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(稽山中學(xué) 浙江紹興 312000)

命題能力是高中數(shù)學(xué)教師必須具備的專業(yè)素質(zhì)之一，它是課堂教育、教學(xué)輔導(dǎo)、解題研究等能力所不能替代的重要的教師基本功之一，也是教學(xué)水平、教師素養(yǎng)、專業(yè)功底和教學(xué)研究能力的綜合體現(xiàn).從現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際情況分析，許多高中數(shù)學(xué)教師的命題能力是不夠的，其中的重要原因是忽視了命題能力的重要意義，很少把命題作為教學(xué)研究、業(yè)務(wù)培訓(xùn)和專業(yè)發(fā)展的重要內(nèi)容.在現(xiàn)有的教育教學(xué)研究書刊上也很少涉及有關(guān)命題的問(wèn)題.本文通過(guò)命題實(shí)踐的一些想法來(lái)說(shuō)明命題過(guò)程實(shí)質(zhì)上是研究數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問(wèn)題和解題方法之根本的過(guò)程.期望能引起高中數(shù)學(xué)教師對(duì)命題的重視.

命題主要包括命題設(shè)計(jì)和編制試卷，同時(shí)要考慮評(píng)價(jià)過(guò)程和效果分析.

1 命題的題型

1.1 從命題的作用和目的分

從命題的作用和目的分，一般有以下幾種題型：

1.1.1 知識(shí)題

考查知識(shí)點(diǎn)的掌握程度.一般來(lái)說(shuō)，這類題目直接來(lái)源于數(shù)學(xué)知識(shí)，比較直觀和簡(jiǎn)單.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

1.1.2 知識(shí)應(yīng)用題

考查理解、掌握知識(shí)的程度.這類題目要求應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)比較明確，方法直接，技巧能力和運(yùn)算能力要求不高.

(1)求角C的大??；

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

1.1.3 能力題

在知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，考查數(shù)學(xué)基本思想、基本思維、基本方法、基本能力等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的能力，重在數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)，屬于較高要求的題型.

(2014年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

1.1.4 計(jì)算題

在數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，考查數(shù)學(xué)的重要能力——運(yùn)算能力，包括數(shù)字運(yùn)算、字母運(yùn)算和數(shù)學(xué)式運(yùn)算等.這類題目對(duì)數(shù)學(xué)其他能力要求一般，重在體現(xiàn)運(yùn)算能力(包括方法、技巧和運(yùn)算的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性).在每年的數(shù)學(xué)高考卷中一般都有出現(xiàn).

圖1

(1)已知直線l的斜率為k，用a,b表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1距離的最大值為a-b.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

1.1.5 討論題

討論題是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力較高要求的一類題.在數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上考查數(shù)學(xué)思維、運(yùn)算、演繹、邏輯推理能力,區(qū)分不同條件下分類討論和解題書寫表達(dá)的能力.

例5已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(其中a∈R).

(1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M(a)，m(a),求M(a)-m(a)；

(2)設(shè)b∈R,[f(x)+b]2≤4對(duì)x∈[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

1.1.6 探索題

在數(shù)學(xué)知識(shí)、能力的基礎(chǔ)上考查一定的數(shù)學(xué)創(chuàng)新、探索、研究能力，屬于較高要求的題型.此類題目在以往高考題中常有出現(xiàn),由于在限定時(shí)間內(nèi)探索研究的時(shí)間難以把握，近幾年的高考中出現(xiàn)較少.

1.1.7 技巧題

考查數(shù)學(xué)解題的一些典型、特殊的方法和解題技巧，體現(xiàn)創(chuàng)造能力、數(shù)學(xué)潛力和數(shù)學(xué)才智.但新課標(biāo)考綱中明確指出數(shù)學(xué)高考要求通性通法，因此專門考查技巧的題型在高考中已較少出現(xiàn)，一般都在能用通法解決的一些客觀題上體現(xiàn)一下特殊的方法技巧.當(dāng)然，在平時(shí)的教學(xué)和練習(xí)時(shí)，設(shè)計(jì)一些技巧題，還是很有必要的，這對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、體現(xiàn)數(shù)學(xué)靈活性、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)智慧是很有意義的，而且典型、特殊的方法技能對(duì)于快速、正確地解題，尤其是解決客觀題，或者是檢驗(yàn)通性通法的結(jié)論是很有益處的.

例7設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足

求x+y的值.

1.1.8 應(yīng)用題

根據(jù)新課標(biāo)要求，數(shù)學(xué)應(yīng)用題是作為一種應(yīng)用能力來(lái)要求的，考查能否將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析并解決.在實(shí)際命題中，由于對(duì)應(yīng)用題的背景信息的合理性、公平性很難把握，近幾年的數(shù)學(xué)高考試題中應(yīng)用題出現(xiàn)的也比較少.

1.2 從命題的形式分

從命題的形式分，一般有3種題型:

1.2.1 選擇題

國(guó)內(nèi)高中數(shù)學(xué)的選擇題一般采用的是單選題，解答要求方法簡(jiǎn)捷、靈活，能快速、正確解答.與解答題的解法要求不同，選擇題不需要寫出詳細(xì)的演繹、推理、運(yùn)算過(guò)程，因此命題設(shè)計(jì)和解答方法更顯靈活多樣.

選擇題的4個(gè)選項(xiàng)設(shè)計(jì)，除了正確答案，其他3個(gè)選項(xiàng)一般是來(lái)源于由于審題不清、忽視隱含條件、計(jì)算錯(cuò)誤、增根或漏解等產(chǎn)生的錯(cuò)誤，也稱為設(shè)置“陷阱”，也是選擇題的特點(diǎn)之一.在平時(shí)練習(xí)時(shí)，這種“陷阱”可以提醒學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真、仔細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，但在考試時(shí)容易使粗心的考生造成非知識(shí)能力因素的失分，尤其當(dāng)“陷阱”設(shè)計(jì)在第1個(gè)選項(xiàng)時(shí)，考生更容易上當(dāng).近幾年的高考一般避免故意設(shè)計(jì)“陷阱”的做法.如果其他3個(gè)選項(xiàng)回避了易錯(cuò)的情況，考生只要會(huì)做，即使失誤，也可以自覺(jué)找出錯(cuò)誤而正確解答.這對(duì)考查考生的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力來(lái)說(shuō)是有利而公平公正的.當(dāng)然這樣也就失去了這一設(shè)計(jì)選擇題的特有方法.

對(duì)于演繹、推理、計(jì)算繁雜，書寫困難或花費(fèi)時(shí)間，解答過(guò)程評(píng)改判分難以把握的問(wèn)題，也可以用選擇題的形式呈現(xiàn)，有利于評(píng)改時(shí)的客觀、公正，這也是選擇題作為客觀題的意義之一.

判斷類型的問(wèn)題，如圖像形狀、圖形關(guān)系、大小關(guān)系、類比關(guān)系、命題判別等也需要用選擇題的形式呈現(xiàn).如2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第2,4,7,8,9,10題，比較恰當(dāng)?shù)某尸F(xiàn)方式就是選擇題.

需要用一些特殊技巧方法解決而又難以表述時(shí)，也可以采用選擇題.

選擇題的特點(diǎn)是解法比解答題更多樣靈活.除了通性通法，有些選擇題能較好地體現(xiàn)考生數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)智慧、數(shù)學(xué)自覺(jué)和數(shù)學(xué)潛能，或者說(shuō)是數(shù)學(xué)“天賦”.

選擇題的解法經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合、合理猜想、類比判斷、極端情況、特殊賦值、篩選排除等，正確的解法往往符合選擇題的特點(diǎn)和命題意圖，從而事半功倍.

經(jīng)?？梢钥吹?，對(duì)于命題教師設(shè)計(jì)的有相當(dāng)難度的選擇題，有些聰明的考生用合理的“投機(jī)取巧”的方法能很快得到正確答案.他們的“方法”回避了命題設(shè)計(jì)的意圖和考點(diǎn)，使難點(diǎn)并不存在，這或許是選擇題的一種特色.

1.2.2 填空題

填空題與選擇題一樣屬客觀題，除了沒(méi)有選擇題的4個(gè)選項(xiàng)設(shè)計(jì)外，基本與選擇題一樣.但它避免了考生猜測(cè)答案的情況，比選擇題更合理、公平和客觀.因此現(xiàn)在有的省市高考已不再采用選擇題，而全用填空題作為客觀題，如2014年江蘇省數(shù)學(xué)高考就采用了14個(gè)填空題.

但是填空題同樣有一個(gè)考生規(guī)避命題意圖難點(diǎn)的問(wèn)題.比如，像變量情況下的定值問(wèn)題，一定可以由特殊點(diǎn)得到該定值.

此題意圖采用平面幾何、三角形內(nèi)切圓性質(zhì)和雙曲線焦點(diǎn)、定義相結(jié)合的解題方法，是一個(gè)設(shè)計(jì)很好的命題.但若考慮到點(diǎn)P無(wú)限接近于右頂點(diǎn)時(shí)，△F1PF2的內(nèi)切圓心必然是右頂點(diǎn)，則內(nèi)切圓心的橫坐標(biāo)必須是a，這樣就規(guī)避了命題的考點(diǎn).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

事實(shí)上，一般的線性規(guī)劃問(wèn)題，都可以用3條邊線的交點(diǎn)代入解決.

由此可見(jiàn)，現(xiàn)有的選擇題、填空題作為客觀題，其客觀性主要反映在評(píng)判的過(guò)程中.是否能客觀體現(xiàn)出命題設(shè)計(jì)的考點(diǎn)和意圖還需要在命題時(shí)深入思考.

1.2.3 解答題

相對(duì)于選擇題、填空題來(lái)說(shuō)，它要求呈現(xiàn)完整的解題方法、步驟，在書寫過(guò)程中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想、知識(shí)掌握、方法運(yùn)用、演繹推理、運(yùn)算求解的能力以及認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度.因而，除了答案，其解題過(guò)程也是重要的考查要求和評(píng)價(jià)依據(jù).在評(píng)改時(shí)，容易帶有評(píng)改人的主觀因素，也考驗(yàn)了評(píng)判的合理、準(zhǔn)確、公平和公正性.這些都是解答題的特點(diǎn).

2 命題的來(lái)源

命題要以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法為依據(jù)，突出主干知識(shí)、重要內(nèi)容、通性通法和數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)造性思維.

編制題目一般可以從以下幾個(gè)方面設(shè)計(jì)相應(yīng)的題型.

(1)從數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，以概念、定義、公理、定理、公式、常識(shí)結(jié)論及應(yīng)用為目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì).

(2)從易忽視、易模糊、易產(chǎn)生錯(cuò)誤的問(wèn)題設(shè)計(jì).

(3)以數(shù)學(xué)思想、常用解題方法為依據(jù)設(shè)計(jì)命題，考查數(shù)學(xué)思想方法的掌握和解決問(wèn)題的能力.

(4)以數(shù)學(xué)基本能力和重要技能為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)命題,考查數(shù)學(xué)能力和重要技能的掌握及在解題中的應(yīng)用，體現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和智慧.

(5)以教材中的例、習(xí)題和思考、探究性問(wèn)題為核心延伸、拓展、改變?cè)O(shè)計(jì)命題.

(6)以各類知識(shí)間的類比設(shè)計(jì)命題,如數(shù)形之間，函數(shù)與數(shù)列之間，方程根、圖像交點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)之間，平面幾何、解析幾何、立體幾何之間的類比等.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.min{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

D.min{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

此題就是由平行四邊形的對(duì)角線平方之和等于4條邊平方之和這一結(jié)論類比成向量問(wèn)題而來(lái)的.

(7)以變換設(shè)計(jì)命題.如代數(shù)式變換、圖形變換、函數(shù)變換、方程變換、常量變量變換等.

圖2

此題是依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊而來(lái)，由立體幾何中的三棱錐(如圖2)構(gòu)造出底邊三角形的3條邊.

如果把三棱錐的3條側(cè)棱長(zhǎng)和3個(gè)頂角變動(dòng)一下，得到的3條邊長(zhǎng)就是另外形式了.但是大小關(guān)系仍然成立，可以得到新的命題.

再如，命題“已知二次函數(shù)f(x)=4x2-2(a-2)x-2a2-a+1，當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)至少有一個(gè)值c，使得f(c)>0，求a的取值范圍.”就是由“對(duì)任意x∈[-1,1]恒有f(c)≤0，求a的值”正反轉(zhuǎn)化而來(lái).

有的則是從解題思維的正反轉(zhuǎn)換來(lái)設(shè)計(jì)命題.

例12設(shè)k∈R，關(guān)于x的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0有實(shí)根，求其實(shí)根的取值范圍.

(8)以小題綜合成大題，或以大題分解成小題設(shè)計(jì)命題.

(9)以相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系和組合設(shè)計(jì)命題.

3 命題設(shè)計(jì)的注意點(diǎn)

設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)命題相對(duì)于其他學(xué)科的命題，有其自身學(xué)科的特點(diǎn)，在命題時(shí)應(yīng)重視并體現(xiàn).

要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)——精簡(jiǎn)、明確、嚴(yán)謹(jǐn);要把握核心內(nèi)容、主干知識(shí)、基本方法(通性通法)、典型問(wèn)題;要反映數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素質(zhì)潛能;要區(qū)分3類題型的特性，在解題方法、能力、技巧和時(shí)間、難度上有所區(qū)別;要考慮綜合解答題的解題過(guò)程、步驟、中間環(huán)節(jié)對(duì)整體解決和結(jié)論的影響，重視分題意義和前后小題的關(guān)聯(lián).比如前面一個(gè)數(shù)據(jù)算錯(cuò)，是否會(huì)影響整體解答.如果是考查數(shù)學(xué)思維方法能力的命題，由于前面計(jì)算粗心而使后面即使思維方法正確也無(wú)法繼續(xù)解答的，這種命題設(shè)計(jì)就難以達(dá)到考查數(shù)學(xué)思想方法能力的目的.

4 編制試卷

命題設(shè)計(jì)是單個(gè)的，要把設(shè)計(jì)好的命題編織成一份試卷，是綜合設(shè)計(jì)的過(guò)程.

(1)明確試卷測(cè)試的目的，根據(jù)測(cè)試目的，設(shè)計(jì)試卷內(nèi)容和要求.一般來(lái)說(shuō)，日常教學(xué)中有3類試卷.

第1類，單元內(nèi)容檢查.重點(diǎn)在于檢查本單元的知識(shí)、方法和相應(yīng)數(shù)學(xué)思想能力的掌握，根據(jù)單元的教學(xué)要求設(shè)計(jì)，不必在于難易度.考后可針對(duì)相應(yīng)問(wèn)題分析、點(diǎn)評(píng)、反饋，以查漏補(bǔ)缺、鞏固提高.

第2類，學(xué)期階段評(píng)估.如期中期末考、畢業(yè)考等.這是一類學(xué)業(yè)水平等級(jí)評(píng)估考核，考查相關(guān)知識(shí)、思維、方法、能力等，根據(jù)教學(xué)目的要求設(shè)計(jì)試卷.設(shè)計(jì)時(shí)要考慮相關(guān)的因素，如學(xué)生情況，測(cè)試時(shí)間、難度系數(shù)、考核各檔次的成績(jī)、合格分和通過(guò)比例等.

第3類，模擬選拔訓(xùn)練.在現(xiàn)在的高考制度下，針對(duì)高考選拔的模擬測(cè)試訓(xùn)練是必不可少的，這類試卷的目的就是根據(jù)教學(xué)目的、高考要求,反復(fù)訓(xùn)練，鞏固提高，適應(yīng)高考.設(shè)計(jì)時(shí)要準(zhǔn)確把握高考要求、高考信息，體現(xiàn)主干知識(shí)、重要內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)方法及靈活綜合運(yùn)用的技能.

(2)編制試卷應(yīng)考慮的因素.

①明確設(shè)計(jì)的是哪一類試卷;

②把符合這類試卷的相應(yīng)命題按知識(shí)、方法、題型和難易度分類、分層、分檔;

③按考試時(shí)間、考試要求、知識(shí)分布、題量結(jié)構(gòu)、分值比例，在分好類的命題中選擇相應(yīng)題目編制試卷;

④編制好后，試做一遍，對(duì)完成時(shí)間、評(píng)卷標(biāo)準(zhǔn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和分?jǐn)?shù)檔次等有所預(yù)測(cè);

⑤注意題號(hào)順序、難度梯次、知識(shí)點(diǎn)、面覆蓋和避免重復(fù);

⑥謹(jǐn)慎使用偏題、怪題和技巧特別的難題;

⑦控制好計(jì)算量、討論量、作圖量和解答過(guò)程中書寫的時(shí)間量.

有些所謂的好題，往往是方法巧妙、思維新穎、能力要求高、容易犯錯(cuò)類的命題，如果把教師認(rèn)為的這類好題過(guò)多地編制在同一份試卷中，往往是一份過(guò)難的、不恰當(dāng)?shù)脑嚲?，從而不能很好地體現(xiàn)這份試卷考查的目的和意義.

命題涉及的內(nèi)容還有許多，命題過(guò)程實(shí)際上是數(shù)學(xué)教學(xué)的分析、研究、總結(jié)過(guò)程，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)和組成部分.我們可以把某份高考試卷當(dāng)做范本，認(rèn)真透徹地分析研究，從中學(xué)習(xí)并體會(huì)命題的方法和意義.