賀清明，曹良志，吳宏春，鄭友琦

(西安交通大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

連續(xù)能量的蒙特卡羅方法一般采用3種不同的模型[1]處理中子與靶核的彈性碰撞：在高能區(qū)，靶核的熱運(yùn)動(dòng)被忽略，采用靶核靜止模型；在超熱區(qū)，考慮靶核的熱效應(yīng)，采用自由氣體模型；在熱能區(qū)，如果數(shù)據(jù)庫中存在相應(yīng)的信息，則采用散射概率表方法處理熱效應(yīng)和化學(xué)鍵效應(yīng)，否則采用自由氣體模型。傳統(tǒng)的自由氣體模型做出了兩點(diǎn)重要假設(shè)：1) 靶核是自由的，且靶核速度分布符合麥克斯韋分布；2) 絕對(duì)零度下核素的微觀彈性散射截面是常數(shù)[2]。關(guān)于第2條假設(shè)，對(duì)于如H之類的輕核，由于其微觀彈性散射截面不存在共振效應(yīng)，因此假設(shè)是適用的；而對(duì)于如238U之類的重核，由于共振效應(yīng)的存在，這條假設(shè)不再適用。有文獻(xiàn)指出，忽略重核的共振彈性散射會(huì)帶來較大的誤差：對(duì)于不同的堆型，傳統(tǒng)模型會(huì)高估無限介質(zhì)增殖因數(shù)(k∞)50～600 pcm[3-4]，高估燃料溫度系數(shù)8%～15%[5-6]。由于燃料溫度系數(shù)對(duì)于瞬態(tài)分析具有十分重要的意義，因此改進(jìn)蒙特卡羅方法中自由氣體模型的抽樣方法已成為研究的熱點(diǎn)。

本文采用多普勒展寬舍棄修正方法，通過修改蒙特卡羅程序MCNP[1]的自由氣體模型引入精確的彈性散射核，以同時(shí)考慮靶核的熱運(yùn)動(dòng)和共振彈性散射。利用修改的蒙特卡羅程序，分析共振彈性散射的影響，并與國際上同類研究的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 多普勒展寬舍棄修正

微觀彈性散射反應(yīng)率為：

(1)

假設(shè)靶核的速度是各項(xiàng)同性分布的，即：

(2)

(3)

(4)

其中：μ為幅角的余弦；φ為極角；Mn為中子質(zhì)量；A為靶核的質(zhì)量數(shù)；k為玻爾茲曼常數(shù)。

對(duì)式(1)兩端關(guān)于φ積分并整理可得：

(5)

(6)

其中，P(V，μ|vn)表示與速率為vn的中子發(fā)生彈性碰撞的靶核的速度的條件概率分布。

經(jīng)整理可得：

(7)

(8)

其中：

(9)

(10)

P2=1-P1

(11)

f1(V)=2β4V3e-β2V2

(12)

(13)

根據(jù)式(8)，靶核速度的抽樣步驟如下。

1) 以概率P1從P1中抽取V，否則從f2(V)中抽取V。

2) 對(duì)μ在[-1，1]上均勻抽樣。

3) 以概率vrel/(vn+V)接受關(guān)于V和μ的抽樣，并計(jì)算出射中子能量和角度；否則舍棄抽樣，并重新對(duì)V和μ抽樣。

可觀察到常數(shù)項(xiàng)C中包含了非常數(shù)項(xiàng)σs(vrel，0)，故式(8)和式(7)不是等價(jià)的。對(duì)此Becker等[3,7]提出了多普勒展寬舍棄修正方法，其抽樣函數(shù)為：

(14)

(15)

(16)

2 數(shù)值結(jié)果及分析

根據(jù)上述方法，基于MCNP5，通過修改colidn和tgtvel子程序引入共振彈性散射。通過計(jì)算并分析一系列算例，從各方面對(duì)共振彈性散射效應(yīng)進(jìn)行了分析。若無特別說明，以下算例中自由氣體模型的能量上限均設(shè)為210 eV，對(duì)所有的重核均采用多普勒展寬舍棄修正方法。數(shù)據(jù)庫采用基于ENDF/B-Ⅶ.0[8]的ACE格式的連續(xù)能量數(shù)據(jù)庫。

首先采用MCNP模擬中子與靶核的碰撞過程，給出中子出射能量分布，定性地分析了共振彈性散射對(duì)共振吸收和溫度系數(shù)的影響；然后計(jì)算了Mosteller基準(zhǔn)題，定量評(píng)估了共振彈性散射對(duì)無限介質(zhì)增殖因數(shù)和溫度系數(shù)的影響，并與國際同行的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，以證明修正的正確性；最后給出了多普勒展寬舍棄抽樣方法對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響。

2.1 中子出射能量分布

對(duì)于中子入射能量為6.52 eV(小于共振峰的能量)、靶核為238U的情況，考慮共振彈性散射效應(yīng)后出射中子的上散射效應(yīng)會(huì)得到增強(qiáng)(圖1)，導(dǎo)致更多的中子被共振吸收；并考慮共振彈性散射時(shí)，上散射效應(yīng)會(huì)隨溫度的升高而更為顯著(圖2)，從而對(duì)溫度系數(shù)引入負(fù)的影響。而對(duì)于中子入射能量為6.9 eV(大于共振峰的能量)、靶核為238U的情況，根據(jù)圖3、4可觀察到下散射效應(yīng)的增強(qiáng)會(huì)對(duì)共振吸收產(chǎn)生相同的效應(yīng)。

圖1 中子入射能量為6.52 eV、介質(zhì)溫度為1 100 K時(shí)不同模型的散射核

圖2 中子入射能量為6.52 eV時(shí)不同溫度下的散射核

2.2 溫度效應(yīng)

通過對(duì)Mosteller基準(zhǔn)題計(jì)算，分析超熱中子共振彈性散射的溫度效應(yīng)。Mosteller基準(zhǔn)題是輕水堆多普勒效應(yīng)基準(zhǔn)題，包括一套UO2基準(zhǔn)題和一套MOX基準(zhǔn)題，問題描述詳見文獻(xiàn)[9]。為計(jì)算燃料溫度系數(shù)FTC，需計(jì)算兩組無限介質(zhì)增殖因數(shù)，即熱態(tài)零功率(HZP)下的無限介質(zhì)增殖因數(shù)k∞,HZP(燃料溫度為600 K，慢化劑和包殼的溫度為600 K)和熱態(tài)滿功率(HFP)下的無限介質(zhì)增殖因數(shù)k∞,HFP(燃料溫度為900 K，慢化劑和包殼溫度為600 K)。燃料溫度系數(shù)通過下式計(jì)算：

(17)

式中，ΔT為熱態(tài)滿功率和熱態(tài)零功率的溫度差。

圖3 中子入射能量為6.9 eV、介質(zhì)溫度為1 100 K時(shí)不同模型的散射核

表1列出采用不同模型計(jì)算的不同富集度的UO2燃料棒在熱態(tài)零功率和熱態(tài)滿功率下的無限介質(zhì)增殖因數(shù)，并給出了共振彈性散射給無限介質(zhì)增殖因數(shù)帶來的影響：

(18)

其中：k∞,re為考慮共振彈性散射的無限介質(zhì)增殖因數(shù)；k∞為不考慮共振彈性散射的無限介質(zhì)增殖因數(shù)。從表1可知，考慮共振彈性散射會(huì)分別給熱態(tài)零功率和熱態(tài)滿功率下的無限介質(zhì)增殖因數(shù)帶來負(fù)的40～100 pcm和140～200 pcm的影響。表2列出了MOX燃料的無限介質(zhì)增殖因數(shù)，可得到類似的結(jié)論。

圖4 中子入射能量為6.9 eV時(shí)不同溫度下的散射核

圖5為不同富集度的UO2和MOX的燃料溫度系數(shù)。由圖5可知，對(duì)于UO2燃料，考慮共振彈性散射的結(jié)果要比未考慮的偏負(fù)約10%；而對(duì)于MOX燃料這種溫度效應(yīng)更弱，共振彈性散射對(duì)燃料溫度系數(shù)的影響約為-8%。

2.3 程序校驗(yàn)

文獻(xiàn)[2，10]采用不同的修正方法或不同的程序?qū)onteller基準(zhǔn)題進(jìn)行了分析，給出了熱態(tài)滿功率和熱態(tài)零功率下共振彈性散射對(duì)UO2燃料棒無限介質(zhì)增殖因數(shù)的影響(式(17))。表3、4列出本文結(jié)果和其他程序結(jié)果的對(duì)比。表中，DBRC指采用多普勒展寬舍棄修正方法，WCM指采用權(quán)重修正方法。對(duì)比可知，本文結(jié)果和文獻(xiàn)結(jié)果基本保持一致。

表1 UO2燃料棒的無限介質(zhì)增殖因數(shù)

表2 MOX燃料棒的無限介質(zhì)增殖因數(shù)

圖5 UO2(a)和MOX(b)的燃料溫度系數(shù)

表3 熱態(tài)零功率下不同程序的結(jié)果對(duì)比

表4 熱態(tài)滿功率下不同程序的結(jié)果對(duì)比

2.4 計(jì)算時(shí)間

表5列出采用不同模型的計(jì)算時(shí)間。由于新的抽樣方法中第2步舍棄檢驗(yàn)會(huì)舍棄一部分抽樣，因此會(huì)導(dǎo)致抽樣效率的降低和計(jì)算時(shí)間的增加。從表5可看出，通過多普勒展寬舍棄修正，考慮共振彈性散射會(huì)使計(jì)算時(shí)間增加4%～10%。

表5 計(jì)算時(shí)間比較

3 結(jié)論

本文采用多普勒展寬舍棄修正方法，在MCNP的自由氣體模型加入了對(duì)共振彈性散射的考慮。通過對(duì)一系列算例的計(jì)算分析，得出以下結(jié)論：

1) 共振彈性散射會(huì)導(dǎo)致入射能量靠近共振峰的中子的出射能量分布的偏倚，如果入射能量小于共振峰的能量，上散射效應(yīng)會(huì)得到增強(qiáng)；如果入射能量大于共振峰的能量，下散射效應(yīng)會(huì)得到增強(qiáng)。這兩種情況都會(huì)導(dǎo)致更多的中子被吸收，且這種偏倚的效應(yīng)會(huì)隨溫度的升高而增強(qiáng)，從而對(duì)溫度系數(shù)的計(jì)算產(chǎn)生影響。

2) 對(duì)于輕水堆，共振彈性散射給熱態(tài)零功率下單棒的無限介質(zhì)增殖因數(shù)帶來負(fù)的40～100 pcm的影響，熱態(tài)滿功率下為負(fù)的140～200 pcm，并使燃料溫度系數(shù)偏負(fù)7%～15%，且共振彈性散射對(duì)MOX燃料的溫度系數(shù)的影響小于對(duì)UO2燃料溫度系數(shù)的影響。通過不同程序的對(duì)比驗(yàn)證了修正的正確性和結(jié)論的可靠性。

3) 由于新的抽樣方法中第2步舍棄檢驗(yàn)會(huì)舍棄一部分抽樣，導(dǎo)致抽樣效率的降低，使計(jì)算時(shí)間增加4%～10%。

本文工作得到了沈煒博士的支持，在此表示衷心的感謝。

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