沈 檸 ，張樹文

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

具有相互干擾的捕食-食餌系統(tǒng)的定性分析

沈 檸 ，張樹文

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

考慮了捕食者具有相互干擾的Holling-Tanner型捕食-食餌系統(tǒng)，得到了正平衡態(tài)存在的條件，進而得到了正平衡態(tài)全局穩(wěn)定的充分條件.

捕食-食餌系統(tǒng)；平衡態(tài)；局部穩(wěn)定；全局穩(wěn)定

0 引言

眾所周知，捕食-食餌系統(tǒng)是種群生態(tài)學的重要系統(tǒng)，它已被廣泛研究且得到了許多重要的結論[1-6].捕食-食餌系統(tǒng)一般可寫為：

(1)

其中：g(x)為食餌種群的增長率；d為捕食者種群的死亡率；φ(x)為捕食者的捕食函數(shù).此類建模通常稱為A建模，即捕食者捕食食餌用來轉化為捕食者的增長能量.此外，還考慮另一種B建模，即捕食者捕食食餌用來增加捕食者的環(huán)境容納量.文獻[7]研究了下列捕食-食餌系統(tǒng)：

(2)

顯然，對系統(tǒng)(2)的第二個方程x不能為0，為了彌補這一缺陷，將第二個方程改為

y′=ys(1-hy/k+x)，

其中k>0為食餌x等于0時捕食者的環(huán)境容納量.1971年，Hassell研究圓柄姬蜂攻擊粉斑蝶時，發(fā)現(xiàn)當兩只搜尋的圓柄姬蜂相遇時，其中之一或兩只都有離開相遇地方的趨勢，即干擾現(xiàn)象.進而，具有相互干擾捕食-食餌模型被大量研究[8-13].本文提出下面捕食者具有相互干擾的Holling-Tanner捕食-食餌模型：

(3)

其中：x(t)和y(t)分別表示食餌種群和捕食者種群在t時刻的種群密度；r1>0，r2>0分別表示食餌種群和捕食者種群的內稟增長率；e表示捕食者的捕食率.系統(tǒng)(3)中的第一個方程中yθ(t)(0<θ<1)體現(xiàn)了捕食者的相互干擾.本文主要研究系統(tǒng)(3)的解的非負性、有界性、平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性、正平衡態(tài)的存在性和全局穩(wěn)定性以及數(shù)值模擬.

1 系統(tǒng)(3)的解的有界性

定理1 令v(t)=(x(t),y(t))T是系統(tǒng)(3)的任意解，如果x(0)>0和y(0)>0成立，則x(t)>0，y(t)>0對于t≥0都是成立的.

定理2 系統(tǒng)(3)的所有解都是有界的.

2 平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性

定理3 1)系統(tǒng)(3)的平衡態(tài)(0,0)是不穩(wěn)定的結點，平衡態(tài)(r1/a1,0)是鞍點；2)當r1e(r2k/le)θ，平衡態(tài)(0，r2k/le)是不穩(wěn)定的.

定理4 當r1>e(r2k/le)θ時，系統(tǒng)(3)的正平衡態(tài)(x*,y*)是局部穩(wěn)定的.

3 正平衡態(tài)(x*,y*)的全局穩(wěn)定性

4 數(shù)值模擬

為了驗證結論的正確性，系統(tǒng)(3)的系數(shù)取r1=2，r2=2，a1=0.1，e=0.5，k=2，l=0.8，θ=0.5，此時，系數(shù)滿足條件r1>e(r2k/le)θ，即正平衡態(tài)存在，可以得到系統(tǒng)的正平衡態(tài)為(x*,y*)=(0.914 155 62,14.570 777 9)，圖1是x，y的相圖，其中曲線1是初值條件為(0.5,3)時的解軌線，曲線2是初值條件為(2,6)時的解軌線，曲線3是初值條件為(1,5)時的解軌線.由圖1可知，不論初值為何值，當t趨于無窮時，系統(tǒng)的所有解都是趨于(x*,y*)，因而，系統(tǒng)的正平衡態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的.

若系統(tǒng)(3)的系數(shù)取r1=2，r2=2，a1=0.1，e=0.5，k=2，l=0.8，θ=0.7，此時，系數(shù)滿足條件r1

5 結論

本文首先建立了具有相互干擾的Holling-Tanner型捕食-食餌系統(tǒng).當r1e(r2k/le)θ時，邊界平衡態(tài)(0，r2k/le)不穩(wěn)定，正平衡態(tài)(x*,y*)存在，且是全局漸近穩(wěn)定的，即對大于零的初始種群的密度，經(jīng)過長時間的過程，捕食者和食餌的種群密度分別趨于x*、y*，此時，食餌種群和捕食者種群都持續(xù)生存.通過例子給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著捕食者的干擾強度θ與捕食者的環(huán)境容納量k大小變化的影響.

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(責任編輯 馬建華 英文審校 黃振坤)

Qualitative Analysis of a Predator-prey Model with Mutual Interference

SHEN Ning,ZHANG Shu-wen

(School of Science,Jimei University,Xiamen 361021,China)

A Holling-Tanner predator-prey model with mutual interference among predators was considered.Firstly,the conditions of the existence of the positive equilibrium were given.Further,the sufficient conditions of the global stability of the positive equilibrium were obtained.

predator-prey model;equilibrium solution;local stability;global stability

2013-09-26

2013-11-26

國家自然科學基金資助項目(31272653,11301216 )

沈檸 (1991—)，男，碩士生，從事生物數(shù)學方向研究.通訊作者：張樹文(1963—)，男，教授，碩導，從事生物數(shù)學方向研究，E-mail:anzsw_123@163.com.

1007-7405(2014)02-0143-05

O 175.13

A