寧 娣

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

混沌同步在生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)和信息科學(xué)領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景， 自Pecora和Carroll提出了一種混沌同步方法以來(lái)[1-3]，混沌同步受到越來(lái)越多的關(guān)注，隨之也出現(xiàn)了各種各樣的同步方法，如驅(qū)動(dòng)響應(yīng)法，變量耦合法，自適應(yīng)法，變量反饋法等[4-6].

目前所研究的同步主要包含兩種：一種是系統(tǒng)內(nèi)部的同步，即所有狀態(tài)均穩(wěn)定到系統(tǒng)的平衡態(tài)；另一種是兩個(gè)系統(tǒng)之間的同步，稱之為外同步.具體來(lái)說(shuō)，兩個(gè)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)完全相同的同步稱之為完全同步，但就實(shí)際情況而言，參數(shù)失配和各種失真總是存在且不可避免，所以在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中難以產(chǎn)生兩個(gè)完全相同的混沌系統(tǒng).為此，人們提出了“廣義同步”的概念，即兩個(gè)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)不同的同步稱之為廣義同步，它比完全同步有更寬廣的應(yīng)用前景.

廣義同步，即在主從混沌系統(tǒng)之間建立一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系可能已知，也可能未知.當(dāng)函數(shù)關(guān)系已知，可以通過(guò)自適應(yīng)控制器的方法設(shè)置控制器使主從系統(tǒng)滿足給定的函數(shù)關(guān)系[7-9].本文在函數(shù)關(guān)系已知的情況下，研究了參數(shù)未知且動(dòng)力學(xué)不同的兩個(gè)系統(tǒng)的同步，并從數(shù)值仿真的角度驗(yàn)證了理論的存在性，并把函數(shù)關(guān)系形象地表示出來(lái).

1 理論推導(dǎo)

考慮如下數(shù)學(xué)模型描述的兩個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)，分別作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)：

(1)

(2)

其中x=(x1,x2,…，xn)T∈Rn，y=(y1,y2,…，ym)T∈Rm分別為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f∈Rn，g∈Rm分別為驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)，F(xiàn)∈Rn×l，G∈Rm×s為連續(xù)的向量函數(shù)，α∈Rl，β∈Rs為系統(tǒng)的未知參數(shù)向量，u(x,y)為輸入控制器.

假設(shè)1(全局Lipschitz條件) 假設(shè)存在一常數(shù)L≥0，使得對(duì)于任意的x(t),y(t)∈Rn，有‖g(x(t))-g(y(t))‖≤L‖x(t)-y(t)‖.

這里‖·‖是2-范數(shù).

當(dāng)函數(shù)關(guān)系φ:Rn→Rm已知，可以得到下面的定理1.

定理1 假定假設(shè)1成立，且控制器滿足：

(3)

以及參數(shù)自適應(yīng)律滿足：

(4)

(5)

則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)達(dá)到廣義外同步.

這里r1，r2是正常數(shù).

證明定義系統(tǒng)(1)和(2)的誤差為e=y-φ(x)，所以得到誤差系統(tǒng)為：

(6)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

將(4)、(5)式代入誤差系統(tǒng)(6)可得：

2 線性關(guān)系下的Lorenz與Chen系統(tǒng)的廣義外同步

在這部分中，我們用Lorenz系統(tǒng)[10]和Chen系統(tǒng)[11]來(lái)驗(yàn)證上述理論的正確性，這里考慮的兩個(gè)系統(tǒng)，分別是經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)，且兩個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)均未知.

Lorenz系統(tǒng)：

其中α=(a,b,c)T是未知參數(shù).因?yàn)長(zhǎng)orenz系統(tǒng)是混沌的，所以狀態(tài)變量xi(i=1,2,3)是有界的，如圖1所示，其中參數(shù)為a=10,b=8/3,c=28.

圖1 Lorenz吸引子的相圖Fig.1 Phase diagram of the Lorenz attractor

經(jīng)典的Chen系統(tǒng)如圖2所示，其中參數(shù)為l=35,m=3,n=28.對(duì)應(yīng)的常微分方程組如下：

其中β=(l,m,n)T是未知參數(shù).

圖2 Chen吸引子的相圖Fig.2 Phase diagram of the Chen attractor

這里，我們把Lorenz系統(tǒng)看成是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，把Chen系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng).為了實(shí)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間的廣義外同步，在Chen系統(tǒng)上添加控制器，得到如下的系統(tǒng)：

這里，u=(u1,u2,u3)T是公式(3)所確定的控制器.

數(shù)值模擬中采用Matlab中的Ode45這個(gè)命令，隨機(jī)選擇混沌動(dòng)力系統(tǒng)的初值，取常數(shù)k=200，r1=r2=10.圖3和圖4給出了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)滿足線性關(guān)系時(shí)的相圖.圖5顯示了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受控響應(yīng)系統(tǒng)的誤差圖，由圖5可知,隨著時(shí)間的增加，同步誤差迅速趨向于零，即Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)達(dá)到廣義外同步.圖6給出了兩個(gè)系統(tǒng)第一個(gè)變量之間的關(guān)系.

圖3 線性關(guān)系下的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的相圖Fig.3 Phase diagram of the drive system with linear relations

圖4 線性關(guān)系下的響應(yīng)系統(tǒng)的相圖Fig.4 Phase diagram of the response system with linear relations

圖5 線性關(guān)系下的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差圖Fig.5 Synchronization between the drive system and the response system with linear relations

圖6 驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)第一個(gè)變量之間的關(guān)系：y1=x1Fig.6 Relations between the first sub-variables in the drive system and the response system：y1=x1

3 非線性關(guān)系下的Lorenz與Chen系統(tǒng)的廣義外同步

再討論驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間是非線性關(guān)系的情況.

數(shù)值仿真中，各參數(shù)變量如上所取.圖7給出了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)滿足非線性關(guān)系時(shí)的相圖，可以看出，這兩個(gè)系統(tǒng)之間存在著某種關(guān)系.在圖8中，分別給出了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的第1個(gè)變量和第3個(gè)變量的關(guān)系圖.圖9描述了在非線性關(guān)系下驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)和受控的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)之間的誤差圖.

圖7 滿足非線性關(guān)系時(shí)，達(dá)到廣義外同步的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的相圖Fig.7 The phase diagram of the drive system and the response system for achieving generalized outer synchronization with nonlinear relations

圖8 驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)變量之間的非線性關(guān)系，F(xiàn)ig.8 Nonlinear relationships between the sub-variables in drive system and the response

圖9 在關(guān)系下的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差圖Fig.9 Synchronization diagram between the drive system and the response system with nonlinear relations

4 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際系統(tǒng)中，兩個(gè)混沌系統(tǒng)之間一般滿足線性或者非線性關(guān)系，本文針對(duì)這兩種情況，討論了在參數(shù)未知的情況下，兩個(gè)動(dòng)力學(xué)不同的混沌系統(tǒng)的廣義外同步，并通過(guò)Barbalat′s引理給出了響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到廣義外同步時(shí)的自適應(yīng)控制器和參數(shù)自適應(yīng)律，通過(guò)對(duì)Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證了上述理論的正確性和有效性.

參 考 文 獻(xiàn)

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