渠東劍

在2014年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動(南京賽區(qū))中，筆者觀摩了9位青年教師的數(shù)學課堂教學，與參賽選手交流，對課堂教學點評，向與會專家請教，受益匪淺。9位青年教師富有朝氣、勇于創(chuàng)新的精神，準確把握課標、個性鮮明的教學設計，充滿智慧創(chuàng)造、師生共同發(fā)展的課堂實踐，給筆者留下了深刻的印象。本文，筆者對蘇州工業(yè)園區(qū)星港學校馮丹丹老師的教學設計，結合其課堂教學實踐，談一下個人的體會，與馮老師商討，與廣大同仁交流。

1.自然架設新舊知識的橋梁。

教師立足于本課教學內(nèi)容，將教材提供的核心問題情境改編成“她本人駕車來南京上課”的背景，顯得親切自然，容易引起學生的共鳴：

“接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化……”

針對此問題情境，馮老師設計了一系列有聯(lián)系且逐層遞進的問題，啟發(fā)引導學生進行深刻的探究：先分析其中的常量、變量，嘗試建立這些量之間的關系t=；再分析這樣的關系的特征，引導學生自主發(fā)現(xiàn)所研究的對象是函數(shù)——自然勾起對函數(shù)的回憶；在此基礎上追問，這是一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)嗎？——這是沒有學過的“新”函數(shù)——而這樣的函數(shù)來自于現(xiàn)實生活，值得研究……面對新舊知識的沖突，學生學習的目標選擇、主動探究的傾向、學習的動力就自然產(chǎn)生了。

此時，教師再給出一組實際問題，其中的2個問題仍借用“馮老師來南京上課的背景”：

（1）在出發(fā)之前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）與行駛路程x（千米）的函數(shù)關系式是什么？

（2）汽油每升7.6元，實際加油費用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化，y與x的函數(shù)關系式是什么？

并明確要求學生用“函數(shù)關系式”刻畫問題中變量之間的關系，學生依次寫出關系式：y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=。直接寫出函數(shù)關系式，一是學生在充分探究上述核心問題（問題一）后已具備完成的條件，二是在已經(jīng)熟悉的情境中去思考解決新問題，可節(jié)約時間成本，使數(shù)學活動盡快切入到本課的核心內(nèi)容上來——抽象概括反比例函數(shù)的概念。而對于核心問題情境（問題一）的探究，不惜時間和精力，引導學生從認識變量開始，復習函數(shù)的概念，逐步深入，直至得出“產(chǎn)生數(shù)學”的結果，足見教師對教學內(nèi)容認識之深刻，把握之準確，設計之恰當。

2.突出建構新概念的過程。

在教師的引導下，通過“問題解決”，形成了一組對象：

t=，y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=

教師提問：在這些函數(shù)關系中，哪些是你已學過的？你對它們有何印象？讓學生辨別出其中的正比例函數(shù)、一次函數(shù)，并簡單回顧正比例函數(shù)、一次函數(shù)的概念。同時，也間接而自然地產(chǎn)生了要研究另一類“不熟悉”的函數(shù)的問題。

當學生把熟悉的對象剔除之后，剩下的便是一組“‘大量同類事物的不同例證”了，這正是“概念形成”的基礎，但需要引導學生進行充分的數(shù)學探究活動。首先，它們值得研究，或者說研究這樣的問題有價值——問題均來自于現(xiàn)實生活。其次，怎樣研究呢？這類對象的本質(zhì)是什么？你搞清楚了嗎？能說得清嗎？——給出它的定義。再次，這一組對象的共同屬性是什么？——嘗試抽象概括，用文字、符號表征，比較、反思、質(zhì)疑，把握本質(zhì)……概念的建構就自然而然地展開了。

從教學實踐過程看，教師注重啟發(fā)引導，讓學生獨立地思考，充分地交流，鼓勵學生大膽嘗試，并頗具耐心地等待，努力促進學生的自我領悟。比如，在學生建立概念后，教師讓學生再寫出類似的例子，讓學生自己說說對反比例函數(shù)的認識，等等。讓學生舉例，是概念教學的重要方法，學生能夠舉出符合概念的特例，可能在一定程度上意味著他對定義的理解，同時，問題又具開放性，能夠很好地促進學生的思維發(fā)展。

3.注重強化概念的本質(zhì)屬性。

學生深刻理解概念，除了要充分經(jīng)歷概念建立的過程，還要應用概念來思考問題、解決問題。試想，對剛剛建立起來的反比例函數(shù)的概念，八年級學生的認識還是膚淺的，甚至某種程度上是表面的、形式上的。需要我們及時跟進，強化對概念的理解。概念的強化一般要從概念辨析、概念應用兩個方面，從正反兩個角度進行。

針對概念的強化，教師預設了一定數(shù)量的問題，讓學生通過思考回答問題。例如，讓學生主動辨析關系式xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0），=k（k≠0）與反比例函數(shù)的關系；給出一組函數(shù)關系式，讓學生判斷它們是否為反比例函數(shù)，如是反比例函數(shù)，要求確定參數(shù)k的值，等等。讓學生在比較、辨別、應用的過程中，深化對概念的理解。筆者認為，作為概念課教學，教師對概念的強化，設計是恰當?shù)模瑢嵤┦怯行У摹?/p>

4.恰當開放學生探究的空間。

本節(jié)課在教學設計時重視深化學生的探究活動，精心設計了一些開放性的問題。這些問題對學生有一定的挑戰(zhàn)性，但經(jīng)過努力，或者經(jīng)過探究交流活動，是能夠得到解決的，可謂難度適中；問題緊緊圍繞本課核心內(nèi)容，注重知識的應用，并留有探究的空間，可謂典型恰當。特別是在開放的數(shù)學活動過程中，教師的角色定位較為準確：用大量的元認知語言，啟發(fā)引導學生自主尋找解決問題的辦法與思路，留給學生充分的交流展示的時間與空間。從課堂實際過程看，面對開放的問題，學生表現(xiàn)出了積極高漲的學習熱情、理性的思考精神、合作交流的學習態(tài)度，這無不與教師的恰當設計與悉心引導有關。

例如，讓學生寫出反比例函數(shù)的例子，將反比例函數(shù)的概念應用到實際生活中去；要求學生再舉出生活中的反比例函數(shù)的例子；給出確定的反比例函數(shù)模型，讓學生構造現(xiàn)實生活的實際情境?！罢n外延伸”給出了以阿基米德名言“給我一個支點，我能撬起地球”為背景的杠桿原理情境，讓學生從中體會反比例函數(shù)的應用。課堂上學生舉出了很多符合要求的例子：買商品，水池進水，工程問題，行程問題，等等，有些出乎聽課教師的意料。學生學習的積極性得以激發(fā)，思維得以發(fā)展，個性得以張揚，課堂教學取得了令人滿意的效果。

整體把握馮老師的教學設計主線，似乎可用如下框圖表示：

當然，本節(jié)課的教學設計與實施也有可商榷之處。這里，筆者提兩點個人思考與馮老師商討。

其一，反比例函數(shù)，既是概念又是數(shù)學模型，學習本課的起點是函數(shù)概念及正比例函數(shù)、一次函數(shù)。教學除了傳授知識外，讓學生經(jīng)歷并學習系統(tǒng)地研究數(shù)學對象的方法，對“數(shù)學育人”無疑具有重要意義。這就需要在教學過程中，主動復習并借鑒正比例函數(shù)、一次函數(shù)的研究過程方法，并有意識地讓學生意識到研究方法的重要性。但在本課的教學過程中，只復習了函數(shù)概念、正比例函數(shù)、一次函數(shù)等知識，對正比例函數(shù)、一次函數(shù)研究的方法似乎重視不夠，而這正是本課要借鑒的經(jīng)驗與方法。這可能在一定程度上影響了構建前后一致、邏輯連貫的數(shù)學學習過程，使本課的思想方法的教學效果打了折扣?；仡櫝踔袛?shù)學函數(shù)的脈絡，就是在“變量說”的函數(shù)概念的基礎上，用一以貫之的研究方法，去研究正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，達到知識能力螺旋上升的目的，并在研究的過程中，在用研究方法去學習的過程中，去掌握知識、深化理解研究的方法，進而發(fā)展學生認知力的。

其二，教師可能認為xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0）是“y是x的反比例函數(shù)”的幾種等價形式。教材例題“由xy=k（k≠0）所確定的函數(shù)”，并沒有直接說xy=k（k≠0）是反比例函數(shù)。這里用“等價”是否合適？如果可以這樣認為，那么在初中階段，這樣的安排是否恰當？怎樣認識關系式xy=k（k≠0）？這可能還要回到隱函數(shù)來認識。這樣看教師的處理也許有值得推敲、改進之處。

（作者系江蘇省特級教師，南京市秦淮區(qū)教學研究室教研員）

在2014年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動(南京賽區(qū))中，筆者觀摩了9位青年教師的數(shù)學課堂教學，與參賽選手交流，對課堂教學點評，向與會專家請教，受益匪淺。9位青年教師富有朝氣、勇于創(chuàng)新的精神，準確把握課標、個性鮮明的教學設計，充滿智慧創(chuàng)造、師生共同發(fā)展的課堂實踐，給筆者留下了深刻的印象。本文，筆者對蘇州工業(yè)園區(qū)星港學校馮丹丹老師的教學設計，結合其課堂教學實踐，談一下個人的體會，與馮老師商討，與廣大同仁交流。

1.自然架設新舊知識的橋梁。

教師立足于本課教學內(nèi)容，將教材提供的核心問題情境改編成“她本人駕車來南京上課”的背景，顯得親切自然，容易引起學生的共鳴：

“接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化……”

針對此問題情境，馮老師設計了一系列有聯(lián)系且逐層遞進的問題，啟發(fā)引導學生進行深刻的探究：先分析其中的常量、變量，嘗試建立這些量之間的關系t=；再分析這樣的關系的特征，引導學生自主發(fā)現(xiàn)所研究的對象是函數(shù)——自然勾起對函數(shù)的回憶；在此基礎上追問，這是一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)嗎？——這是沒有學過的“新”函數(shù)——而這樣的函數(shù)來自于現(xiàn)實生活，值得研究……面對新舊知識的沖突，學生學習的目標選擇、主動探究的傾向、學習的動力就自然產(chǎn)生了。

此時，教師再給出一組實際問題，其中的2個問題仍借用“馮老師來南京上課的背景”：

（1）在出發(fā)之前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）與行駛路程x（千米）的函數(shù)關系式是什么？

（2）汽油每升7.6元，實際加油費用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化，y與x的函數(shù)關系式是什么？

并明確要求學生用“函數(shù)關系式”刻畫問題中變量之間的關系，學生依次寫出關系式：y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=。直接寫出函數(shù)關系式，一是學生在充分探究上述核心問題（問題一）后已具備完成的條件，二是在已經(jīng)熟悉的情境中去思考解決新問題，可節(jié)約時間成本，使數(shù)學活動盡快切入到本課的核心內(nèi)容上來——抽象概括反比例函數(shù)的概念。而對于核心問題情境（問題一）的探究，不惜時間和精力，引導學生從認識變量開始，復習函數(shù)的概念，逐步深入，直至得出“產(chǎn)生數(shù)學”的結果，足見教師對教學內(nèi)容認識之深刻，把握之準確，設計之恰當。

2.突出建構新概念的過程。

在教師的引導下，通過“問題解決”，形成了一組對象：

t=，y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=

教師提問：在這些函數(shù)關系中，哪些是你已學過的？你對它們有何印象？讓學生辨別出其中的正比例函數(shù)、一次函數(shù)，并簡單回顧正比例函數(shù)、一次函數(shù)的概念。同時，也間接而自然地產(chǎn)生了要研究另一類“不熟悉”的函數(shù)的問題。

當學生把熟悉的對象剔除之后，剩下的便是一組“‘大量同類事物的不同例證”了，這正是“概念形成”的基礎，但需要引導學生進行充分的數(shù)學探究活動。首先，它們值得研究，或者說研究這樣的問題有價值——問題均來自于現(xiàn)實生活。其次，怎樣研究呢？這類對象的本質(zhì)是什么？你搞清楚了嗎？能說得清嗎？——給出它的定義。再次，這一組對象的共同屬性是什么？——嘗試抽象概括，用文字、符號表征，比較、反思、質(zhì)疑，把握本質(zhì)……概念的建構就自然而然地展開了。

從教學實踐過程看，教師注重啟發(fā)引導，讓學生獨立地思考，充分地交流，鼓勵學生大膽嘗試，并頗具耐心地等待，努力促進學生的自我領悟。比如，在學生建立概念后，教師讓學生再寫出類似的例子，讓學生自己說說對反比例函數(shù)的認識，等等。讓學生舉例，是概念教學的重要方法，學生能夠舉出符合概念的特例，可能在一定程度上意味著他對定義的理解，同時，問題又具開放性，能夠很好地促進學生的思維發(fā)展。

3.注重強化概念的本質(zhì)屬性。

學生深刻理解概念，除了要充分經(jīng)歷概念建立的過程，還要應用概念來思考問題、解決問題。試想，對剛剛建立起來的反比例函數(shù)的概念，八年級學生的認識還是膚淺的，甚至某種程度上是表面的、形式上的。需要我們及時跟進，強化對概念的理解。概念的強化一般要從概念辨析、概念應用兩個方面，從正反兩個角度進行。

針對概念的強化，教師預設了一定數(shù)量的問題，讓學生通過思考回答問題。例如，讓學生主動辨析關系式xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0），=k（k≠0）與反比例函數(shù)的關系；給出一組函數(shù)關系式，讓學生判斷它們是否為反比例函數(shù)，如是反比例函數(shù)，要求確定參數(shù)k的值，等等。讓學生在比較、辨別、應用的過程中，深化對概念的理解。筆者認為，作為概念課教學，教師對概念的強化，設計是恰當?shù)?，實施是有效的?/p>

4.恰當開放學生探究的空間。

本節(jié)課在教學設計時重視深化學生的探究活動，精心設計了一些開放性的問題。這些問題對學生有一定的挑戰(zhàn)性，但經(jīng)過努力，或者經(jīng)過探究交流活動，是能夠得到解決的，可謂難度適中；問題緊緊圍繞本課核心內(nèi)容，注重知識的應用，并留有探究的空間，可謂典型恰當。特別是在開放的數(shù)學活動過程中，教師的角色定位較為準確：用大量的元認知語言，啟發(fā)引導學生自主尋找解決問題的辦法與思路，留給學生充分的交流展示的時間與空間。從課堂實際過程看，面對開放的問題，學生表現(xiàn)出了積極高漲的學習熱情、理性的思考精神、合作交流的學習態(tài)度，這無不與教師的恰當設計與悉心引導有關。

例如，讓學生寫出反比例函數(shù)的例子，將反比例函數(shù)的概念應用到實際生活中去；要求學生再舉出生活中的反比例函數(shù)的例子；給出確定的反比例函數(shù)模型，讓學生構造現(xiàn)實生活的實際情境。“課外延伸”給出了以阿基米德名言“給我一個支點，我能撬起地球”為背景的杠桿原理情境，讓學生從中體會反比例函數(shù)的應用。課堂上學生舉出了很多符合要求的例子：買商品，水池進水，工程問題，行程問題，等等，有些出乎聽課教師的意料。學生學習的積極性得以激發(fā)，思維得以發(fā)展，個性得以張揚，課堂教學取得了令人滿意的效果。

整體把握馮老師的教學設計主線，似乎可用如下框圖表示：

當然，本節(jié)課的教學設計與實施也有可商榷之處。這里，筆者提兩點個人思考與馮老師商討。

其一，反比例函數(shù)，既是概念又是數(shù)學模型，學習本課的起點是函數(shù)概念及正比例函數(shù)、一次函數(shù)。教學除了傳授知識外，讓學生經(jīng)歷并學習系統(tǒng)地研究數(shù)學對象的方法，對“數(shù)學育人”無疑具有重要意義。這就需要在教學過程中，主動復習并借鑒正比例函數(shù)、一次函數(shù)的研究過程方法，并有意識地讓學生意識到研究方法的重要性。但在本課的教學過程中，只復習了函數(shù)概念、正比例函數(shù)、一次函數(shù)等知識，對正比例函數(shù)、一次函數(shù)研究的方法似乎重視不夠，而這正是本課要借鑒的經(jīng)驗與方法。這可能在一定程度上影響了構建前后一致、邏輯連貫的數(shù)學學習過程，使本課的思想方法的教學效果打了折扣?；仡櫝踔袛?shù)學函數(shù)的脈絡，就是在“變量說”的函數(shù)概念的基礎上，用一以貫之的研究方法，去研究正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，達到知識能力螺旋上升的目的，并在研究的過程中，在用研究方法去學習的過程中，去掌握知識、深化理解研究的方法，進而發(fā)展學生認知力的。

其二，教師可能認為xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0）是“y是x的反比例函數(shù)”的幾種等價形式。教材例題“由xy=k（k≠0）所確定的函數(shù)”，并沒有直接說xy=k（k≠0）是反比例函數(shù)。這里用“等價”是否合適？如果可以這樣認為，那么在初中階段，這樣的安排是否恰當？怎樣認識關系式xy=k（k≠0）？這可能還要回到隱函數(shù)來認識。這樣看教師的處理也許有值得推敲、改進之處。

（作者系江蘇省特級教師，南京市秦淮區(qū)教學研究室教研員）

在2014年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動(南京賽區(qū))中，筆者觀摩了9位青年教師的數(shù)學課堂教學，與參賽選手交流，對課堂教學點評，向與會專家請教，受益匪淺。9位青年教師富有朝氣、勇于創(chuàng)新的精神，準確把握課標、個性鮮明的教學設計，充滿智慧創(chuàng)造、師生共同發(fā)展的課堂實踐，給筆者留下了深刻的印象。本文，筆者對蘇州工業(yè)園區(qū)星港學校馮丹丹老師的教學設計，結合其課堂教學實踐，談一下個人的體會，與馮老師商討，與廣大同仁交流。

1.自然架設新舊知識的橋梁。

教師立足于本課教學內(nèi)容，將教材提供的核心問題情境改編成“她本人駕車來南京上課”的背景，顯得親切自然，容易引起學生的共鳴：

“接到參賽通知，馮老師開車從蘇州到南京，車的里程表顯示一共行駛約200km，全程所用時間t（h）隨平均速度v（km/h）的變化而變化……”

針對此問題情境，馮老師設計了一系列有聯(lián)系且逐層遞進的問題，啟發(fā)引導學生進行深刻的探究：先分析其中的常量、變量，嘗試建立這些量之間的關系t=；再分析這樣的關系的特征，引導學生自主發(fā)現(xiàn)所研究的對象是函數(shù)——自然勾起對函數(shù)的回憶；在此基礎上追問，這是一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)嗎？——這是沒有學過的“新”函數(shù)——而這樣的函數(shù)來自于現(xiàn)實生活，值得研究……面對新舊知識的沖突，學生學習的目標選擇、主動探究的傾向、學習的動力就自然產(chǎn)生了。

此時，教師再給出一組實際問題，其中的2個問題仍借用“馮老師來南京上課的背景”：

（1）在出發(fā)之前，馮老師去加油站把油加滿，已知汽車的油箱為50升，路程中平均每千米耗油量為0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）與行駛路程x（千米）的函數(shù)關系式是什么？

（2）汽油每升7.6元，實際加油費用y（元）隨加油量x（升）的變化而變化，y與x的函數(shù)關系式是什么？

并明確要求學生用“函數(shù)關系式”刻畫問題中變量之間的關系，學生依次寫出關系式：y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=。直接寫出函數(shù)關系式，一是學生在充分探究上述核心問題（問題一）后已具備完成的條件，二是在已經(jīng)熟悉的情境中去思考解決新問題，可節(jié)約時間成本，使數(shù)學活動盡快切入到本課的核心內(nèi)容上來——抽象概括反比例函數(shù)的概念。而對于核心問題情境（問題一）的探究，不惜時間和精力，引導學生從認識變量開始，復習函數(shù)的概念，逐步深入，直至得出“產(chǎn)生數(shù)學”的結果，足見教師對教學內(nèi)容認識之深刻，把握之準確，設計之恰當。

2.突出建構新概念的過程。

在教師的引導下，通過“問題解決”，形成了一組對象：

t=，y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=

教師提問：在這些函數(shù)關系中，哪些是你已學過的？你對它們有何印象？讓學生辨別出其中的正比例函數(shù)、一次函數(shù)，并簡單回顧正比例函數(shù)、一次函數(shù)的概念。同時，也間接而自然地產(chǎn)生了要研究另一類“不熟悉”的函數(shù)的問題。

當學生把熟悉的對象剔除之后，剩下的便是一組“‘大量同類事物的不同例證”了，這正是“概念形成”的基礎，但需要引導學生進行充分的數(shù)學探究活動。首先，它們值得研究，或者說研究這樣的問題有價值——問題均來自于現(xiàn)實生活。其次，怎樣研究呢？這類對象的本質(zhì)是什么？你搞清楚了嗎？能說得清嗎？——給出它的定義。再次，這一組對象的共同屬性是什么？——嘗試抽象概括，用文字、符號表征，比較、反思、質(zhì)疑，把握本質(zhì)……概念的建構就自然而然地展開了。

從教學實踐過程看，教師注重啟發(fā)引導，讓學生獨立地思考，充分地交流，鼓勵學生大膽嘗試，并頗具耐心地等待，努力促進學生的自我領悟。比如，在學生建立概念后，教師讓學生再寫出類似的例子，讓學生自己說說對反比例函數(shù)的認識，等等。讓學生舉例，是概念教學的重要方法，學生能夠舉出符合概念的特例，可能在一定程度上意味著他對定義的理解，同時，問題又具開放性，能夠很好地促進學生的思維發(fā)展。

3.注重強化概念的本質(zhì)屬性。

學生深刻理解概念，除了要充分經(jīng)歷概念建立的過程，還要應用概念來思考問題、解決問題。試想，對剛剛建立起來的反比例函數(shù)的概念，八年級學生的認識還是膚淺的，甚至某種程度上是表面的、形式上的。需要我們及時跟進，強化對概念的理解。概念的強化一般要從概念辨析、概念應用兩個方面，從正反兩個角度進行。

針對概念的強化，教師預設了一定數(shù)量的問題，讓學生通過思考回答問題。例如，讓學生主動辨析關系式xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0），=k（k≠0）與反比例函數(shù)的關系；給出一組函數(shù)關系式，讓學生判斷它們是否為反比例函數(shù)，如是反比例函數(shù)，要求確定參數(shù)k的值，等等。讓學生在比較、辨別、應用的過程中，深化對概念的理解。筆者認為，作為概念課教學，教師對概念的強化，設計是恰當?shù)?，實施是有效的?/p>

4.恰當開放學生探究的空間。

本節(jié)課在教學設計時重視深化學生的探究活動，精心設計了一些開放性的問題。這些問題對學生有一定的挑戰(zhàn)性，但經(jīng)過努力，或者經(jīng)過探究交流活動，是能夠得到解決的，可謂難度適中；問題緊緊圍繞本課核心內(nèi)容，注重知識的應用，并留有探究的空間，可謂典型恰當。特別是在開放的數(shù)學活動過程中，教師的角色定位較為準確：用大量的元認知語言，啟發(fā)引導學生自主尋找解決問題的辦法與思路，留給學生充分的交流展示的時間與空間。從課堂實際過程看，面對開放的問題，學生表現(xiàn)出了積極高漲的學習熱情、理性的思考精神、合作交流的學習態(tài)度，這無不與教師的恰當設計與悉心引導有關。

例如，讓學生寫出反比例函數(shù)的例子，將反比例函數(shù)的概念應用到實際生活中去；要求學生再舉出生活中的反比例函數(shù)的例子；給出確定的反比例函數(shù)模型，讓學生構造現(xiàn)實生活的實際情境?！罢n外延伸”給出了以阿基米德名言“給我一個支點，我能撬起地球”為背景的杠桿原理情境，讓學生從中體會反比例函數(shù)的應用。課堂上學生舉出了很多符合要求的例子：買商品，水池進水，工程問題，行程問題，等等，有些出乎聽課教師的意料。學生學習的積極性得以激發(fā)，思維得以發(fā)展，個性得以張揚，課堂教學取得了令人滿意的效果。

整體把握馮老師的教學設計主線，似乎可用如下框圖表示：

當然，本節(jié)課的教學設計與實施也有可商榷之處。這里，筆者提兩點個人思考與馮老師商討。

其一，反比例函數(shù)，既是概念又是數(shù)學模型，學習本課的起點是函數(shù)概念及正比例函數(shù)、一次函數(shù)。教學除了傳授知識外，讓學生經(jīng)歷并學習系統(tǒng)地研究數(shù)學對象的方法，對“數(shù)學育人”無疑具有重要意義。這就需要在教學過程中，主動復習并借鑒正比例函數(shù)、一次函數(shù)的研究過程方法，并有意識地讓學生意識到研究方法的重要性。但在本課的教學過程中，只復習了函數(shù)概念、正比例函數(shù)、一次函數(shù)等知識，對正比例函數(shù)、一次函數(shù)研究的方法似乎重視不夠，而這正是本課要借鑒的經(jīng)驗與方法。這可能在一定程度上影響了構建前后一致、邏輯連貫的數(shù)學學習過程，使本課的思想方法的教學效果打了折扣?；仡櫝踔袛?shù)學函數(shù)的脈絡，就是在“變量說”的函數(shù)概念的基礎上，用一以貫之的研究方法，去研究正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，達到知識能力螺旋上升的目的，并在研究的過程中，在用研究方法去學習的過程中，去掌握知識、深化理解研究的方法，進而發(fā)展學生認知力的。

其二，教師可能認為xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0）是“y是x的反比例函數(shù)”的幾種等價形式。教材例題“由xy=k（k≠0）所確定的函數(shù)”，并沒有直接說xy=k（k≠0）是反比例函數(shù)。這里用“等價”是否合適？如果可以這樣認為，那么在初中階段，這樣的安排是否恰當？怎樣認識關系式xy=k（k≠0）？這可能還要回到隱函數(shù)來認識。這樣看教師的處理也許有值得推敲、改進之處。

（作者系江蘇省特級教師，南京市秦淮區(qū)教學研究室教研員）