韓俊青
(德州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣系,山東 德州 253034)
研究控制系統(tǒng)就必須建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,經(jīng)典控制理論中常用的數(shù)學(xué)模型有時(shí)域模型—微分方程,復(fù)域模型—傳遞函數(shù)[1],頻域模型—頻率特性[2].但最常用的數(shù)學(xué)模型是傳遞函數(shù),頻率特性只是傳遞函數(shù)的特殊形式.如何利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)來定量分析系統(tǒng)的動靜態(tài)性能是分析問題的關(guān)鍵[3].但在實(shí)際應(yīng)用過程中如何能全面深刻的理解這一公式的含義,并能靈活地運(yùn)用它,還不夠完善,本文基于幾何模型系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖,通過分析其特點(diǎn)即回路是否相關(guān)聯(lián)研究這一問題.
求傳遞函數(shù)可利用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換,即分支點(diǎn)和比較點(diǎn)的前移和后移等,太費(fèi)時(shí)費(fèi)力,梅森公式與以上方法比較有它的先進(jìn)性,它可不用繁瑣的變換一步可求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)[4],梅森公式如下:
(1)
式中各項(xiàng)含義如下:Δ為特征式,Δ=1-∑li+∑lilj-∑liljlz+…
其中∑li為各回路傳遞函數(shù)之和,即指回路前向通道與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積;∑lilj為兩兩互不接觸回路傳遞函數(shù)的乘積之和;∑liljlz為所有三個(gè)互不接觸回路傳遞函數(shù)的乘積之和;pk為第k條前向通道的傳遞函數(shù),n為系統(tǒng)中前向通道的條數(shù);Δk為特征式對第k條前向通道的余子式,它既可以通過從Δ中除去與第k條前向通道接觸的所有回路傳遞函數(shù)項(xiàng)得到.理論上梅森公式可以說是神通廣大,但實(shí)際應(yīng)用中用起來,稍一疏忽,容易將前向通道數(shù)、反饋回路數(shù)及余子式判斷錯(cuò).
區(qū)分系統(tǒng)是否“相關(guān)聯(lián)”,若為“相關(guān)聯(lián)多回路系統(tǒng)”,此時(shí)梅森公式可直接簡化為:
其他情況直接應(yīng)用梅森增益公式(1),“相關(guān)聯(lián)”即所有的回路和前向通道必須共用一個(gè)“環(huán)節(jié)”或“一段信號線”,如圖1、圖2共用一個(gè)環(huán)節(jié)的相關(guān)多回路系統(tǒng).
圖1 共用一個(gè)環(huán)節(jié)的只有一條前向通道的相關(guān)多回路系統(tǒng)
以上系統(tǒng)有一條前向通道,三個(gè)回路,它們共用了一環(huán)節(jié)G3(s)比較明顯,所以為相關(guān)多回路系統(tǒng)直接用公式(2)求得
(3)
各回路之前若為負(fù)反饋為“+”若為正反饋為“-”.
圖2 共用一個(gè)環(huán)節(jié)兩條前向通道的相關(guān)多回路系統(tǒng)
以上系統(tǒng)有兩條前向通道,兩個(gè)回路,它們共用了一環(huán)節(jié)G2(s),所以為相關(guān)聯(lián)系統(tǒng),直接應(yīng)用公式(2)求得
P1=G1(s)G2(s))
(4)
P2=G3(s)G2(s)
(5)
(6)
見圖3、圖4共用一段信號線的相關(guān)多回路系統(tǒng)
圖3 共用一段信號線的相關(guān)多回路系統(tǒng)
圖3中第一個(gè)分支點(diǎn)之前和第三個(gè)比較點(diǎn)之后的一段為相關(guān)聯(lián)多回路系統(tǒng),也可以直接應(yīng)用公式(2)求解
P1=G1(s)G2(s)G3(s)
(7)
P2=G1(s)G4(s)
(8)
(9)
圖4 共用一段信號線不規(guī)則的相關(guān)多回路系統(tǒng)
圖4中兩條前向通道和四個(gè)個(gè)反饋環(huán)節(jié)即回路共用了最后一個(gè)比較點(diǎn)和最后一個(gè)分支點(diǎn)之間的一段信號線,因此系統(tǒng)為相關(guān)聯(lián)多回路系統(tǒng),也可以應(yīng)用公式(2)求解
P1=G1(s))
(10)
P2=G2(s)
(11)
(12)
但若把圖3中G2(s)環(huán)節(jié)前的分支點(diǎn)移到它前面比較點(diǎn)的前方即G1(s)環(huán)節(jié)后方,見圖5.此時(shí)此系統(tǒng)的兩條前向通道和各個(gè)反饋回路既沒有共用的環(huán)節(jié),也沒有共用的信號線,因此此系統(tǒng)就不相關(guān)聯(lián)了,只能利用梅森公式(1)求解.
圖5 非相關(guān)聯(lián)多回路系統(tǒng)
∑li=G1(s)G2(s)H1(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)
(13)
∑lilj=0,∑liljlz=0
(14)
Δ=1+G1(s)G2(s)H1(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)
(15)
P1=G1(s)G2(s)G3(s),Δ1=1
(16)
P2=G1(s)G4(s),Δ2=1+G2(s)G3(s)H2(s)
(17)
(18)
再如圖6看似各回路相關(guān)聯(lián),仔細(xì)觀察分析各回路及前向通道既沒有共用的環(huán)節(jié)也沒有共用的信號線,為非相關(guān)聯(lián)多回路系統(tǒng),只能用梅森公式(1)求解.
∑li=G1(s)G2(s)+G1(s)H(s)+G3(s)H(s)
(19)
∑lilj=0,∑liljlz=0
(20)
Δ=1+G1(s)G2(s)+G1(s)H(s)+G3(s)H(s)
(21)
P1=G1(s)G2(s),Δ1=1+G3(s)H(s)
(22)
(23)
本文就系統(tǒng)的相關(guān)聯(lián)性進(jìn)行分析,根據(jù)圖中具體情況應(yīng)用梅森公式(1)(2)分析求解,可以得到應(yīng)用梅森公式(2)進(jìn)行求解具有很多優(yōu)點(diǎn).
[1]孫振川.基于s函數(shù)的異步電動機(jī)在兩相靜止坐標(biāo)系下的仿真建模[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2012,29(5):82-84.
[2]韓俊青.基于系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的奈奎斯特判據(jù)用法研究[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2014,31(2):44-46.
[3]黃堅(jiān).自動控制原理及應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2005.
[4]熊新民.自動控制原理與系統(tǒng)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2003.