姜 培 華

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 安徽 蕪湖 241000)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題之一是統(tǒng)計(jì)推斷，而統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要內(nèi)容.在正態(tài)總體的情形下有多種經(jīng)典的參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)方法，文獻(xiàn)[1-2]已有敘述.但在實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到總體服從非正態(tài)情形下的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，如伽瑪分布(包括指數(shù)分布)、F分布、瑞利分布和威布爾分布等，對(duì)于前三種分布的研究可見(jiàn)文獻(xiàn)[3-6]；文獻(xiàn)[7]中研究了威布爾分布參數(shù)的最高后驗(yàn)概率密度區(qū)間估計(jì)；對(duì)非正態(tài)總體參數(shù)的估計(jì)尤其是最短區(qū)間估計(jì)的研究也較多，如文獻(xiàn)[2-5]和[7-9].假設(shè)檢驗(yàn)中存在兩類(lèi)錯(cuò)誤，即棄真和受偽的錯(cuò)誤，傳統(tǒng)檢驗(yàn)方法拒絕域臨界點(diǎn)的選取都是以尾部概率相等為基準(zhǔn)，這種方法得到的拒絕域使得犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率累積值并非最小.這種意義下對(duì)于概率密度非對(duì)稱(chēng)的雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題，傳統(tǒng)方法得到的拒絕域也不是最佳的.因此在一般情形下研究總體參數(shù)的最佳雙邊檢驗(yàn)尤為重要.此處首先給出威布爾分布尺度參數(shù)的一般檢驗(yàn)方法，在此基礎(chǔ)上研究其最佳雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題.

1 參數(shù)的雙邊檢驗(yàn)

定義1 設(shè)總體X服從參數(shù)為α，β的伽瑪分布Γ(α，β)， 若其密度函數(shù)為

引理1 設(shè)總體X服從威布爾分布W(η，m)，X1，X2，…，Xn為來(lái)自該總體的樣本， 則有

(2) 當(dāng)2z為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有Ix(2z)=Ix([2z])+[Ix([2z]+1)-Ix([2z])](2z-[2z])，其中[2z]為2z的整數(shù)部分.

定理1 設(shè)總體X服從威布爾分布W(η，m)(形狀參數(shù)m已知)，X1，X2，…，Xn為來(lái)自該總體的樣本， 在顯著水平α下檢驗(yàn)假設(shè)H0：η=η0；H1：η≠η0的雙邊檢驗(yàn)的等尾拒絕域?yàn)?/p>

2 最佳雙邊檢驗(yàn)

由于卡方分布密度函數(shù)的非對(duì)稱(chēng)性，因此用傳統(tǒng)方法對(duì)威布爾分布的尺度參數(shù)η進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)所得的拒絕域不是最優(yōu)的.現(xiàn)在的目的是尋找最優(yōu)的拒絕域，考慮在控制第一類(lèi)錯(cuò)誤概率的前提下盡量使得第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率累積值越小，有下述定理.

定理2 設(shè)總體X服從威布爾分布W(η，m)(形狀參數(shù)m已知)，X1，X2，…，Xn為來(lái)自該總體的樣本，在顯著水平α下檢驗(yàn)假設(shè)H0：η=η0；H1：η≠η0存在惟一的最佳雙邊檢驗(yàn)拒絕域

F(b，n，1)-F(a，n，1)=1-α

(1)

的實(shí)數(shù)a和b都決定H0的一個(gè)接受域

當(dāng)η的真值為某個(gè)不等于η0的值時(shí)，檢驗(yàn)犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為

為了得到選取臨界值的標(biāo)準(zhǔn)，考慮犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率累積

為使檢驗(yàn)最優(yōu)，自然希望對(duì)臨界點(diǎn)a和b的取法能夠使得I(a，b)達(dá)到最小，因此該問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為下述條件極值問(wèn)題(2)(3)

(2)

st.F(b，n，1)-F(a，n，1)=1-α

(3)

由式(3)知對(duì)于給定的a都唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)b=b(a)滿(mǎn)足約束條件，對(duì)式(3)兩端關(guān)于a求導(dǎo)可得

f(b(a)，n，1)b′(a)-f(a，n，1)=0

從而解出

(4)

(5)

將式(4)代入式(5)整理可得

(6)

令bK=s和aK=t則式(6)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為

(7)

(8)

(9)

所決定.

綜上，最佳拒絕域的存在性和唯一性得證，故定理2成立.

3 實(shí) 例

已知某種電子元件的使用壽命X服從參數(shù)為η，m=2的威布爾分布W(η，2)，現(xiàn)在從中抽取10個(gè)元件進(jìn)行壽命測(cè)試，獲得數(shù)據(jù)如下(單位：小時(shí)):

1 150 1 150 1 060 1 050 1 100 1 080 1 250 1 340 1 300 1 200

求在顯著水平α=0.05下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：η=η0；H1：η≠η0的傳統(tǒng)雙邊檢驗(yàn)拒絕域和最佳雙邊檢驗(yàn)拒絕域.

解1) 已知元件壽命X服從威布爾分布W(η，2)，由定理1的結(jié)論知尺度參數(shù)η的雙邊檢驗(yàn)的等尾拒絕域?yàn)?/p>

2) 由于密度函數(shù)f(y，n，1)的不對(duì)稱(chēng)性，按傳統(tǒng)方法求得的拒絕域不是最佳的，其最佳拒絕域的形式應(yīng)為W*={(-∞，a)∪(b，+∞)}.利用定理2和引理2可知(a，b)應(yīng)滿(mǎn)足

利用Matlab軟件進(jìn)行求解，得唯一的駐點(diǎn)(a*，b*)=(4.292 1，16.303 6)，從而可得最佳拒絕域W*={(-∞，4.292 1)∪(16.303 6，+∞)}.

比較發(fā)現(xiàn)最佳接受域較傳統(tǒng)接受域縮短0.273 5，且最佳接受域較傳統(tǒng)接受域整體向左偏移，這是因?yàn)榭紤]犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的累積概率最小，即授偽的累積概率最小，因此最佳接受域應(yīng)該較傳統(tǒng)的接受域縮短；另外由于Γ(10，1)是個(gè)非對(duì)稱(chēng)的右偏密度函數(shù)，因此最佳接受域應(yīng)該較傳統(tǒng)接受域左偏.另外利用Minitab軟件可求得最佳拒絕域兩側(cè)的尾部概率分別為

P(Y≤a*=4.292 1)=0.012 757 9≈0.255 158α

P(Y≥b*=16.303 6)=0.037 243≈0.744 86α

由此看出,由于伽瑪分布密度函數(shù)的非對(duì)稱(chēng)性，所以最佳拒絕域尾部概率并非相等，而傳統(tǒng)拒絕域都是以尾部概率相等為基準(zhǔn)；因此最佳拒絕域較傳統(tǒng)拒絕域有較大改善，值得采用.

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