馬大柱，龍志超，胡鳳蓮

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

兩種流形改正近似方案的時(shí)間效率比較

馬大柱，龍志超，胡鳳蓮

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

以平面圓形限制性三體問題為基本研究模型，對比研究速度近似改正方法和速度坐標(biāo)近似改正方法關(guān)于最大李雅普諾夫指數(shù)和快速李雅普諾夫指數(shù)的計(jì)算時(shí)間問題. 結(jié)果表明: 加入改正項(xiàng)后，速度近似改正方法的時(shí)間效率要明顯優(yōu)于速度坐標(biāo)均近似改正方法.該研究對太陽系多體問題具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

流形改正；李雅普諾夫指數(shù)；三體問題

流形改正方案在傳統(tǒng)低階數(shù)值算法的基礎(chǔ)上加入與積分常數(shù)相關(guān)的控制項(xiàng)抑制可以舍入誤差的逐漸積累，為復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的研究提供較高精度的數(shù)值解，可以避免因數(shù)值誤差而產(chǎn)生的假混沌現(xiàn)象，是目前天體力學(xué)[1]和宇宙學(xué)[2-3]中常用的數(shù)值研究工具.文獻(xiàn)中有兩種常用的近似流形改正方案，一種是速度近似改正方法[4]，另外一種是速度坐標(biāo)均近似改正方法[5].混沌指標(biāo)的正確使用是非線性研究工作的重要基礎(chǔ)，實(shí)踐表明，最大李亞普諾夫指標(biāo)[6]計(jì)算量少，可以直觀反應(yīng)相空間軌道動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，在混沌動(dòng)力學(xué)中經(jīng)常使用.快速李亞普諾夫指標(biāo)[7]相對最大李亞普諾夫指標(biāo)而言具有無需重整化的優(yōu)勢，在相對論混沌動(dòng)力學(xué)中應(yīng)用更廣.本文首先介紹兩種數(shù)值工具，然后以平面圓形限制性三體問題為例，討論兩種近似改正方案關(guān)于混沌指標(biāo)的時(shí)間效率問題.

1 數(shù)值基礎(chǔ)

1.1 速度坐標(biāo)改正方案

該方案是Nacozy[4]提出的一種流形改正方法，是最小二乘法原理[2-3]的直接應(yīng)用.對于含微分動(dòng)力系統(tǒng)，其態(tài)矢量為態(tài)矢量x，系統(tǒng)的p個(gè)積分滿足ej(x)=0，j=1,2,…,p，p個(gè)積分對坐標(biāo)和速度的偏導(dǎo)數(shù)可組成一含有6n列p行的矩陣E′.Nacozy改正矢量Δη與態(tài)矢量x之間滿足關(guān)系：x=η+Δη，其中Δη應(yīng)使得ΔηTWΔη最小化，即滿足：

Δη=-W-1E′T(E→′W-1E′T)-1ε

(1)

這里W是權(quán)重矩陣，T代表轉(zhuǎn)置，矩陣(E′W-1E′T)是一p×p型對稱矩陣.在數(shù)值積分的每一步，數(shù)值解后都加入上述穩(wěn)定項(xiàng)并校正，用校正后的數(shù)值解作為下一步的初始條件.

1.2 速度改正方案

Wu等[5]在上述思想的基礎(chǔ)上，提出只對速度項(xiàng)的三個(gè)分量改正，即：

(2)

由于上述兩種積分方案都不滿足嚴(yán)格的不變積分關(guān)系，所以都是近似方法.

2 研究模型

本文研究模型為平面圓形限制性三體問題[8]，是天體力學(xué)中的基本模型之一，假設(shè)三體中的某一體的質(zhì)量相對其它兩體無限小.第三體在兩主天體引力作用下作平面圓形限制性運(yùn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，第三體的運(yùn)動(dòng)微分方程表達(dá)式為：

(3)

(4)

表1 兩種近似改進(jìn)方法關(guān)于最大李亞普諾夫指標(biāo)的時(shí)間效率比較

表2 兩種近似改進(jìn)方法關(guān)于快速李亞普諾夫指標(biāo)的時(shí)間效率比較

3 混沌指標(biāo)

3.1 最大李亞普諾夫指標(biāo)

N維動(dòng)力系統(tǒng)具N個(gè)李亞普諾夫指數(shù)，最大李亞普諾夫指標(biāo)[6]不用計(jì)算正交化的過程且更容易反映系統(tǒng)的相空間動(dòng)力性質(zhì).其計(jì)算表示為：

(6)

其中ξ(0)和ξ(t)代表初始時(shí)刻和t時(shí)刻相空間切矢量.

3.2 快速李亞普諾夫指標(biāo)

快速李亞普諾夫指標(biāo)[7]是計(jì)算兩臨近軌道平均指數(shù)分離比的指標(biāo)，有變分法和兩粒子法兩種方式計(jì)算該指標(biāo).變分法中需對運(yùn)動(dòng)方程和變分方程同時(shí)積分，計(jì)算量較大.兩粒子法只須在第一條軌道的初值上加上一個(gè)很小的常數(shù)，重新積分運(yùn)動(dòng)方程即可.實(shí)際計(jì)算過程中其表達(dá)式為：

(7)

其中：d(0)是初始軌道分離值；d(t)代表任意是時(shí)刻的軌道分離值；κ為序列號(hào).

4 結(jié)果分析

數(shù)值計(jì)算過程中首先用四階龍格庫塔方法(RK4)給出運(yùn)動(dòng)微分方程的基本解，然后將兩種改正方案(1)和(2)分別加到基本解后作為改正項(xiàng)，最后以改正后的數(shù)值解計(jì)算兩種混沌指標(biāo)(6)和(7).最大李亞普諾夫指標(biāo)的時(shí)間效率對比見表1，快速李亞普諾夫指標(biāo)的時(shí)間效率對比見表2.從表中容易看出：速度近似改正方法的計(jì)算時(shí)間要少于速度坐標(biāo)均近似改正方法，而且隨著步長的減小，時(shí)間區(qū)別越明顯，更重要的是兩種方法均不會(huì)改變軌道的周期與混沌特征.一方面說明兩種近似改進(jìn)方法確實(shí)能準(zhǔn)確的表現(xiàn)軌道運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，另一方面說明只對速度部分改正并不影響系統(tǒng)總體運(yùn)動(dòng)行為，而且節(jié)省了計(jì)算時(shí)間.雖然對圓形限制性三體問題只有幾秒的差別，但是對于復(fù)雜的多體系統(tǒng)積分，如太陽系多體問題，兩者的積分效率會(huì)體現(xiàn)的更為明顯.

[1]Ma D Z,Wu X,Zhu J F.Velocity scaling method to correct individual Kepler energies[J].New Astronomy,2008,13:216-223.

[2]Ma D Z,Wu X,Zhong S Y.Effects of the cosmological constant on chaos in an FRW scalar field universe[J].Research in Astronomy and Astrophysics,2009,9:1185-1191.

[3]Ma D Z,Wu J P,Zhang J F.Chaos from the ring string in a Gauss-Bonnet black hole in AdS5space[J].Physical Review D,2014,89:086011.

[4]Nacozy P E.The use of integrals in numerical integrations of the N-body problem[J].Astrophysics and Space Science,1971,14:40-51.

[5]Wu X,Huang T Y,Wan X S,et al.Comparison among correction methods of individual kepler energies in n-body simulations [J].AJ,2007,133:2643-2653.

[6]Froeschle C,Lega E.On the Structure of Symplectic Mappings. The fast Lyapunov indicator: a very sensitive tool[J].Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy,2000,78:167-195.

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[8]Simo C,Stuchi T J.Central stable/unstable manifolds and the destruction of KAM tori in the planar hill problem[J].Physica D,2000,140:1-32.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

ComparisonofTimeEfficiencyProblemofTwoKindsofApproximateManifoldCorrectionSchemes

MA Dazhu,LONG Zhichao,HU Fenglian

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

The paper discusses the time efficiency problem on the Maximum Lyapunov indicator and the fast Lyapunov indicator for two kinds of approximate manifold schemes,namely,velocity method and velocity and position method. The Planar circular restricting three-body problem is adopted as the basic model.The results show that the velocity approximate method has more priority than the velocity and position method. The research has great application value in multi-body problems in Solar system.

Manifold correction；Lyapunov indicator；three-body problem

2014-05-23.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11263003).

馬大柱(1983- )，男，碩士，講師，主要從事數(shù)值計(jì)算方法和非線性動(dòng)力學(xué)研究.

O317+.2

A

1008-8423(2014)02-0153-03