梁 鵬 花

(山西省建筑設(shè)計(jì)研究院，山西 太原 030013)

關(guān)于阻尼模型及其應(yīng)用的幾點(diǎn)探討

梁 鵬 花

(山西省建筑設(shè)計(jì)研究院，山西 太原 030013)

指出阻尼作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的最重要的參數(shù)之一，是結(jié)構(gòu)振動(dòng)中描述能量耗散的指標(biāo)，介紹了阻尼的分類(lèi)及幾種常見(jiàn)阻尼模型，并對(duì)其在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的應(yīng)用做了簡(jiǎn)單闡述，為結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性研究提供了理論依據(jù)。

阻尼理論，Rayleigh阻尼，Caughey阻尼，振型疊加法

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性包括阻尼因數(shù)、固有頻率、振型等，阻尼作為一切物體的固有動(dòng)力特性，用以描述物體在振動(dòng)過(guò)程中的能量耗散，阻尼的存在，使物體的動(dòng)能不可逆地逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌芰浚虼怂怯绊懳矬w動(dòng)力反應(yīng)的重要因素之一。目前，雖然人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到阻尼的重要性，但由于阻尼機(jī)理的復(fù)雜性，使得阻尼不能像質(zhì)量矩陣及剛度矩陣那樣可以對(duì)應(yīng)有明確的物理意義，大多數(shù)學(xué)者及工程師仍然主要從宏觀層面上把握理解結(jié)構(gòu)的阻尼特性。對(duì)于動(dòng)力時(shí)程分析中較為通用的Rayleigh阻尼模型只能精確設(shè)定兩階振型的阻尼比，而往往夸大高階模態(tài)的振型阻尼比。另外，結(jié)構(gòu)進(jìn)入彈塑性后，由于剛度退化，系統(tǒng)的振型和自振頻率都會(huì)相應(yīng)改變，目前對(duì)于彈塑性動(dòng)力分析中的阻尼模型，仍沒(méi)有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。

1 阻尼類(lèi)別

阻尼機(jī)理復(fù)雜，結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，目前據(jù)人們對(duì)阻尼現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)包括：

1)材料阻尼或內(nèi)部阻尼，主要由結(jié)構(gòu)內(nèi)部微觀層面的相互作用引起。該類(lèi)阻尼主要是由材料的性質(zhì)決定的，形成機(jī)理為材料在動(dòng)力狀態(tài)下內(nèi)部宏觀或微觀粒子間的運(yùn)動(dòng)摩擦所形成，在建筑結(jié)構(gòu)中，該類(lèi)典型的代表是混凝土材料，其內(nèi)部各種成分之間的摩擦造成能量消耗即干摩擦耗能，這是結(jié)構(gòu)阻尼產(chǎn)生的根本原因。

2)邊界阻尼或結(jié)構(gòu)阻尼，主要由于結(jié)構(gòu)內(nèi)各構(gòu)件或各組成部分間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起，比如鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦、構(gòu)件的相對(duì)滑移等。庫(kù)侖阻尼就是該類(lèi)阻尼的典型代表。

3)流體粘滯阻尼，主要由浸于流體中的系統(tǒng)受流體阻力產(chǎn)生，比如粘滯阻尼器。

2 常用阻尼模型

一個(gè)好的阻尼模型應(yīng)該能較全面及真實(shí)的概括各類(lèi)阻尼，在物理概念上，學(xué)者們常常將阻尼模型歸類(lèi)為粘滯阻尼模型和滯后阻尼模型；在數(shù)學(xué)處理上按照計(jì)算方法阻尼模型常可分為比例阻尼模型與非比例阻尼模型[1]。

粘滯阻尼模型所表達(dá)的阻尼力與變形速度成比例，由于與速度成正比，它所建立的運(yùn)動(dòng)方程為線(xiàn)性微分方程，可方便的應(yīng)用于時(shí)域及頻域的計(jì)算，這也就是其得到廣泛應(yīng)用的主要原因。采用該阻尼模型時(shí)阻尼具有頻變的特性。

滯后阻尼模型又稱(chēng)為復(fù)阻尼模型[2]，所表達(dá)的阻尼力與彈性力恢復(fù)力成正比，方向與速度同相位。該阻尼理論相當(dāng)于在剛度矩陣上附加復(fù)剛度矩陣，體系的運(yùn)動(dòng)方程為復(fù)數(shù)微分方程，在時(shí)域內(nèi)計(jì)算困難，可以方便的應(yīng)用于頻域計(jì)算。對(duì)于線(xiàn)性問(wèn)題，可轉(zhuǎn)換到頻域求解或采用復(fù)模態(tài)疊加法求解。滯后阻尼理論的特點(diǎn)是阻尼具有非頻變的特性，符合試驗(yàn)中所發(fā)現(xiàn)的阻尼力在相當(dāng)頻帶寬內(nèi)變化緩慢的事實(shí)，但當(dāng)推廣到無(wú)限頻帶寬時(shí)將導(dǎo)致與物理事實(shí)相悖的結(jié)果。

比例阻尼以Rayleigh阻尼，以及Rayleigh阻尼的拓展形式如Caughey阻尼、Clouugh阻尼、修正的Rayleigh阻尼為代表，又稱(chēng)為經(jīng)典阻尼。

非比例阻尼又稱(chēng)為非經(jīng)典阻尼，實(shí)際結(jié)構(gòu)體系中具有比例阻尼的情況極少，一般都具有非比例(非經(jīng)典)阻尼特性，非比例阻尼體系具有復(fù)模態(tài)振型，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，非比例阻尼體系并不存在所謂的“振型”，因此傳統(tǒng)求解比例阻尼體系的模態(tài)疊加法已不再適用，常用求解方法有：復(fù)模態(tài)方法、近似解耦方法、擬力實(shí)模態(tài)疊加法、Ritz向量疊加法、直接積分法。

比例阻尼模型雖然使結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析簡(jiǎn)單，但它常常并不完全符合結(jié)構(gòu)阻尼的真實(shí)情況，在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，由于阻尼特性明顯不同的鋼筋—混凝土結(jié)構(gòu)組合形式的采用，各種機(jī)械阻尼器在結(jié)構(gòu)工程中的廣泛應(yīng)用，以及土—結(jié)構(gòu)相互作用等問(wèn)題的出現(xiàn)，非經(jīng)典阻尼或非比例阻尼問(wèn)題逐漸得到了重視。非比例阻尼模型的特點(diǎn)是阻尼矩陣無(wú)法被結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼振型解耦，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析得到的系統(tǒng)模態(tài)為復(fù)模態(tài)。對(duì)于具有非比例阻尼系統(tǒng)響應(yīng)的解，只能用數(shù)值計(jì)算的方法進(jìn)行近似求解。

3 比例阻尼建模

比例阻尼的一般形式為[3]：

(1)

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，應(yīng)用最為廣泛的一類(lèi)阻尼模型為Rayleigh阻尼模型，其假定結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線(xiàn)性組合：

[C]=a0[M]+a1[K]

(2)

其中，a0，a1均為比例常數(shù)，可根據(jù)結(jié)構(gòu)低階振型的頻率和阻尼比，利用振型正交性得出a0和a1的取值。

Rayleigh阻尼模型只有兩階振型與實(shí)際阻尼比一致，可以通過(guò)構(gòu)造更多項(xiàng)的線(xiàn)性組合，達(dá)到更多階振型的阻尼比滿(mǎn)足實(shí)測(cè)阻尼比，這種拓展的Rayleigh阻尼模型又叫做Caughey阻尼模型[4]:

(3)

Wilson與Penzien[5]提出一種解決Caughey阻尼模型存在數(shù)值計(jì)算困難的方法：

(4)

稱(chēng)之為Wilson-Penzien阻尼。

Luco[6]也提出一種解決柯西阻尼模型存在數(shù)值計(jì)算困難的方法：

(5)

Clough[3]提出一種可以彌補(bǔ)Wilson-Penzien阻尼模型具有無(wú)阻尼模態(tài)缺陷的一種阻尼形式：

(6)

董軍等[7]提出一種算法類(lèi)似于克拉夫阻尼的修正Rayleigh阻尼模型：

(7)

此外，還有不少學(xué)者對(duì)之前學(xué)者提出的阻尼模型進(jìn)行過(guò)研究，并提出了相應(yīng)的阻尼建模方法，但由于形式復(fù)雜，不便于應(yīng)用，此處便不予列出。

4 各類(lèi)阻尼在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中應(yīng)用

當(dāng)選用比例阻尼模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算時(shí)，由于只能精確控制有限階振型的阻尼比，因此關(guān)鍵問(wèn)題是要確定需要精確控制哪幾階振型的阻尼比。這就要明確各階振型對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)。首先要看振型參與系數(shù)，一般認(rèn)為振型參與系數(shù)越大其對(duì)響應(yīng)貢獻(xiàn)越大。其次要看動(dòng)力放大系數(shù)，動(dòng)力放大系數(shù)是阻尼比及頻比的函數(shù)，而一般認(rèn)為各階振型的阻尼比不變，所以只關(guān)注頻比即可?？蓪?duì)地震時(shí)程進(jìn)行傅里葉變換分析其頻譜特性，從而得到卓越周期的范圍，自振頻率落在此范圍內(nèi)的那階振型動(dòng)力放大系數(shù)應(yīng)該較大。最后也不能忽略地震動(dòng)幅值的影響，可在考慮動(dòng)力放大系數(shù)時(shí)進(jìn)行兼顧。

目前在動(dòng)力學(xué)分析中，確定Rayleigh阻尼模型所需要的兩個(gè)振型的控制頻率，一個(gè)是取第一階振型，另一個(gè)一般應(yīng)根據(jù)各振型的振型參與系數(shù)，及模型本身的自振頻率特性和地震波的頻譜特性取[8]。

如果要使更多階振型的阻尼比滿(mǎn)足實(shí)測(cè)阻尼比時(shí)，就要考慮Caughey阻尼。而現(xiàn)有的大型有限元軟件無(wú)法實(shí)現(xiàn)Caughey阻尼，必須進(jìn)行編程。

非線(xiàn)性動(dòng)力分析時(shí)，也存在如何形成合適的阻尼模型的問(wèn)題。此時(shí)振型疊加法已不再適用，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比所選阻尼模型的精確性。

如果考慮土—結(jié)構(gòu)相互作用，土介質(zhì)的阻尼特性常采用滯后阻尼模型，易在頻域內(nèi)進(jìn)行分析。但在實(shí)際的強(qiáng)震過(guò)程中，土體一般已進(jìn)入非線(xiàn)性階段，應(yīng)采用時(shí)域的非線(xiàn)性分析方法。此時(shí)阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率的確定成為關(guān)鍵問(wèn)題。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)阻尼的成因、阻尼理論及常見(jiàn)阻尼模型做了較為全面的介紹 ，其中挑選目前在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中最為常用的兩種比例阻尼模型：Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型的定義及在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的具體應(yīng)用做了詳細(xì)介紹，對(duì)于非比例阻尼的建模問(wèn)題將會(huì)是作者今后研究的課題。

[1] 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的阻尼模型研究[J].湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，18(2)：13-16.

[2] 樓夢(mèng)麟，潘旦光.滯后阻尼在土層時(shí)域分析中的應(yīng)用[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào),2004，32(4)：281-285.

[3] Clough R W,Penzien J.Dynamics of structures[M].New York:Mc Graw-Hill,1993.

[4] Chopra A K.Matrix Dynamics of structures:Theory and applications to earthquake engineering,seconded.[M].New Jersey:Prentice-Hall,2001.

[5] E.L.Wilson,J.Penzien.Evaluation of orthogonal damping matrices[J].International Journal For Numerical Methods In Engineering,1972(4):5-10.

[6] J.Enrique Luco.A note on classical damping matrices[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2008(37):615-626.

[7] 董 軍,鄧洪洲.結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析阻尼模型研究[J].世界地震工程,2000,16(4):63-69.

[8] 淡丹輝，孫利民.結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元分析的阻尼建模及評(píng)論[J].振動(dòng)與沖擊，2007，26(4)：121-123.

Some discussion on damping model and its application

LIANG Peng-hua

(ShanxiArchitecturalDesign&ResearchInstitute,Taiyuan030013,China)

It points out that damping is one of the most important parameters in structural dynamic response analysis, it is the index to describe the energy dissipation in structural vibration. The damping classification and several common damping model are introduced in this paper. And simply elaborated its application in structural dynamic analysis, provided theoretical basis of the research on structural dynamic characteristics.

damping theory, Rayleigh damping model, Caughey damping model, mode superposition method

1009-6825(2014)15-0039-02

2013-12-19

梁鵬花(1978- )，女，工程師

TU311.3

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