王少娜+孫濤

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作者簡(jiǎn)介： 王少娜（1988—），女，河南鞏義人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)分析，(Email)lacrosswsn@163.com;

孫濤（1972—），男，上海人，副教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)分析，(Email)suntao@shu.edu.cn0引言

眾所周知，行星齒輪系統(tǒng)是機(jī)械傳動(dòng)裝置的重要組成部分，其工作性能對(duì)整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)都有重要影響.國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者［13］都致力于行星齒輪系統(tǒng)的研究，并且已經(jīng)取得一系列可觀的成果.早期的行星齒輪研究［45］都局限于系統(tǒng)的靜態(tài)性能，而且主要研究載荷在各行星輪上的分配特性.在實(shí)際應(yīng)用中，研究行星齒輪的動(dòng)力學(xué)特性有十分重要的意義，而傳統(tǒng)方法多是通過(guò)人工推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行研究.本文引入一種新方法對(duì)行星齒輪耦合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究，即基于機(jī)器符號(hào)推導(dǎo)的行星齒輪系統(tǒng)仿真研究.使用該方法可以建立直觀的系統(tǒng)模型，機(jī)器自動(dòng)推導(dǎo)系統(tǒng)方程并選擇合理的算法進(jìn)行計(jì)算得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，進(jìn)而對(duì)行星齒輪耦合傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析.

1基于MapleSim的行星齒輪耦合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型1.1MapleSim 簡(jiǎn)介

使用MapleSim搭建系統(tǒng)模型.MapleSim是適用于復(fù)雜多領(lǐng)域物理系統(tǒng)建模和仿真的軟件，其最大的特點(diǎn)是使用獨(dú)特的符號(hào)和數(shù)值計(jì)算方法，能夠自動(dòng)生成模型方程并有效地管理數(shù)學(xué)模型，還可以對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，以保證系統(tǒng)較高的保真度和較快的運(yùn)行速度.MapleSim中預(yù)置多個(gè)工程領(lǐng)域模塊，包括電子、機(jī)械、熱、信號(hào)、液壓和磁等.［6］本文對(duì)行星齒輪系統(tǒng)的建模用到機(jī)械和電子模塊.

1.2模型描述

行星齒輪系統(tǒng)由內(nèi)齒圈（ring）、行星輪（planet）、太陽(yáng)輪（sun）和行星架（carrier）等4部分組成，輸入和輸出有多種組合方式.在一般情況下，將太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈作為輸入構(gòu)件，將行星架作為輸出構(gòu)件.本文研究的行星齒輪耦合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)示意見圖1.該系統(tǒng)作為傳動(dòng)系統(tǒng)的一部分應(yīng)用于電動(dòng)汽車中，一個(gè)主電機(jī)和一個(gè)輔助電機(jī)共同驅(qū)動(dòng)行星齒輪系統(tǒng)，用于滿足車輛低速大扭矩和高速恒功率的需求.［7］此方案結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于控制并且可靠性較高.

圖 1行星齒輪耦合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)示意

Fig.1Schematic of planetary gear coupling driving system

對(duì)行星齒輪的動(dòng)力學(xué)研究需要在MapleSim中建立一個(gè)適用的物理模型，然后進(jìn)行進(jìn)一步的分析.研究表明，在圓柱齒輪傳動(dòng)中，齒輪的徑向和軸向振動(dòng)均由周向振動(dòng)的激振引起，因此要考慮齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以研究其動(dòng)態(tài)特性，可認(rèn)為系統(tǒng)［89］由只有彈性而無(wú)慣性的彈簧和只有慣性而無(wú)彈性的質(zhì)量塊組成，在齒輪嚙合和與輸入輸出構(gòu)件的連接中添加彈簧阻尼元件.

行星齒輪系統(tǒng)平移扭轉(zhuǎn)模型見圖2.考慮系統(tǒng)中4個(gè)構(gòu)件的周向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以及太陽(yáng)輪在水平和垂直方向上的平移振動(dòng)，行星輪個(gè)數(shù)為3；還要考慮內(nèi)齒圈與輸入軸連接的一個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度，太陽(yáng)輪與輸入軸連接的一個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度，以及行星架與輸出軸連接的一個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度.基于以上分析，該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)共有11個(gè)自由度.

圖 2行星齒輪系統(tǒng)平移扭轉(zhuǎn)模型

Fig.2Transversetorsional model of planetary gear system

2系統(tǒng)方程

2.1參數(shù)設(shè)置

當(dāng)模型搭建完成后，在MapleSim界面中進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置.本文研究的行星齒輪系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，其他必要參數(shù)參照材料力學(xué)、理論力學(xué)和機(jī)械原理等知識(shí)可計(jì)算得到.

表 1行星齒輪系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1Basic structure parameters of planetary gear system參數(shù)太陽(yáng)輪行星輪內(nèi)齒圈行星架齒數(shù)/個(gè)152463模數(shù)/mm2.52.52.52.5壓力角/(°)202020分度圓半徑/m0.187 50.300 00.787 50.487 5基圓半徑/m0.176 20.281 90.740 00.458 1嚙合剛度/

(N/m)2.47×1083.42×1083.42×108支撐剛度/

(N/m)1.0×108扭轉(zhuǎn)剛度/

(N/m)2.63×1083.31×108

2.2系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

在MapleSim中搭建的模型，其系統(tǒng)方程可在Maple中顯示為Mh1x¨h1+Ch1sx?h1s+Kh1sxh1s=Ph1

Msx¨s－Ch1sx?h1s+3i=1Dspi－Kh1sxh1s+3i=1Wspi=0

Msx¨ξ+Cξx?ξ－3i=1Dspisin(φpi－α)+Kξxξ－3i=1Wspisin(φpi－α)=0

Msx¨η+Cηx?η+3i=1Dspicos(φpi－α)+Kηxη+3i=1Wspicos(φpi－α)=0

Mpix¨pi－Dspi+Drpi－Wspi+Wrpi=0

Mrx¨r－Ch2rx?h2r－3i=1Drpi－Kh2rxh2r－3i=1Wrpi=0

Mh2x¨h1+Ch2rx?h2r+Kh2rxh2r=Ph2

Mcx¨c－3i=1Dspi－3i=1Drpi+Cclx?cl－3i=1Wspi－3i=1Wrpi+Kclxcl=0

Mlx¨l－Cclx?cl－Kclxcl=－Pl（1）齒圈與行星輪之間的嚙合力和阻尼力可表示為Wspi=Kspi(xs－xpi－xc－xξsin(φpi－α)+xηcos(φpi－α))

Dspi=Cspi(x?s－x?pi－x?c－x?ξsin(φpi－α)+x?ηcos(φpi－α))（2）太陽(yáng)輪與行星輪之間的嚙合力和阻尼力表示為Wrpi=Krpi(xpi－xr－xc)

Drpi=Crpi(x?pi－x?r－x?c)（3）式(1)～(3)中：M為當(dāng)量質(zhì)量，kg；h1,h2,s,p,r,c和l分別表示輸入端1和2、太陽(yáng)輪、行星輪、齒圈、行星架和輸出端l；ms為太陽(yáng)輪的實(shí)際質(zhì)量，kg；Ph1,Ph2和Pl分別為輸入端1和2、輸出端的法向驅(qū)動(dòng)力，N；Kh1s,Kh2r,Kcl和Ch1s,Ch2r,Ccl分別為輸入端與太陽(yáng)輪間、輸入端與齒圈間以及輸出端與行星架之間的當(dāng)量剛度和當(dāng)量阻尼系數(shù)；Kξ,Kη和Cξ,Cη分別為太陽(yáng)輪軸與太陽(yáng)輪安裝處水平方向、豎直方向的剛度和阻尼系數(shù)；x為位移，且滿足以下關(guān)系：xh1s=xh1－xs

xh2r=xh2－xr

xcl=xc－xl(4)方程(1)經(jīng)簡(jiǎn)化整理后可得mx¨+cx?+kx=p(5)式中：x為位移向量，

x=［xh1,xs,xξ,xη,xp1,xp2,xp3,xr,xh2,xc,xl］T

x?和x¨分別為速度和加速度向量；m為質(zhì)量矩陣；c為阻尼矩陣；k為剛度矩陣；p為載荷向量.

3動(dòng)態(tài)特性仿真分析

3.1時(shí)變嚙合剛度

周期性變化的嚙合剛度是齒輪振動(dòng)的主要激振源.［10］計(jì)算得到太陽(yáng)輪與行星輪（外嚙合）、太陽(yáng)輪與內(nèi)齒圈（內(nèi)嚙合）在一個(gè)嚙合周期內(nèi)隨嚙合位置變化的剛度，進(jìn)行曲線擬合可得到剛度波動(dòng)曲線，見圖3.

圖 3齒輪嚙合剛度曲線

Fig.3Gear engagement stiffness curves

3.2動(dòng)載荷因數(shù)定義

定義動(dòng)載荷因數(shù)Gspi=3(Pspi)max/Ph1

Grpi=3(Prpi)max/Ph2(6)式中：(Pspi)max和(Prpi)max分別為Pspi和Prpi在一個(gè)周期內(nèi)的最大值；Ph1和Ph2可通過(guò)輪齒的受力分析計(jì)算得到.

3.3系統(tǒng)動(dòng)載荷歷程

系統(tǒng)的動(dòng)載荷歷程即動(dòng)載荷因數(shù)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系.本文計(jì)算系統(tǒng)在0~7 000 r/min范圍內(nèi)的動(dòng)載荷因數(shù)，可獲得系統(tǒng)全面的動(dòng)態(tài)特性.系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的外嚙合動(dòng)載荷因數(shù)和內(nèi)嚙合動(dòng)載荷因數(shù)分別見圖4和5，可對(duì)單輸入和雙輸入兩種情況下的動(dòng)載歷程進(jìn)行分析比較.

圖 4外嚙合動(dòng)載荷系數(shù)曲線

Fig.4Dynamic load factor curves of external engagement

圖 5內(nèi)嚙合動(dòng)載荷系數(shù)曲線

Fig.5Dynamic load factor curves of internal engagement

由圖4和5可知，單輸入和雙輸入在0~7 000 r/min范圍內(nèi)都出現(xiàn)較為明顯的共振點(diǎn)，其中有一個(gè)相同的共振點(diǎn)出現(xiàn)在6 700 r/min附近.在單輸入時(shí)還有一個(gè)共振點(diǎn)出現(xiàn)在4 000 r/min附近，此時(shí)，電機(jī)工作在中低轉(zhuǎn)速區(qū)；在雙輸入時(shí)該點(diǎn)卻沒有出現(xiàn)明顯共振.由此可見，雙輸入在電機(jī)的高轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)動(dòng)態(tài)性能較好，能有效避開單輸入時(shí)出現(xiàn)在電機(jī)中低轉(zhuǎn)速度區(qū)域內(nèi)的共振.

4結(jié)論

運(yùn)用MapleSim 搭建系統(tǒng)模型，對(duì)行星齒輪耦合驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可得到以下結(jié)論：

（1）通過(guò)搭建正確的物理模型，機(jī)器可以直接得到系統(tǒng)方程，無(wú)須進(jìn)行繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算.

（2）通過(guò)對(duì)單輸入和雙輸入時(shí)動(dòng)載荷因數(shù)的分析可知，雙輸入時(shí)外嚙合的動(dòng)態(tài)特性比單輸入好，而單輸入時(shí)外嚙合的動(dòng)態(tài)特性比雙輸入好.雙輸入在電機(jī)的高轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)動(dòng)態(tài)性能較好，能有效避開單輸入時(shí)出現(xiàn)在電機(jī)中低轉(zhuǎn)速度區(qū)域內(nèi)的共振.參考文獻(xiàn)：

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