鄭燦赫 孟廣偉 李鋒 周立明 孔英秀

(1.吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022;2.理科大學(xué) 數(shù)學(xué)力學(xué)系，朝鮮 平壤)

在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，往往存在結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、幾何參數(shù)及作用載荷的隨機(jī)性，而確定性的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法不能考慮這些隨機(jī)因素的影響.目前，基于概率可靠性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究已經(jīng)取得了不少成果［1-8］.基于可靠性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)嵌套的優(yōu)化問(wèn)題，內(nèi)層是可靠性分析過(guò)程，外層是結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化.對(duì)于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，可靠性分析方法主要包括可靠度的界限估計(jì)和點(diǎn)估計(jì)方法［1-4］.界限估計(jì)方法主要有簡(jiǎn)單界限法(寬界限法)、高階界限法(窄界限法)，點(diǎn)估計(jì)方法主要有概率網(wǎng)絡(luò)估算法(PNET 法).簡(jiǎn)單界限法的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但上下限的范圍很寬;高階界限法和概率網(wǎng)絡(luò)估算法可以得到較高的計(jì)算精度，但計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜.傳統(tǒng)的外層優(yōu)化方法主要有序列無(wú)約束最小化方法、廣義簡(jiǎn)約梯度法、廣義拉格朗日函數(shù)法等［5-6］，但這些方法對(duì)全局最優(yōu)解判定困難.

為了解決傳統(tǒng)優(yōu)化方法存在的困難，已將遺傳算法(GA)、粒子群優(yōu)化(PSO)算法、差分進(jìn)化(DE)算法等啟發(fā)式智能優(yōu)化方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)中.GA 算法是建立在自然遺傳學(xué)機(jī)理基礎(chǔ)上的全局優(yōu)化算法，在結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中有諸多應(yīng)用.有些學(xué)者提出了基于混合GA 算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法和基于改進(jìn)GA 算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法等［7-8］，但它們?cè)趹?yīng)用中也存在一些不足，如GA 算法采用二進(jìn)制編碼，搜索時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，易發(fā)生早熟收斂，最優(yōu)解的局部尋優(yōu)能力差等.

Kennedy 等［9-10］提出的PSO 算法操作較簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、收斂速度快，是有效求解非線性優(yōu)化與多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的算法.PSO 算法不僅用于處理不可微的、不連續(xù)的、多模態(tài)目標(biāo)函數(shù)［11］，還應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中［12-13］，不少學(xué)者提出了基于一些變種和混合PSO 算法的工程優(yōu)化與結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［14-17］.但這些算法還需要解決早熟收斂問(wèn)題.

同GA 算法相比，DE 算法群體的多樣性及搜索能力的魯棒性較強(qiáng)，而且采用實(shí)數(shù)編碼，運(yùn)算時(shí)間較快.因此，DE 算法已被廣泛應(yīng)用于較復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，但進(jìn)化后期的收斂速度較慢［18-19］.

為提高結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率，文中將PSO-DE 混合算法應(yīng)用到隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化問(wèn)題，建立隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化模型，提出了一種基于PSO-DE 混合算法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)數(shù)值算例分析驗(yàn)證該可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可行性和適用性.

1 PSO-DE 混合算法

1.1 PSO 算法

粒子群優(yōu)化算法的每個(gè)粒子和速度為D 維向量，粒子群由N 個(gè)粒子組成.以一般桁架結(jié)構(gòu)輕量化計(jì)算為例，以桁架橫截面尺寸A 為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，則群體第i 個(gè)粒子的位置以Ai=(Ai，1，Ai，2，…，Ai，D)表示，第i 個(gè)粒子的速度以vi=(vi，1，vi，2，…，vi，D)表示.每個(gè)粒子都有一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)(結(jié)構(gòu)質(zhì)量)m(Ai).Pi=(pi1，pi2，…，piD)為第i 個(gè)粒子的曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的最佳位置，Pb=(pb1，pb2，…，pbD)為整個(gè)粒子群到目前為止搜索到的最佳位置.

文中采用收斂速度較快的帶壓縮因子的粒子群優(yōu)化算法.在每一次迭代中，群體的每個(gè)粒子的速度和位置如下:

式中:χ 為壓縮因子;c1和c2為非負(fù)常數(shù)，c1為認(rèn)知因子，c2為社會(huì)因子;r1和r2為區(qū)間［0，1］上的隨機(jī)數(shù);t 為迭代次數(shù).

1.2 DE 算法

DE 算法是一種基于群體智能的隨機(jī)搜索算法，該算法包括變異、交叉、選擇3 個(gè)過(guò)程［18-19］.定義群體包含N 個(gè)在D 維空間內(nèi)的個(gè)體向量Ai(t);i=1，2，…，N.

式中:i=1，2，…，N;j=1，2，…，D;D 為問(wèn)題規(guī)模;rand［0，1］是［0，1］上滿足正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù).

對(duì)于每個(gè)目標(biāo)向量Ai(t)，變異向量按下式生成:

vi，j(t+1)=Ar1，j(t)+F［Ar2，j(t)－Ar3，j(t)］(4)式中:隨機(jī)選擇的序號(hào)r1、r2和r3互不相同，且r1、r2和r3與目標(biāo)向量序號(hào)i 也應(yīng)不同，故需滿足N≥4;變異算子F［0，2］是一個(gè)實(shí)常數(shù)因數(shù).

交叉操作后，試驗(yàn)向量變?yōu)?/p>

式中，randb(j)是［0，1］上的均勻隨機(jī)分布數(shù)，rnbr(i)為隨機(jī)選擇的序號(hào)，Rc為交叉算子，Rc［0，1］.

將試驗(yàn)向量與當(dāng)前種群中的目標(biāo)向量進(jìn)行比較，決定試驗(yàn)向量是否會(huì)成為下一代中的成員.

1.3 PSO-DE 混合算法

PSO 算法早期收斂速度較快，實(shí)現(xiàn)容易，但出現(xiàn)早熟停滯現(xiàn)象.DE 算法操作簡(jiǎn)單，保證種群的多樣性，收斂速度快，但在進(jìn)化后期逐漸減少種群的多樣性，收斂速度較慢，甚且容易陷入局部最優(yōu)點(diǎn).為了充分發(fā)揮PSO 和DE 算法的搜索特性，克服其缺點(diǎn)，文中將PSO 和DE 算法相結(jié)合起來(lái).

PSO 算法使個(gè)體(粒子)的最佳位置分布在最小值的附近，為了提高收斂性和計(jì)算精度，文中采用DE 算法來(lái)進(jìn)化認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).在PSO 算法每完成一次迭代后，通過(guò)對(duì)僅認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)改善的個(gè)體應(yīng)用DE 算法來(lái)提高種群的多樣性.DE 算法中的個(gè)體經(jīng)過(guò)迭代過(guò)程和進(jìn)化來(lái)解得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.個(gè)體最佳位置的集合表示為S={P1，P2，…，PN}.對(duì)于集合S 中最佳位置改變的個(gè)體，適用一步DE 算法(即變異、交叉和選擇操作).

文中提出的PSO-DE 混合算法的步驟如下:

(1)在搜索空間內(nèi)初始化粒子群;

(2)計(jì)算個(gè)體適應(yīng)值，判斷約束條件;

(3)根據(jù)式(1)、(2)更新群體的位置和速度;

(4)更新認(rèn)知經(jīng)驗(yàn);

(5)若在PSO 過(guò)程中認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)(個(gè)體最佳位置)Pi(t)得到改善，則采用DE 算法進(jìn)化那個(gè)粒子的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，即將DE 算法的變異、交叉和選擇操作應(yīng)用于改善的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).

(6)判斷終止條件，若滿足終止條件，則搜索停止，輸出結(jié)果，否則轉(zhuǎn)步驟(2).

2 隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

2.1 結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型

文中采用一種以各元件失效概率為約束條件，使結(jié)構(gòu)質(zhì)量為最小的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.該方法對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化，從而避開(kāi)對(duì)主要失效模式識(shí)別的復(fù)雜過(guò)程，得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率的近似解，使得計(jì)算量大大減小.

由n 個(gè)元件組成的桁架結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量m 為

式中，ρi、li、Ai分別為第i 個(gè)元件的密度、長(zhǎng)度和橫截面積.

結(jié)構(gòu)有M 個(gè)載荷，元件i 的功能函數(shù)可表示為

式中，Cyi為元件容許應(yīng)力，bij為載荷pj的載荷系數(shù).Zi的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為

由此可得出可靠性指標(biāo)βi為

式中，μCyi、分別為容許應(yīng)力Cyi的均值和方差，分別為載荷pj的均值和方差.

設(shè)元件的長(zhǎng)度和橫截面面積均為確定量，只有材料容許應(yīng)力和所施加的載荷為隨機(jī)變量，易知元件i 的失效概率為

失效概率Pfi與可靠性指標(biāo)βi之間有如下關(guān)系:

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù).

限定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率P*f ，確定該失效概率在各元件中的最優(yōu)分配，使得在各元件失效概率之和的約束下結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化模型可表示為

式中，A=(A1，A2，…，An)為截面設(shè)計(jì)尺寸，AL為A 的下限，AU為A 的上限，Pfi(A)為元件i 的失效概率.

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)通常相當(dāng)復(fù)雜和困難，傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化難以平穩(wěn)而又快速地收斂.為了提高可靠性優(yōu)化的穩(wěn)定性和收斂速度，文中將下列組合收斂準(zhǔn)則應(yīng)用于基于PSO-DE混合算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化中［20］:

式中，k 為迭代次數(shù)，ε1、ε2和ε3是接近于0 的數(shù)值，如在10－3～10－4之間.

2.2 隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化流程

文中將PSO-DE 混合算法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化理論，建立結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度約束下最小化結(jié)構(gòu)質(zhì)量的優(yōu)化模型，并用于隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì).在該混合算法中，首先用PSO 算法得到各元件的橫截面尺寸，然后采用DE 算法對(duì)各元件橫截面尺寸進(jìn)化認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).基于PSO-DE 混合算法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的具體步驟如下:

(1)設(shè)定參數(shù)，對(duì)每個(gè)粒子及其最佳個(gè)體位置Pi(t)進(jìn)行隨機(jī)初始化.

(2)對(duì)于給定的每個(gè)粒子，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值m(Ai(t))，依照該值進(jìn)行種群最佳位置Pb(t)的初始化.

(3)利用改進(jìn)的一次二階矩法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析，判斷各粒子的約束條件，若粒子滿足約束條件，則更新橫截面積Ai(t).

(4)若被更新的Ai(t)不滿足式(14)的約束條件，則按照式(1)、(2)重新更新Ai(t)，直至滿足式(14)的約束條件為止.

(5)對(duì)于Ai(t)，求解優(yōu)化問(wèn)題得到的目標(biāo)函數(shù)值m(Ai(t)).

(6)若目標(biāo)函數(shù)值m(Ai(t))滿足m(Ai(t))＜m(Pi(t))和m(Pi(t))＜m(Pb)，則轉(zhuǎn)到步驟(7)，更新個(gè)體最佳位置Pi(t)和種群最佳位置Pb(t)，否則轉(zhuǎn)回步驟(2).

(7)若Pi(t)變化位置，則采用DE 算法進(jìn)化Pi(t).

(8)采用DE 算法的變異操作，由式(4)生成變異向量.

(9)由式(5)、(6)生成試驗(yàn)向量，在試驗(yàn)向量滿足約束條件下求解得到目標(biāo)函數(shù)值m(Ai(t)).

(10)若試驗(yàn)向量不滿足約束條件，則重新進(jìn)行變異和交叉操作，若還是不滿足約束條件，則返回步驟(2).

(11)若滿足m(Ai(t))＜m(Pi(t))和m(Pi(t))＜m(Pb)，則更新最佳個(gè)體位置Pi(t)和種群最佳位置Pb(t).

(12)若滿足終止條件，則搜索停止，輸出結(jié)果;否則，返回步驟(2).

3 算例分析

某6 桿超靜定桁架結(jié)構(gòu)［3］如圖1 所示，該結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量如下:屈服應(yīng)力均值為27.6 kN/cm2，變異系數(shù)為0.05;載荷p1、p2、p3的均值分別為50、30、20 kN，變異系數(shù)為0.2.

圖1 6 桿桁架結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of 6-bar truss

l1=120 cm，l2=90 cm，各元件橫截面面積初始值為5 cm2，材料密度為2.7 ×10－3kg/cm3，材料彈性模量為7.06 ×103kN/cm2.橫截面A 的下限AL=3 cm2，上限AU=7 cm2.結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率P*f=6 ×10－4，ε1=ε3=2 ×10－4，ε2=10－4.在結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)條件下，求解結(jié)構(gòu)的最小總質(zhì)量m 和各桿的橫截面積Ai(i=1，2，…，6).

在有代表性的兩種不同載荷情況(情況1:p1=46.2253 kN，p2=28.2247 kN，p3=16.0995 kN;情況2:p1=53.8034 kN，p2=23.945 3 kN，p3=19.922 0 kN)下，對(duì)6 桿桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算.為了對(duì)比，在相同的條件下，初始種群的大小為10，對(duì)本桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行基于PSO 算法和PSO-DE 混合算法的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化計(jì)算，結(jié)果如圖2 所示.

從圖2(a)可知，PSO-DE 混合算法經(jīng)過(guò)20 代進(jìn)化就能達(dá)到目標(biāo)函數(shù)值6.471 7，而且40 代進(jìn)化后目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到6.452 7，但PSO 算法經(jīng)過(guò)40 代進(jìn)化后才達(dá)到目標(biāo)函數(shù)值6.895 6.從圖2(b)可知，PSO-DE 混合算法經(jīng)過(guò)25 代進(jìn)化就能達(dá)到目標(biāo)函數(shù)值6.4761，40 代進(jìn)化后目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到6.4594，但PSO 算法經(jīng)過(guò)40 代進(jìn)化后才達(dá)到目標(biāo)函數(shù)值6.8165.總之，在兩種載荷情況下，PSO-DE 混合算法的收斂速度和精度優(yōu)于PSO 算法.由此可知，PSO算法的收斂速度尤其是尋優(yōu)后期的收斂速度變慢，PSO-DE 混合算法的優(yōu)化結(jié)果比PSO 算法好.基于PSO-DE 混合算法的可靠性優(yōu)化方法，解決了某些粒子在PSO 算法迭代中的過(guò)早收斂問(wèn)題，并提高了收斂速度，優(yōu)化結(jié)果較理想.

圖2 兩種載荷情況下的迭代過(guò)程Fig.2 Iteration history under two cases of load

表1、2 分別為兩種載荷情況下基于PSO-DE 混合算法與基于PSO 算法的優(yōu)化結(jié)果.在情況1 下，基于PSO-DE 混合算法的結(jié)構(gòu)質(zhì)量?jī)?yōu)化結(jié)果為6.4527 kg，基于PSO 算法的結(jié)構(gòu)質(zhì)量?jī)?yōu)化結(jié)果為6.8956 kg;在情況2 下，基于PSO-DE 混合算法的結(jié)構(gòu)質(zhì)量?jī)?yōu)化結(jié)果為6.4594kg，基于PSO 算法的結(jié)構(gòu)質(zhì)量?jī)?yōu)化結(jié)果為6.8165 kg.與PSO 算法相比，PSO-DE混合算法具有相對(duì)好的收斂性能.

表1 情況1 下桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization results of truss structure under case 1

表2 情況2 下桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of truss structure under case 2

從表1、2 可以看出，基于PSO-DE 混合算法的超靜定桁架結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于PSO 算法.在滿足本桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率約束下，最小化結(jié)構(gòu)各元件橫截面積，可以節(jié)省材料，同時(shí)滿足可靠性的要求.結(jié)果表明，文中算法的收斂速度快，計(jì)算精度高.

4 結(jié)論

為最小化結(jié)構(gòu)質(zhì)量，在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率約束下，文中提出了一種基于PSO-DE 混合算法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.算例結(jié)果表明:

(1)結(jié)合PSO 和DE 算法的用于隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化的PSO-DE 混合算法，可防止PSO 算法的早熟現(xiàn)象，提高算法的收斂速度和計(jì)算精度;

(2)與PSO 算法相比，基于PSO-DE 混合算法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化方法的魯棒性好，易于實(shí)現(xiàn)，能適用于較復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì).

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