，，,b

(武漢大學(xué) a.水利水電學(xué)院；b．水資源與水電工程科學(xué)國家重點實驗室， 武漢 430072)

1 研究背景

大壩監(jiān)測效應(yīng)量實測數(shù)據(jù)序列Xt={xt,t=1,2,…,n}一般被認(rèn)為是一個隨機時間序列。由于庫水位變化和溫度變化通常具有較明顯的周期性，因此大壩監(jiān)測效應(yīng)量序列大多也存在較明顯的周期性；在水庫蓄水初期，大壩監(jiān)測效應(yīng)量一般變化較快，運行期變化則較平穩(wěn)，因此大壩監(jiān)測效應(yīng)量一般具有較明顯的趨勢性變化特征?；诖耍髩伪O(jiān)測效應(yīng)量序列Xt主要由以下3部分組成[1]：

Xt=Mt+Ft+Zt。

(1)

式中：Mt為趨勢性成分，反映了時間序列的趨勢性變化；Ft為周期性成分，反映了時間序列的周期性變化；Zt為隨機噪聲項，反映了隨機因素的影響。

傳統(tǒng)的預(yù)測模型著重研究對數(shù)據(jù)序列不同特性中某一方面特性的映射，然而系統(tǒng)的發(fā)展演化過程往往是多種可知因素與未知因素、確定性因素與不確定因素相互作用的結(jié)果，僅用單一模型難以全面揭示研究對象的多重特性，有必要根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的特點，結(jié)合不同監(jiān)測模型的優(yōu)勢，構(gòu)造合適的組合模型。為此，本文針對周期性和趨勢性比較明顯的大壩監(jiān)測效應(yīng)量，將傳統(tǒng)的灰色系統(tǒng)模型、周期外延模型和時間序列模型結(jié)合起來建立組合模型，進行擬合和預(yù)測，從而提高模型的整體預(yù)測精度，深化對監(jiān)測效應(yīng)量變化規(guī)律的認(rèn)識。

2 建模方法

設(shè)監(jiān)測效應(yīng)量X的實測數(shù)據(jù)序列為{xt}，首先采用灰色系統(tǒng)中的Verhulst模型擬合并分離{xt}中的趨勢性成分Mt，并得到一次殘差序列{Δ(1)xt}；然后針對{Δ(1)xt}采用周期外延模型擬合并分離其中的周期性成分Ft，并得到二次殘差序列{Δ(2)xt}；之后再針對{Δ(2)xt}采用時間序列模型擬合其隨機性成分Rt；最后將上述模型進行疊加獲得組合模型。組合預(yù)測模型的建模流程如圖1所示。

圖1 組合預(yù)測模型建模流程圖

2.1 Verhulst模型

記原始監(jiān)測數(shù)據(jù)序列為Xt(1)=(x1(1),x2(1),…,xn(1))，由于大壩監(jiān)測效應(yīng)量屬于累積量，則根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，可利用Xt(1)建立Verhulst模型[2-3]，模型結(jié)構(gòu)為

(2)

式(2)中的參數(shù)a和b可通過對Xt(1)進行一次累減生成(1-IAGO)得到增量序列Xt(0)后結(jié)合最小二乘法進行參數(shù)估計獲得[3]。

利用式(2)分離出Xt(1)中的趨勢性成分Mt后，則可得到一次殘差序列Yy={yt}={Δ(1)xt}，其中

(3)

2.2 周期外延模型

由式(3)得到的一次殘差序列Yt={yt}={y2,y3,…,yn}，主要包含周期性成分及隨機性成分，則針對{yt}利用基于方差分析的周期外延模型擬合和分離其中的周期性成分[4-5]。

(1) 計算一次殘差序列{yt}的均值生成函數(shù)。均值生成函數(shù)計算公式如下：

(4)

(5)

式中：mod表示同余；ft(m)稱作均值生成函數(shù)的延拓函數(shù)。

(2) 優(yōu)勢周期提取。根據(jù)方差分析原理，可按下式檢驗序列{yt}是否隱含長度為m的周期。

(6)

(3) 優(yōu)勢周期疊加。將所提取的不同優(yōu)勢周期同一時刻取值的疊加值記為ft，即

(7)

式(7)即為周期外延模型，序列{ft}即為一次殘差序列{yt}中周期性成分的擬合值序列。

(4) 二次殘差序列。利用式(7)分離出{yt}中的周期性成分Ft后，則可得到二次殘差序列Zt={zt}={Δ(2)xt}，其中

(8)

2.3 時間序列模型

由式(8)得到的二次殘差序列Zt={zt}={z2,z3,…,zn}，主要包含隨機性成分，則針對{zt}可建立時間序列模型來擬合隨機性成分。

本文采用時間序列模型中的自回歸模型AR(p)，其形式為[6]

(9)

式中：p為模型階次，可采用BIC準(zhǔn)則確定；?i(i=1,2,…,p)為自回歸系數(shù)，是模型的待估參數(shù)，可利用最小二乘法進行參數(shù)估計；εt為白噪聲序列。

在模型用于預(yù)測之前，利用Q-準(zhǔn)則法檢驗殘差序列{εt}是否為白噪聲序列[6]。

2.4 建立組合模型

(10)

3 工程實例

某混凝土重力壩在壩頂布置了一條引張線，共12個測點。選擇位于河床中部的5#壩段上的EX5測點2008年7月至2012年6月的48個測次(測次間隔為1個月)的實測水平位移，按本文的建模方法建立組合預(yù)測模型。

3.1 模型的建立

(1) 建立Verhulst模型：以選定的EX5測點實測水平位移序列Xt作為模型輸入，按式(2)建立Verhulst模型，其中根據(jù)最小二乘法得到的參數(shù)估計為

(2) 建立周期外延模型：將Xt與Verhulst模型擬合序列Mt相減得到一次殘差序列Yt，對Yt進行周期分析。給定置信水平1-α=0.95，經(jīng)計算得

從而有F(12)=4.68>F0.05(11,35)=2.08，故數(shù)據(jù)序列有優(yōu)勢周期為m2=12。

經(jīng)進一步計算無其它優(yōu)勢周期，因此采用周期疊加外延法計算得到的周期外延預(yù)測模型為ft=ft(11)+ft(12)。按此模型可得到一次殘差模擬序列Ft。將Mt與Ft疊加，即為灰色周期外延模型擬合序列。

(3) 建立AR(p)模型：將Yt與Ft相減得到二次殘差序列Zt，對Zt進行自回歸分析。本文基于SPSS軟件，建立AR(p)模型。對序列進行1階差分，可得到平穩(wěn)序列，根據(jù) BIC準(zhǔn)則計算得到模型最佳階數(shù)p=4。用最小二乘法計算待估參數(shù)

?=[?1,?2,…,?4]=

[0.222,0.213,-0.047,-0.470]

(4) 建立組合模型：將上述建立的3個單項模型進行線性疊加，即可得到組合模型。各單項模型和組合模型的擬合結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同預(yù)測模型的精度對比

3.2 模型分析

(1) 通過不同預(yù)測模型精度的對比(見圖2)可知，由于各單項模型能從不同角度來映射效應(yīng)量某一方面的特性，因而所建立的組合模型能更好地描述效應(yīng)量實測數(shù)據(jù)的變動趨勢，具有良好的擬合精度。

(2) 采用上述所建立的組合預(yù)測模型，以2012年7—10月的4次測值作為檢驗預(yù)報樣本進行預(yù)報精度分析。預(yù)報結(jié)果見表1。由表1可知，本文所建立的組合預(yù)報模型預(yù)報精度較高，各測次預(yù)報精度均小于5%。

表1 組合模型預(yù)測結(jié)果

(3) 采用相同的監(jiān)測數(shù)據(jù)序列建立EX5測點水平位移的傳統(tǒng)統(tǒng)計模型，并根據(jù)所建立的傳統(tǒng)統(tǒng)計模型對2012年7—10月的4次測值進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表1。由表1可以看出，本文所提出的組合預(yù)測模型與傳統(tǒng)統(tǒng)計模型的預(yù)測結(jié)果十分接近，這進一步說明了本文所提出的組合預(yù)測模型是可行的、有效的。

4 結(jié) 論

(1) 本文針對周期性和趨勢性比較明顯的大壩監(jiān)測效應(yīng)量，提出了采用灰色Verhulst模型模擬趨勢性成分、采用周期外延模型模擬周期性成分、采用時間序列AR(p)模型模擬隨機性成分從而建立組合預(yù)測模型的方法。實例表明，本文提出的組合預(yù)測模型具有良好的擬合效果、較高的預(yù)測精度和外延預(yù)報能力，是合理和可行的。

(2) 本文提出的組合預(yù)測模型側(cè)重于研究數(shù)據(jù)序列的自身變化規(guī)律，未涉及環(huán)境變量對監(jiān)測效應(yīng)量的影響以及監(jiān)測效應(yīng)量與環(huán)境變量之間的物理力學(xué)關(guān)系。這一方面是本方法的不足之處，但另一方面為在缺乏良好的環(huán)境變量監(jiān)測資料條件下的預(yù)測問題提供了一條有效途徑，也為傳統(tǒng)的統(tǒng)計預(yù)報模型、確定性預(yù)報模型和混合預(yù)報模型提供了一種補充方法。

參考文獻：

[1] 何金平．大壩安全監(jiān)測理論與應(yīng)用[M]．北京：中國水利水電出版社，2010.(HE Jin-ping.Dam Safety Monitoring: Theory and Application [M].Beijing: China Water Power Press, 2010.(in Chinese ))

[2] 王正新，黨耀國，劉思峰．無偏灰色Verhulst模型及其應(yīng)用[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐，2009，29(10)：138-144.(WANG Zheng-xin, DANG Yao-guo, LIU Si-feng.Unbiased Grey Verhulst Model and Its Application[J].Systems Engineering: Theory & Practice,2009,29(10):138-144 .(in Chinese ))

[3] 劉思峰，黨耀國，方志耕．灰色系統(tǒng)理論及應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，2010.(LIU Si-feng, DANG Yao-guo, FANG Zhi-geng.Grey System Theory and Its Application [M].Beijing: Science Press，2010.(in Chinese))

[4] 雷 杰，彭 楊，紀(jì)昌明．基于改進灰色-周期外延模型的中長期水文預(yù)報[J]．人民長江，2010,41(24)：28-31.(LEI Jie, PENG Yang, JI Chang-ming.Mid-long Term Hydrological Forecast Based on Improved Gray-periodic Extensional Combinatorial Model[J].Yangtze River, 2010, 41(24): 28-31.(in Chinese ))

[5] 任 峰，李 偉，丁 超．基于灰色-周期外延組合模型的電力負荷預(yù)測[J]．電網(wǎng)技術(shù)，2007,31(24)：52-54.(REN Feng, LI Wei, DING Chao.Load Forecasting Based on Gray-periodic Extensional Combinatorial Model[J].Power System Technology, 2007, 31(24): 52-54.(in Chinese ))

[6] 楊叔子，吳 雅，軒建平．時間序列分析的工程和應(yīng)用[M]．武漢：華中科技大學(xué)出版社，2007.(YANG Shu-zi, WU Ya, XUAN Jian-ping.Time Series Analysis in Engineering Application [M].Wuhan: Huazhong University of Science & Technology Press, 2007.(in Chinese ))