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(湖州市第五中學(xué)教育集團(tuán) 浙江湖州 313000)

《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)指出：“在尺規(guī)作圖題中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡.”這就是說(shuō)要讓學(xué)生了解尺規(guī)作圖中作法的來(lái)龍去脈，其意義在于使學(xué)生更好地理解幾何語(yǔ)言，提升邏輯推理能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)空間觀念.正如史寧中在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》中指出：“作圖也要做到有根有據(jù)……這種要求有助于發(fā)展學(xué)生的理性精神，應(yīng)當(dāng)予以重視.”2013年和2014年的中考題中關(guān)于尺規(guī)作圖的命題呈現(xiàn)出不少的“新意”和“深意”.為釋其意，筆者舉例如下，并嘗試從教學(xué)的角度提出針對(duì)性建議，不當(dāng)之處請(qǐng)同仁斧正.

圖1

1 命題形式與賞析

1．1 不給作法，按要求作圖并利用所作圖形計(jì)算

例1實(shí)踐操作如圖1，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母(保留作圖痕跡，不寫作法)．

(1)作∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)O；

(2)以O(shè)為圓心、OC為半徑作圓．

綜合運(yùn)用在你所作的圖中，

(1)AB與⊙O的位置關(guān)系是______(直接寫出答案)；

(2)若AB=13，BC=12,求⊙O的半徑．

(2013年江蘇省鹽城市數(shù)學(xué)中考試題)

點(diǎn)評(píng)此題作圖并不難，難點(diǎn)在于如何利用所作圖形解答綜合運(yùn)用中的2個(gè)小題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理和面積法.

賞析1本題一改過(guò)去只要求學(xué)生根據(jù)要求動(dòng)手作圖的單一命題思路，而是先作圖再結(jié)合圖形進(jìn)行推理運(yùn)算.縱觀近2年來(lái)的中考尺規(guī)作圖題，此類先作圖后計(jì)算的題型為數(shù)不少，體現(xiàn)了“四基”中提出的“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.這里考查尺規(guī)作圖倒是其次，更重要的是體現(xiàn)了以形引數(shù)的命題思路，真可謂“醉翁之意不在酒”.

1.2 給出作法和圖形并保留痕跡，依據(jù)所得圖形證明

例2如圖2，小紅在作線段AB的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A,B為圓心、大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于點(diǎn)C,D，則直線CD即為所求．聯(lián)結(jié)AC,BC,AD,BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是

( )

A．矩形 B．菱形

C．正方形 D．等腰梯形

(2014年浙江省麗水市數(shù)學(xué)中考試題)

圖2 圖3

例3如圖3，已知△ABC，按如下步驟作圖：

②作直線PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E,D，聯(lián)結(jié)CE；

③過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交PQ于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF．

(1)求證：△AED≌△CFD；

(2)求證：四邊形AECF是菱形.

(2014年新疆維吾爾自治區(qū)數(shù)學(xué)中考試題)

點(diǎn)評(píng)同樣是垂直平分線的尺規(guī)作法，以上2個(gè)例子的命題形式卻迥然不同.不禁讓人聯(lián)想到一題多解、一圖多用，上述2個(gè)例子可謂“一法多題”.

賞析2以上2個(gè)例子將尺規(guī)作圖與幾何證明“雙劍合璧”，主要考查學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解作法.利用作圖結(jié)論進(jìn)行幾何演繹推理的能力，為近2年來(lái)中考尺規(guī)作圖題命題思路之主旋律，此種命題方式給人以“珠聯(lián)璧合，相得益彰”之感.

1.3 給出作法和圖形并保留痕跡，依據(jù)所得圖形推理計(jì)算

例4如圖4，以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心、以BC長(zhǎng)為半徑作?。辉僖皂旤c(diǎn)C為圓心、以AB長(zhǎng)為半徑作弧，2條弧交于點(diǎn)D；聯(lián)結(jié)AD,CD．若∠B=65°，則∠ADC=________.

(2013年吉林省長(zhǎng)春市數(shù)學(xué)中考試題)

圖4 圖5

( )

A．a(chǎn)=bB．2a+b=-1

C．2a-b=-1 D．2a+b=1

(2013年湖北省咸寧市數(shù)學(xué)中考試題)

圖6 圖7

例6小敏在作⊙O的內(nèi)接正五邊形時(shí)，先做了如下幾個(gè)步驟：

①作⊙O的2條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線交OA于點(diǎn)M，如圖6；

②以M為圓心，BM長(zhǎng)為半徑作圓弧，交CA于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BD，如圖7．

若⊙O的半徑為1，則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長(zhǎng)BD的等式是

( )

(2013年浙江省紹興市數(shù)學(xué)中考試題)

點(diǎn)評(píng)以上3個(gè)例子以尺規(guī)作圖為背景知識(shí)，或建立圖形推理運(yùn)算，或融合坐標(biāo)、方程等數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，具有一定的區(qū)分度.

賞析3由上3個(gè)例子可見(jiàn)中考尺規(guī)作圖命題逐漸向?qū)ψ鞣ǖ睦斫馀c綜合運(yùn)用的思路上轉(zhuǎn)變，已成為近2年來(lái)的一種命題趨勢(shì).上述3個(gè)例子一般都給出大段作法，直至讀到最后才理清整個(gè)題目的概貌(如例6)，可謂“千呼萬(wàn)喚始出來(lái)”.

1.4 給出作法和圖形并保留痕跡，依據(jù)作法判斷結(jié)論正誤

( )

A．射線OE是∠AOB的平分線

B．△COD是等腰三角形

C．點(diǎn)C,D關(guān)于OE所在直線對(duì)稱

D．點(diǎn)O,E關(guān)于CD所在直線對(duì)稱

(2013年云南省曲靖市數(shù)學(xué)中考試題)

圖8 圖9

( )

A．①②③ B．①②④

C．①③④ D．②③④

(2014年浙江省湖州市數(shù)學(xué)中考試題)

點(diǎn)評(píng)同樣是給出作法和保留痕跡，上述2個(gè)例子的命題思路并不拘泥于推理運(yùn)算和演繹證明，而是給出多種關(guān)于所作圖形的結(jié)論，考查學(xué)生明辨作法是非的能力.尤其是例8，并不是完整的中垂線尺規(guī)作圖，實(shí)質(zhì)上卻作出了BC的中垂線PD，這就需要學(xué)生有理解作法的數(shù)學(xué)本質(zhì)結(jié)構(gòu)的能力.

賞析4這類題型從一些基本作圖出發(fā)，但并不僅僅停留在基本作圖層面，而是圍繞這些基本作圖進(jìn)行改頭換面.比如例7添加一條線段CD，例8只呈現(xiàn)基本作圖的部分作法步驟.不得不說(shuō)，這里似乎呈現(xiàn)出一種“似曾相識(shí)燕歸來(lái)”的命題取向.

1.5 給出保留痕跡的圖形，推斷某些作法或依據(jù)

( )

圖10

A．以點(diǎn)B為圓心、OD為半徑的圓

B．以點(diǎn)B為圓心、DC為半徑的圓

C．以點(diǎn)E為圓心、OD為半徑的圓

D．以點(diǎn)E為圓心、DC為半徑的圓

(2013年江蘇省南通市數(shù)學(xué)中考試題)

點(diǎn)評(píng)該例直接考查學(xué)生對(duì)“作一個(gè)角等于已知角”的某一步作法的理解，應(yīng)該說(shuō)難度不大，但若未深入學(xué)習(xí)、理解，則易出錯(cuò).

賞析5由于《課標(biāo)》弱化了對(duì)作圖的理論證明且不要求寫出作法，此類題型在近幾年的尺規(guī)作圖題中不多見(jiàn)，大都來(lái)自于《課標(biāo)》規(guī)定的基本作圖.這類題型考查尺規(guī)作圖作法的依據(jù)，呈現(xiàn)出一種反璞歸真的命題取向，真可謂“問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái)”.

1.6 給出多種作法，按要求判斷作法正誤

例10已知：線段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．

以下是甲、乙2位同學(xué)的作業(yè)：

甲： (1)以點(diǎn)C為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫??；

(2)以點(diǎn)A為圓心、BC長(zhǎng)為半徑畫?。?/p>

(3)2條弧在BC上方交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求(如圖11)．

圖11 圖12

乙：(1)聯(lián)結(jié)AC，作線段AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)M；

(2)聯(lián)結(jié)BM并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使MD=MB，聯(lián)結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求，如圖12．

對(duì)于甲、乙的作業(yè)，下列說(shuō)法正確的是

( )

A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì)

C．甲對(duì)，乙不對(duì) D．甲不對(duì)，乙對(duì)

(2013年河北省數(shù)學(xué)中考試題)

圖13

例11如圖13，已知△ABC(AC

( )

A. B.

C. D.

(2014年河北省數(shù)學(xué)中考試題)

點(diǎn)評(píng)例10詳細(xì)地給出了2種不同的作法，把作法的正確性問(wèn)題拋給學(xué)生，就是要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要“了解作圖的道理”，理解作法中的語(yǔ)言并運(yùn)用.例11則直接給出了4個(gè)保留痕跡圖，要求學(xué)生按要求依據(jù)圖中所保留的痕跡來(lái)識(shí)別選擇一種正確的方法，可謂匠心獨(dú)運(yùn).

賞析6這2道例題同出河北，一改過(guò)去只要求學(xué)生能夠掌握基本作圖并深諳其道地運(yùn)用解作圖題的命題思路.現(xiàn)在的命題減少了要求學(xué)生作圖的部分，而直接給出多種保留痕跡的圖，要求學(xué)生根據(jù)作法來(lái)推斷、證明，這種尺規(guī)作圖的命題趨勢(shì)值得注意.如果沒(méi)有對(duì)尺規(guī)作圖作法的深刻認(rèn)識(shí)和其他幾何知識(shí)的獨(dú)到理解，這樣的題目對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也并不輕松.這類題型讓作法本身成為考查手段，命題方式給人無(wú)限遐想空間，似有意境幽遠(yuǎn)之感，真可謂“曲徑通幽處，禪房花木深”.

2 對(duì)教學(xué)的啟示

課改至今關(guān)于尺規(guī)作圖的教學(xué)要求也幾經(jīng)變遷，相對(duì)2005年的課標(biāo)，2011年版的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)尺規(guī)作圖提出了更高的要求，具體如下：(1)進(jìn)一步完善了基本作圖的要求，增加了過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；(2)增加了直角三角形的作圖；(3)提高了與圓有關(guān)的作圖要求；(4)明確規(guī)定尺規(guī)作圖的要求——弱化了作圖的理論證明，只需保留作圖痕跡，不要求寫出作法.

2.1 對(duì)作法的教學(xué)建議

誠(chéng)然，我們平時(shí)教學(xué)中不強(qiáng)調(diào)寫作法而只求保留痕跡，看似降低了要求，學(xué)生在作業(yè)中的表現(xiàn)也不錯(cuò)，但在遇到上述題型時(shí)卻往往差強(qiáng)人意，筆者以為這與沒(méi)有充分理解作法的本質(zhì)不無(wú)關(guān)聯(lián).因此，在教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生說(shuō)作法、想作法、議作法.對(duì)于基本作法應(yīng)進(jìn)行一定的板演、示范，甚至應(yīng)當(dāng)考慮在教基本作圖時(shí)要求學(xué)生寫出作法.這就好比書法入門者必先從基本的一筆一畫和熟讀顏、柳、趙、王等各種名家字帖學(xué)起一樣，待到可以將字形的體態(tài)、結(jié)構(gòu)和筆法熟諳于心時(shí)方可做到運(yùn)用自如乃至力透紙背、行云流水.

2．2 對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)結(jié)構(gòu)教學(xué)的啟示

教師在平時(shí)的教學(xué)中注重作圖技能教學(xué)的同時(shí)，更應(yīng)注重教學(xué)生理解作法的數(shù)學(xué)本質(zhì).也就是說(shuō)，教師不僅要教作圖的技能，而且要教對(duì)作法的理解、闡釋與運(yùn)用，讓學(xué)生懂得一種作法的數(shù)學(xué)本質(zhì)結(jié)構(gòu)及其聯(lián)系，以點(diǎn)帶面形成體系，從而貫通整個(gè)初中平面幾何.如作一條線段的中點(diǎn)，一方面，這個(gè)基本作圖同樣可用于作一條線段的中垂線、一個(gè)三角形的中線、過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線、已知2條線段作以這2條線段為對(duì)角線的菱形等；另一方面，作線段中點(diǎn)本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是依據(jù)中垂線定理逆定理作圖的，因此，又能產(chǎn)生一些非常規(guī)的作法，如圖14和圖15.尺規(guī)作圖中像這樣能夠揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)結(jié)構(gòu)的例子還有許多.波利亞曾說(shuō)：“一個(gè)專心、認(rèn)真?zhèn)湔n的老師往往能夠拿出一個(gè)有意義但又并不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”這樣看來(lái)尺規(guī)作圖教學(xué)就猶如那道題，而整個(gè)平面幾何領(lǐng)域就是那個(gè)“完整的理論領(lǐng)域”.

圖14 圖15

3 寫在最后

近讀有關(guān)數(shù)學(xué)慢化教育的文章，如《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2014年第1～2期刊登了2篇題為《人文學(xué)習(xí)時(shí)代下的數(shù)學(xué)慢教育——“圖形的平移”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考》、《拉長(zhǎng)過(guò)程慢中求真——“求根公式”的案例設(shè)計(jì)》，并向全國(guó)征稿討論.筆者以為在尺規(guī)作圖的教學(xué)中急需這樣的慢教育，現(xiàn)行課標(biāo)雖不要求寫作法，但增加了“了解作法的道理”，這對(duì)教師的教學(xué)提出了更高的要求，那些只傳授怎么做，而不講明其中原由和不講解其他作法的尺規(guī)作圖教學(xué)時(shí)代將一去不返，取而代之的是注重學(xué)習(xí)過(guò)程的經(jīng)歷，注重作法的理解與運(yùn)用，注重學(xué)生操作、體驗(yàn)和感悟，注重“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的教學(xué)大行之道.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 劉芳．對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的三個(gè)思考[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2009(10)：11-13．

[2] 高波．明理得法 水到渠成——以“作一個(gè)角的平分線”為例淺析初中尺規(guī)作圖教學(xué)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2013(1),18-20．