guān)系，學生對微積分中變量認識不深刻[3]。因為常量思想的根深蒂固，對變量思想的轉(zhuǎn)變會有一個過程，在這個過程中就要求教師運用自己本身的專業(yè)水平進行正確的引導。當然，這種引導就需要教師在實踐中不斷探索。

3.“應試”教育的影響。大綱對文理科學生關(guān)于微積分的教學內(nèi)容和要求相差很大。文理科考試要求與大綱教學內(nèi)容要求相比都有所下降。文科將“極限”所有內(nèi)容刪去，理科刪去“積分”的所有內(nèi)容和“微分的概念和運算”。因為考試不考的原因必然不被學生所重視，所以要淡化“應試”教育思想，為提高能力而學習。

三、高中數(shù)學“微積分”模塊的教學策略

1.運用微積分求曲邊梯形的面積問題。例如：如何求如圖所示的曲線f（x）在區(qū)間[a，b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

分析：在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取n-1個點，將區(qū)間[a，b]分成n個小區(qū)間[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。記為Δxi=[xi-1，xi]，在無限細分的過程中，把每個小曲邊梯形近似看成是矩形，則f（x）為高，那么面積s=f（xi）Δxi=f（x）dx。

策略：在講解時，可以利用多媒體來演示無限細分，無限趨近的過程，讓學生從直觀上來理解定積分所表示對幾何意義。

2.運用微積分求曲線的切線問題的教學策略。在沒有學習導數(shù)之前，求解切線問題，一般的方法是直線方程與曲線方程（一般是二次方程）聯(lián)立組成方程組，消去y，變成關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式Δ=0來求解。學習導數(shù)之后，由導數(shù)的幾何意義我們知道，曲線上某點的切線就是過該點曲線的割線的極限。例如：（1）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，2）點處的切線方程。分析：首先驗證點是否為切點，把（2，2）點帶入函數(shù)，f（2）=22-2=2，則（2，2）點為切點，f'（x）=2x-1，過該點的切線斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切線方程為y-2-3（x-2），即y=3x-4。

（2）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，1）點處的切線方程。分析：首先驗證點（2，1）不在曲線上，不是切點，所以設切點為P（x0，y0），則切點P坐標滿足y0=x02-x0，P點的切線斜率為k=f'（x0）=2x0-1，切線方程為y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及點（2，1）代入切線方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切點為（1，0）和（3，6），切線方程為y=x-1和 y=11x-63。

策略：此類問題首先確定給出點是否為切點（是否在曲線上），若是，求出切線斜率（即該點導數(shù)），由點斜式求出切線方程。若不是，設出切點，表示出切線斜率和切線方程，代入已知函數(shù)方程和點的坐標，求出切點進而求出切線方程。

3.運用微積分求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值問題的教學策略。例如：求函數(shù)f（x）=ex-ax-2的單調(diào)區(qū)間。分析：函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，則f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a>0，令f'（x）=0，則 x=lna。

所以在（-∞，lna）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時f（lna）=a-alna-2為極小值也是函數(shù)的最小值。

策略：對于解決函數(shù)單調(diào)性極值問題，首先分析定義域，讓學生明白定義域是函數(shù)的靈魂，求出f'（x）=0的點作為分界點，把定義域分成幾個小區(qū)間，當f'（x）<0時f（x）單調(diào)遞減；f'（x）>0時f（x）單調(diào)遞增。對于極值和最值問題，要注意極值不一定是最值，最值如果在區(qū)間的內(nèi)部一定為極值，若閉區(qū)間上的最值問題應把極值與端點值進行比較，開區(qū)間上如果有單數(shù)個極值點那么必有一個為最值，若偶數(shù)個極值點無法確定是不是最值。

4.運用微積分解決不等式問題的教學策略。例如：證明當x>0時，ex>sinx。分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx<1，ex>1，從而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，又由于f（0）=1，從而f（x）=sinx-ex<0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以ex>sinx在x∈（0，+∞）恒成立。

策略：對于解決不等式問題，首先構(gòu)造輔助函數(shù)，一般是做差或做商，對輔助函數(shù)求導利用函數(shù)單調(diào)性，求出所在區(qū)間的最值從而達到證明不等式的目的。

四、結(jié)束語

“微積分”模塊作為新課標新增的內(nèi)容，它的教學研究還不夠成熟，正處于探索階段時期，因此如何進行“微積分”模塊的教學是所有教育工作者不斷探索的課題。

參考文獻：

[1]章建躍，左懷玲.我國中學數(shù)學教材的建設與發(fā)展[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]匡繼昌.如何給中學生講授微積分[J].數(shù)學通報，2006，5（45）.

[3]班元超.淺談新課程標準高中微積分教學[J].數(shù)學學習與研究，2011，（23）.

*通訊作者：金海蘭（1963年—），女（朝鮮族），理學博士，副教授，研究方向為代數(shù)學（環(huán)論）。

摘要：“微積分”模塊是高中數(shù)學的新增內(nèi)容，也是學習大學數(shù)學的基礎(chǔ)。它研究變量間的函數(shù)關(guān)系，是進一步學習數(shù)學和其他學科以及掌握現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)必須具備的專業(yè)知識。但長期以來“微積分”模塊在高中課程中沒有得到應有的體現(xiàn)，難以滿足社會的需要。本文回顧“微積分”模塊教學歷程以及新課標對高中數(shù)學中“微積分”模塊教學的要求，指出“微積分”模塊教學過程中存在的問題：對微積分知識的定位不準，常量思維的根深蒂固，應試教育的影響。同時針對幾種典型例題提出相應的教學策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；微積分；問題成因；教學策略

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0058-02

一、引言

“微積分”模塊是以函數(shù)為研究對象，研究生活中運動、變化以及變化著的量之間的關(guān)系?！拔⒎e分”模塊的學習，能夠培養(yǎng)學生的辯證觀點，提高分析問題解決問題的能力。對于解決生活中的最優(yōu)化問題有很大幫助。

1.我國“微積分”模塊教學回顧[1]。在1960年曾爭論過“微積分”模塊是否進入中學的問題，有的還寫入了試驗教材。但考慮到學習內(nèi)容已很多，師資也有困難，所以還是未正式列入課程。1980年前后，“微積分”模塊開始進入高中，要求學習微積分的所有內(nèi)容。由于操之過急，教學中無法實施，所以很快改為“選學”，實際上則不學（高考不考）。到1996年，“微積分”模塊再次納入高中課程，不過內(nèi)容和課時都減了。微積分先講極限，再講導數(shù)，從導數(shù)到原函數(shù)到不定積分再到定積分，這是出于數(shù)學的嚴謹性，但學生理解有困難，而且實際應用也不要求如此嚴格。在最新一輪課改中，改變了這一做法，以“瞬時變化率”描述導數(shù)，從導數(shù)的幾何意義和物理意義方面幫助學生直觀理解導數(shù)，把重點放在用導數(shù)研究函數(shù)和解決實際問題上。目前正朝“理解導數(shù)思想，強調(diào)導數(shù)實際應用”的方向努力。

2.新課標對高中“微積分”模塊教學目標的要求（所指教材均為人教版教材）。突出導數(shù)概念的本質(zhì)，感受和領(lǐng)悟“微積分”模塊的基本思想。不講極限概念，不是把導數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來處理，而是直接通過實際背景和具體實例反映導數(shù)思想和本質(zhì)。新課程希望學生在今后的學習和步入社會后，能留下對微積分的一些實際認識。同時也體現(xiàn)“課標”讓學生在經(jīng)歷中感受數(shù)學的思想，認識數(shù)學，主動參與數(shù)學教學活動的基本理念。強調(diào)導數(shù)在研究事物的變化率，函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問題中的應用，感受和體會導數(shù)在處理問題中的一般性和有效性。重視幾何直觀等思想方法的滲透和學習。反復通過圖形去認識和感受導數(shù)的幾何意義，以及用導數(shù)的幾何意義去解決問題?！罢n標”提高了對導數(shù)幾何意義的理解以及用導數(shù)的幾何意義去解決問題的要求，其目的一是加深對導數(shù)本質(zhì)的認識和理解，二是體現(xiàn)數(shù)學中幾何直觀這一重要數(shù)學思想方法對于數(shù)學學習的意義和作用。

二、高中數(shù)學“微積分”模塊在教學中存在的問題

“微積分”模塊是高中數(shù)學教材新增的內(nèi)容，無論對于學生還是教師都是“新”的。作為教師不僅要學習新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵和本質(zhì)。

1.對微積分知識的定位不準。微積分的運動變化的思維方式與之前所學函數(shù)靜態(tài)的思維方式有很大的不同，中學生開始接觸微積分的基本概念時不能一下子就領(lǐng)悟它也是很正常的。關(guān)鍵是教師不能照本宣科，而應作充分準備性說明，從幾何直觀逐步過渡到邏輯推理上去，但不能僅僅停留在幾何直觀上，只是在知識的廣度和深度方面要適可而止。既要考慮學生的接受能力，又不能低估學生的理解能力[2]。

2.常量思維的根深蒂固。“微積分”模塊教學研究的是變量間的函數(shù)關(guān)系，學生對微積分中變量認識不深刻[3]。因為常量思想的根深蒂固，對變量思想的轉(zhuǎn)變會有一個過程，在這個過程中就要求教師運用自己本身的專業(yè)水平進行正確的引導。當然，這種引導就需要教師在實踐中不斷探索。

3.“應試”教育的影響。大綱對文理科學生關(guān)于微積分的教學內(nèi)容和要求相差很大。文理科考試要求與大綱教學內(nèi)容要求相比都有所下降。文科將“極限”所有內(nèi)容刪去，理科刪去“積分”的所有內(nèi)容和“微分的概念和運算”。因為考試不考的原因必然不被學生所重視，所以要淡化“應試”教育思想，為提高能力而學習。

三、高中數(shù)學“微積分”模塊的教學策略

1.運用微積分求曲邊梯形的面積問題。例如：如何求如圖所示的曲線f（x）在區(qū)間[a，b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

分析：在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取n-1個點，將區(qū)間[a，b]分成n個小區(qū)間[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。記為Δxi=[xi-1，xi]，在無限細分的過程中，把每個小曲邊梯形近似看成是矩形，則f（x）為高，那么面積s=f（xi）Δxi=f（x）dx。

策略：在講解時，可以利用多媒體來演示無限細分，無限趨近的過程，讓學生從直觀上來理解定積分所表示對幾何意義。

2.運用微積分求曲線的切線問題的教學策略。在沒有學習導數(shù)之前，求解切線問題，一般的方法是直線方程與曲線方程（一般是二次方程）聯(lián)立組成方程組，消去y，變成關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式Δ=0來求解。學習導數(shù)之后，由導數(shù)的幾何意義我們知道，曲線上某點的切線就是過該點曲線的割線的極限。例如：（1）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，2）點處的切線方程。分析：首先驗證點是否為切點，把（2，2）點帶入函數(shù)，f（2）=22-2=2，則（2，2）點為切點，f'（x）=2x-1，過該點的切線斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切線方程為y-2-3（x-2），即y=3x-4。

（2）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，1）點處的切線方程。分析：首先驗證點（2，1）不在曲線上，不是切點，所以設切點為P（x0，y0），則切點P坐標滿足y0=x02-x0，P點的切線斜率為k=f'（x0）=2x0-1，切線方程為y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及點（2，1）代入切線方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切點為（1，0）和（3，6），切線方程為y=x-1和 y=11x-63。

策略：此類問題首先確定給出點是否為切點（是否在曲線上），若是，求出切線斜率（即該點導數(shù)），由點斜式求出切線方程。若不是，設出切點，表示出切線斜率和切線方程，代入已知函數(shù)方程和點的坐標，求出切點進而求出切線方程。

3.運用微積分求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值問題的教學策略。例如：求函數(shù)f（x）=ex-ax-2的單調(diào)區(qū)間。分析：函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，則f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a>0，令f'（x）=0，則 x=lna。

所以在（-∞，lna）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時f（lna）=a-alna-2為極小值也是函數(shù)的最小值。

策略：對于解決函數(shù)單調(diào)性極值問題，首先分析定義域，讓學生明白定義域是函數(shù)的靈魂，求出f'（x）=0的點作為分界點，把定義域分成幾個小區(qū)間，當f'（x）<0時f（x）單調(diào)遞減；f'（x）>0時f（x）單調(diào)遞增。對于極值和最值問題，要注意極值不一定是最值，最值如果在區(qū)間的內(nèi)部一定為極值，若閉區(qū)間上的最值問題應把極值與端點值進行比較，開區(qū)間上如果有單數(shù)個極值點那么必有一個為最值，若偶數(shù)個極值點無法確定是不是最值。

4.運用微積分解決不等式問題的教學策略。例如：證明當x>0時，ex>sinx。分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx<1，ex>1，從而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，又由于f（0）=1，從而f（x）=sinx-ex<0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以ex>sinx在x∈（0，+∞）恒成立。

策略：對于解決不等式問題，首先構(gòu)造輔助函數(shù)，一般是做差或做商，對輔助函數(shù)求導利用函數(shù)單調(diào)性，求出所在區(qū)間的最值從而達到證明不等式的目的。

四、結(jié)束語

“微積分”模塊作為新課標新增的內(nèi)容，它的教學研究還不夠成熟，正處于探索階段時期，因此如何進行“微積分”模塊的教學是所有教育工作者不斷探索的課題。

參考文獻：

[1]章建躍，左懷玲.我國中學數(shù)學教材的建設與發(fā)展[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]匡繼昌.如何給中學生講授微積分[J].數(shù)學通報，2006，5（45）.

[3]班元超.淺談新課程標準高中微積分教學[J].數(shù)學學習與研究，2011，（23）.

*通訊作者：金海蘭（1963年—），女（朝鮮族），理學博士，副教授，研究方向為代數(shù)學（環(huán)論）。

摘要：“微積分”模塊是高中數(shù)學的新增內(nèi)容，也是學習大學數(shù)學的基礎(chǔ)。它研究變量間的函數(shù)關(guān)系，是進一步學習數(shù)學和其他學科以及掌握現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)必須具備的專業(yè)知識。但長期以來“微積分”模塊在高中課程中沒有得到應有的體現(xiàn)，難以滿足社會的需要。本文回顧“微積分”模塊教學歷程以及新課標對高中數(shù)學中“微積分”模塊教學的要求，指出“微積分”模塊教學過程中存在的問題：對微積分知識的定位不準，常量思維的根深蒂固，應試教育的影響。同時針對幾種典型例題提出相應的教學策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；微積分；問題成因；教學策略

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0058-02

一、引言

“微積分”模塊是以函數(shù)為研究對象，研究生活中運動、變化以及變化著的量之間的關(guān)系?！拔⒎e分”模塊的學習，能夠培養(yǎng)學生的辯證觀點，提高分析問題解決問題的能力。對于解決生活中的最優(yōu)化問題有很大幫助。

1.我國“微積分”模塊教學回顧[1]。在1960年曾爭論過“微積分”模塊是否進入中學的問題，有的還寫入了試驗教材。但考慮到學習內(nèi)容已很多，師資也有困難，所以還是未正式列入課程。1980年前后，“微積分”模塊開始進入高中，要求學習微積分的所有內(nèi)容。由于操之過急，教學中無法實施，所以很快改為“選學”，實際上則不學（高考不考）。到1996年，“微積分”模塊再次納入高中課程，不過內(nèi)容和課時都減了。微積分先講極限，再講導數(shù)，從導數(shù)到原函數(shù)到不定積分再到定積分，這是出于數(shù)學的嚴謹性，但學生理解有困難，而且實際應用也不要求如此嚴格。在最新一輪課改中，改變了這一做法，以“瞬時變化率”描述導數(shù)，從導數(shù)的幾何意義和物理意義方面幫助學生直觀理解導數(shù)，把重點放在用導數(shù)研究函數(shù)和解決實際問題上。目前正朝“理解導數(shù)思想，強調(diào)導數(shù)實際應用”的方向努力。

2.新課標對高中“微積分”模塊教學目標的要求（所指教材均為人教版教材）。突出導數(shù)概念的本質(zhì)，感受和領(lǐng)悟“微積分”模塊的基本思想。不講極限概念，不是把導數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來處理，而是直接通過實際背景和具體實例反映導數(shù)思想和本質(zhì)。新課程希望學生在今后的學習和步入社會后，能留下對微積分的一些實際認識。同時也體現(xiàn)“課標”讓學生在經(jīng)歷中感受數(shù)學的思想，認識數(shù)學，主動參與數(shù)學教學活動的基本理念。強調(diào)導數(shù)在研究事物的變化率，函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問題中的應用，感受和體會導數(shù)在處理問題中的一般性和有效性。重視幾何直觀等思想方法的滲透和學習。反復通過圖形去認識和感受導數(shù)的幾何意義，以及用導數(shù)的幾何意義去解決問題?！罢n標”提高了對導數(shù)幾何意義的理解以及用導數(shù)的幾何意義去解決問題的要求，其目的一是加深對導數(shù)本質(zhì)的認識和理解，二是體現(xiàn)數(shù)學中幾何直觀這一重要數(shù)學思想方法對于數(shù)學學習的意義和作用。

二、高中數(shù)學“微積分”模塊在教學中存在的問題

“微積分”模塊是高中數(shù)學教材新增的內(nèi)容，無論對于學生還是教師都是“新”的。作為教師不僅要學習新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵和本質(zhì)。

1.對微積分知識的定位不準。微積分的運動變化的思維方式與之前所學函數(shù)靜態(tài)的思維方式有很大的不同，中學生開始接觸微積分的基本概念時不能一下子就領(lǐng)悟它也是很正常的。關(guān)鍵是教師不能照本宣科，而應作充分準備性說明，從幾何直觀逐步過渡到邏輯推理上去，但不能僅僅停留在幾何直觀上，只是在知識的廣度和深度方面要適可而止。既要考慮學生的接受能力，又不能低估學生的理解能力[2]。

2.常量思維的根深蒂固?！拔⒎e分”模塊教學研究的是變量間的函數(shù)關(guān)系，學生對微積分中變量認識不深刻[3]。因為常量思想的根深蒂固，對變量思想的轉(zhuǎn)變會有一個過程，在這個過程中就要求教師運用自己本身的專業(yè)水平進行正確的引導。當然，這種引導就需要教師在實踐中不斷探索。

3.“應試”教育的影響。大綱對文理科學生關(guān)于微積分的教學內(nèi)容和要求相差很大。文理科考試要求與大綱教學內(nèi)容要求相比都有所下降。文科將“極限”所有內(nèi)容刪去，理科刪去“積分”的所有內(nèi)容和“微分的概念和運算”。因為考試不考的原因必然不被學生所重視，所以要淡化“應試”教育思想，為提高能力而學習。

三、高中數(shù)學“微積分”模塊的教學策略

1.運用微積分求曲邊梯形的面積問題。例如：如何求如圖所示的曲線f（x）在區(qū)間[a，b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

分析：在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取n-1個點，將區(qū)間[a，b]分成n個小區(qū)間[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。記為Δxi=[xi-1，xi]，在無限細分的過程中，把每個小曲邊梯形近似看成是矩形，則f（x）為高，那么面積s=f（xi）Δxi=f（x）dx。

策略：在講解時，可以利用多媒體來演示無限細分，無限趨近的過程，讓學生從直觀上來理解定積分所表示對幾何意義。

2.運用微積分求曲線的切線問題的教學策略。在沒有學習導數(shù)之前，求解切線問題，一般的方法是直線方程與曲線方程（一般是二次方程）聯(lián)立組成方程組，消去y，變成關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式Δ=0來求解。學習導數(shù)之后，由導數(shù)的幾何意義我們知道，曲線上某點的切線就是過該點曲線的割線的極限。例如：（1）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，2）點處的切線方程。分析：首先驗證點是否為切點，把（2，2）點帶入函數(shù)，f（2）=22-2=2，則（2，2）點為切點，f'（x）=2x-1，過該點的切線斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切線方程為y-2-3（x-2），即y=3x-4。

（2）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，1）點處的切線方程。分析：首先驗證點（2，1）不在曲線上，不是切點，所以設切點為P（x0，y0），則切點P坐標滿足y0=x02-x0，P點的切線斜率為k=f'（x0）=2x0-1，切線方程為y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及點（2，1）代入切線方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切點為（1，0）和（3，6），切線方程為y=x-1和 y=11x-63。

策略：此類問題首先確定給出點是否為切點（是否在曲線上），若是，求出切線斜率（即該點導數(shù)），由點斜式求出切線方程。若不是，設出切點，表示出切線斜率和切線方程，代入已知函數(shù)方程和點的坐標，求出切點進而求出切線方程。

3.運用微積分求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值問題的教學策略。例如：求函數(shù)f（x）=ex-ax-2的單調(diào)區(qū)間。分析：函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，則f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a>0，令f'（x）=0，則 x=lna。

所以在（-∞，lna）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時f（lna）=a-alna-2為極小值也是函數(shù)的最小值。

策略：對于解決函數(shù)單調(diào)性極值問題，首先分析定義域，讓學生明白定義域是函數(shù)的靈魂，求出f'（x）=0的點作為分界點，把定義域分成幾個小區(qū)間，當f'（x）<0時f（x）單調(diào)遞減；f'（x）>0時f（x）單調(diào)遞增。對于極值和最值問題，要注意極值不一定是最值，最值如果在區(qū)間的內(nèi)部一定為極值，若閉區(qū)間上的最值問題應把極值與端點值進行比較，開區(qū)間上如果有單數(shù)個極值點那么必有一個為最值，若偶數(shù)個極值點無法確定是不是最值。

4.運用微積分解決不等式問題的教學策略。例如：證明當x>0時，ex>sinx。分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx<1，ex>1，從而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，又由于f（0）=1，從而f（x）=sinx-ex<0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以ex>sinx在x∈（0，+∞）恒成立。

策略：對于解決不等式問題，首先構(gòu)造輔助函數(shù)，一般是做差或做商，對輔助函數(shù)求導利用函數(shù)單調(diào)性，求出所在區(qū)間的最值從而達到證明不等式的目的。

四、結(jié)束語

“微積分”模塊作為新課標新增的內(nèi)容，它的教學研究還不夠成熟，正處于探索階段時期，因此如何進行“微積分”模塊的教學是所有教育工作者不斷探索的課題。

參考文獻：

[1]章建躍，左懷玲.我國中學數(shù)學教材的建設與發(fā)展[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]匡繼昌.如何給中學生講授微積分[J].數(shù)學通報，2006，5（45）.

[3]班元超.淺談新課程標準高中微積分教學[J].數(shù)學學習與研究，2011，（23）.

*通訊作者：金海蘭（1963年—），女（朝鮮族），理學博士，副教授，研究方向為代數(shù)學（環(huán)論）。