張俊麗，韓貴春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

非奇異H-矩陣的一類判定條件

張俊麗，韓貴春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

非奇異H-矩陣是一類在工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的特殊矩陣.根據(jù)α對(duì)角占優(yōu)矩陣與H-矩陣的關(guān)系,給出了非奇異H-矩陣的一類判定準(zhǔn)則,推廣和改進(jìn)了已有的相關(guān)結(jié)果,數(shù)值算例說明了該判定準(zhǔn)則的有效性.

非奇異H-矩陣;α-對(duì)角占優(yōu)矩陣;不可約;非零元素鏈

0 引言

非奇異H-矩陣是一類重要的特殊矩陣,在控制論、電力系統(tǒng)理論、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)以及彈性力學(xué)等眾多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用.然而其數(shù)值判定是困難的,國內(nèi)外許多學(xué)者給出了非奇異H-矩陣的判定方法[1-6].本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上,利用α-對(duì)角占優(yōu)矩陣與非奇異H-矩陣的關(guān)系,給出了非奇異H-矩陣的一種判定法,對(duì)文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果進(jìn)行了推廣.

首先引入符號(hào)和定義：

記：

N1={i∈N|0<|aii|=αRi(A)+(1-α)Si(A)}

N2={i∈N|0<|aii|<αRi(A)+(1-α)Si(A)}

N3={i∈N||aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}

定義2A=(aij)∈Cn×n,如果?α∈(0,1],使得?i∈N,有:

|aii|≥αRi(A)+(1-α)Si(A)

定義3 設(shè)A=(aij)∈Cn×n,不可約,若A∈D0(α),且至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立,則稱A為不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣; 若A∈D0(α),并對(duì)于滿足等式成立的下標(biāo)i都存在非零元素鏈aii1,ai1i2, …,aikj,使得 |ajj|≥αRj(A)+(1-α)Sj(A),則稱A具為非零元素鏈α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理1[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1].若滿足下列條件之一, 則A為非奇異H-矩陣:

1)A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣;

2)A為不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣,且至少有一個(gè)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行;

3)A具為非零元素鏈α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],若?i∈N2,有:

(1)

證明由r的定義知,0≤r<1;?i∈N3,有:

r[αRi(A)+(1-α)Si(A)]≥

所以:

r[αRi(A)+(1-α)Si(A)]

于是:

即

0≤ρi(A)≤rσi(A)

(2)

由式(1),必?ε>0,使得0<ρi(A)+ε<1,?i∈N2,?i∈N3, 且有下式成立:

(3)

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn), 且令B=AX=(bij)n×n,其中:

αRi(A)+(1-α)Si(A)=|aii|=|bii|

2)當(dāng)i∈N2時(shí):

(1-α)Si(A)δi(A)<|aii|δi(A)=|bii|

3)當(dāng)i∈N3時(shí), ?j∈N2, 0<δj(A)<1,由式(2)及ε>0得:

ρi(A)|aii|+ε|aii|=|aii|(ρi(A)+ε)=|bii|

注：文獻(xiàn)[1]的定理1是上述定理在α=1時(shí)的特殊情況,且該判定方法可以推廣到不可約和具有非零鏈的情形.

定理2 設(shè)A=(aij)∈Cn×n不可約,α∈(0,1],若?i∈N2,有：

(4)

證明由于A不可約,則?i∈N′?N, ?j∈N-N′,有|aij|不全為零.

構(gòu)造正對(duì)角矩陣

1)當(dāng)i∈N1時(shí)：

2)當(dāng)i∈N2時(shí),由(4)式得：

又(4)式中至少有一嚴(yán)格不等式成立,即存在k,使得：

3)當(dāng)i∈N3時(shí),?j∈N2,0<δj(A)<1

由引理2,類似于定理1和定理2亦可得到下面的定理.

定理3 設(shè)A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],若?i∈N2,有：

(5)

且其中至少有一嚴(yán)格不等式成立,又對(duì)式(5)中的每一個(gè)等式成立的i,存在非零元鏈aii1ai1i2ai2i3…aikj,滿足：

2 數(shù)值算例

考慮矩陣：

利用本文定理1,取α=0.8,則N1={1},N2={2},N3={3,4,5},r=0.680 2,于是,|a22|δ2(A)=2.22>α[|a21|+|a23|ρ3(A)+|a24|ρ4(A)+|a25|ρ5(A)]+(1-α)S2(A)=2.17.

所以A為非奇異H-矩陣,但用文獻(xiàn)[2]中定理1無法判斷.

[1]王峰.非奇異H-矩陣的判定及其在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,11(1):94-98.

[2]黃廷祝.非奇異H-矩陣的簡(jiǎn)捷判據(jù)[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1993,15(3):18-328.

[3]Sun Yuxiang. An Improvement on a Theorem by Ostrowski and Its Applications[J].Northeastern Math J,1991,7(4):97-520.

[4]李繼承,張文修.H矩陣的判定[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999,21(3):264-268.

[5]Berman A,Plemmons R J.Nonnegative Matrix in the Mathematical Sciences[M].New York:Academic Press,1979.

[6]楊亞強(qiáng).非奇異H-矩陣的一個(gè)實(shí)用充分條件[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào),2012,32(1):32-35.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

SomeSimpleConditionsforNonsingularH-matrices

ZHANG Junli，HAN Guichun

(School of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Tongliao 028043,China)

NonsingularH-matrix is a kind of special matrix with applications in the field of engineering and scientific research. In this paper, some new criteria are given according to the relations ofα-diagonally dominant matrices and nonsingularH-matrices,which extend and improve some related results. Effectiveness of these criteria is illustrated by numerical examples.

nonsingularH-matrix;α-diagonally dominant matrix; irreducible; nonzero elements chain

2014-05-02.

內(nèi)蒙古民族大學(xué)自然科學(xué)基金(NMD1305).

張俊麗(1980- ),女，碩士,講師,主要從事數(shù)值代數(shù)及應(yīng)用的研究.

O151.21

A

1008-8423(2014)02-0144-04